期权定价理论

期权定价理论

杨长汉1

1952年现代资产组合理论的提出以后，现代证券投资组合理论才开始真正形成，自此以后，该理论体系的发展成为经济金融领域最活跃的分支之一。按照历史的逻辑来讲，资本资产定价模型、因素模型、套利定价理论以及有效市场假说理论等理论相继诞生，并且每种理论都是在检验和批判先前理论的过程中诞生和涌现的，同时不断推动着现代西方证券投资组合理论体系的发展，直到期权定价理论诞生以后，现代西方证券投资理论才形成了一套系统的理论体系。

期权定价问题一直是西方证券投资理论界研究的焦点问题。早期的期权定价理论主要有巴舍利耶(1900)提出的股价服从布朗运动的欧式看涨期权定价模型，斯普伦克尔(1962)提出的假定标的资产价格成对数正态分布情形下的看涨期权定价模型以及萨缪尔森(1965)提出的考虑期权和股票预期收益率因风险特性的差异而不一致性的期权定价模型，直到1973年，布莱克和斯科尔斯根据股价符合几何布朗运动的假定，成功的推导出无现金股利的欧式期权定价公式，这才真正得到了期权定价的一般公式。布莱克和斯科尔斯(1973)的这一出色工作也使现代证券投资组合理论体系真正形成。

一、早期的期权定价理论

(一) 巴舍利耶(Louis Bachelier)的期权定价理论2

法国数学家巴舍利耶于1900年发表在《巴黎高等师范学院科学年鉴》上的博士论文《投机理论》中提到了他的期权定价理论，他也是最早提出期权定价理论的学者。巴舍利耶假设股票的价格服从布朗运动，其单位的时间方差为2

σ，并且不存在漂移项，因此他的欧式看涨期权定价公式为：

0S X

S X

S X

C S X σ

---=Φ-Φ+

1

文章出处：《中国企业年金投资运营研究》 杨长汉 著

杨长汉，笔名杨老金。师从著名金融证券学者贺强教授，中央财经大学MBA 教育中心教师、金融学博士。中央财经大学证券期货研究所研究员、中央财经大学银行业研究中心研究员。

2

Bachelier, F.,1900,Theorie de la Speculation, Annales de I ’Ecole Normale Superieure,V ol.3,Paris, Gauthier

Villars.

其中，C 表示欧式看涨期权的价格，X 表示执行价格，T 为到期日，t 表示现在的日期，0S 表示标的资产的价格，()Φ∙是标准正态分布函数，()ϕ∙是标准正态分布的密度函数。

巴舍利耶是第一个提出期权定价理论的学者，开创了期权定价理论研究的先河，但其模型公式也有一定的局限性性，主要有以下几点：

第一，该模型假设股票的价格服从布朗运动，这就意味着股票的价格有可能为负，这明显不符合实际情况。

第二，巴舍利耶认为在离到期日很远的时期内，欧式期权的价格可以大于标的股票的价格，这显然也是不符合实际的。

第三，巴舍利耶在研究中没有考虑货币的时间价值，这是这一研究的一个很大的局限性。

(二) 斯普里克尔(Sprenkle)的期权定价理论3

斯普里克尔于1962年发表于《耶鲁经济学文集》中的《作为期望和偏好指示器的权证价格》一文中，正是提出了他的期权定价模型。与巴舍利耶(1900)不同，斯普里克尔(1962)假设股票的价格服从对数正态分布，并认为股票价格的运动是存在漂移项的，因此他的看涨期权定价公式为：

*

0122

012

02()()

1ln ()()

1ln ()()

C kS d k X d kS T t d kS T t d σσ=Φ-Φ+

-=

-

-=

其中，k 表示期权到期日时的股票价格与现期股票价格的比值，*

k 是基于股票风险而设定的一个贴现因子，σ表示股票收益率的风险。在这一公式中，k 和*

k 是两个未知的参数，斯普里克尔(1962)试图以实证的方法对这两个参数进行估计，但始终没有找到合理的结果。

(三) 萨缪尔森(Samuelson)的期权定价理论4

3

Sprenkle, C.M.,Warrant prices as indicators of expectations and preferences,The Random Character of Stock

Market Prices, Cambridge: MIT Press(1964),412-474.

4

Samuelson,P.A.,1965,Rational theory of warrant pricing, Industrial Management Reviews, V ol.6,13-39.

萨缪尔森(1965)的期权定价理论是在斯普里克尔(1962)的基础上发展起来的。他提出了一个欧式看涨的期权定价公式，并在斯普里克尔(1962)的基础上，考虑了期权和股票预期收益率因风险特性的差异而产生的不一致性，同时认为期权的收益率应该很高，因此他的欧式期权定价公式为：

()()

()

0122

012

02()()

1ln ()()()

1ln ()()()

T t T t C e

S d e

X d S T t d S T t d αββασασ----=Φ-Φ++-=

+--=

其中，α和β分别是股票和期权的期望收益率。萨缪尔森(1965)在研究中也试图对这两个参数进行估计，但也没有找到合理的结果。

(四) 莫顿(Merton)和萨缪尔森(Samuelson)看涨—看跌期权的平价关系式

萨缪尔森和莫顿(1969)认识到了上述期权定价理论的局限性性，于是对上述理论模型进行修改，修改的结果体现在莫顿于1973年发表在《金融学学刊》上的《看涨与看跌期权定价之间的关系：评论》一文中。他们认为通过买入看涨期权，卖空标的资产，并借出行权价格是可以得到与看跌期权相同报酬的，这一看涨—看跌期权的平价关系式为：

000t

t

P C S d

K r

--=-+

其中，0P 和0C 分别为看跌期权和看涨期权同期的价格，这两个期权是近似的，行权价格为K ，标的资产的同期价格为0S ，共同的到期日为t ，d 为年度的股息收益率，r 为无风险利率。

二、布莱克—斯科尔斯公式

从以上关于早期期权定价理论的研究中可以看出，不同学者是从不同的角度来对期权的定价进行分析，在他们之间还没形成一个期权定价的一般公式，布莱克(Black)和斯科尔斯(Scholes)的出色工作使这一问题变成了可能，他们所创立的布莱克—斯科尔斯公式就是一个一般的期权定价公式，这一研究成果于1973年发表在《政治经济学学刊》上的《期权定价与公司负债》一文中有所体现5。

5

Black, F.,and M. Scholes, 1973,The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy

81,637-659.