期权定价理论

期权定价理论
杨长汉1
1952年现代资产组合理论的提出以后，现代证券投资组合理论才开始真正形成，自此以后，该理论体系的发展成为经济金融领域最活跃的分支之一。

按照历史的逻辑来讲，资本资产定价模型、因素模型、套利定价理论以及有效市场假说理论等理论相继诞生，并且每种理论都是在检验和批判先前理论的过程中诞生和涌现的，同时不断推动着现代西方证券投资组合理论体系的发展，直到期权定价理论诞生以后，现代西方证券投资理论才形成了一套系统的理论体系。

期权定价问题一直是西方证券投资理论界研究的焦点问题。

早期的期权定价理论主要有巴舍利耶(1900)提出的股价服从布朗运动的欧式看涨期权定价模型，斯普伦克尔(1962)提出的假定标的资产价格成对数正态分布情形下的看涨期权定价模型以及萨缪尔森(1965)提出的考虑期权和股票预期收益率因风险特性的差异而不一致性的期权定价模型，直到1973年，布莱克和斯科尔斯根据股价符合几何布朗运动的假定，成功的推导出无现金股利的欧式期权定价公式，这才真正得到了期权定价的一般公式。

布莱克和斯科尔斯(1973)的这一出色工作也使现代证券投资组合理论体系真正形成。

一、早期的期权定价理论
(一) 巴舍利耶(Louis Bachelier)的期权定价理论2
法国数学家巴舍利耶于1900年发表在《巴黎高等师范学院科学年鉴》上的博士论文《投机理论》中提到了他的期权定价理论，他也是最早提出期权定价理论的学者。

巴舍利耶假设股票的价格服从布朗运动，其单位的时间方差为2
σ，并且不存在漂移项，因此他的欧式看涨期权定价公式为：
0S X
S X
S X
C S X σ
---=Φ-Φ+
1
文章出处：《中国企业年金投资运营研究》 杨长汉 著
杨长汉，笔名杨老金。

师从著名金融证券学者贺强教授，中央财经大学MBA 教育中心教师、金融学博士。

中央财经大学证券期货研究所研究员、中央财经大学银行业研究中心研究员。

2
Bachelier, F.,1900,Theorie de la Speculation, Annales de I ’Ecole Normale Superieure,V ol.3,Paris, Gauthier
Villars.
其中，C 表示欧式看涨期权的价格，X 表示执行价格，T 为到期日，t 表示现在的日期，0S 表示标的资产的价格，()Φ∙是标准正态分布函数，()ϕ∙是标准正态分布的密度函数。

巴舍利耶是第一个提出期权定价理论的学者，开创了期权定价理论研究的先河，但其模型公式也有一定的局限性性，主要有以下几点：
第一，该模型假设股票的价格服从布朗运动，这就意味着股票的价格有可能为负，这明显不符合实际情况。

第二，巴舍利耶认为在离到期日很远的时期内，欧式期权的价格可以大于标的股票的价格，这显然也是不符合实际的。

第三，巴舍利耶在研究中没有考虑货币的时间价值，这是这一研究的一个很大的局限性。

(二) 斯普里克尔(Sprenkle)的期权定价理论3
斯普里克尔于1962年发表于《耶鲁经济学文集》中的《作为期望和偏好指示器的权证价格》一文中，正是提出了他的期权定价模型。

与巴舍利耶(1900)不同，斯普里克尔(1962)假设股票的价格服从对数正态分布，并认为股票价格的运动是存在漂移项的，因此他的看涨期权定价公式为：
*
0122
012
02()()
1ln ()()
1ln ()()
C kS d k X d kS T t d kS T t d σσ=Φ-Φ+
-=
-
-=
其中，k 表示期权到期日时的股票价格与现期股票价格的比值，*
k 是基于股票风险而设定的一个贴现因子，σ表示股票收益率的风险。

在这一公式中，k 和*
k 是两个未知的参数，斯普里克尔(1962)试图以实证的方法对这两个参数进行估计，但始终没有找到合理的结果。

(三) 萨缪尔森(Samuelson)的期权定价理论4
3
Sprenkle, C.M.,Warrant prices as indicators of expectations and preferences,The Random Character of Stock
Market Prices, Cambridge: MIT Press(1964),412-474.
4
Samuelson,P.A.,1965,Rational theory of warrant pricing, Industrial Management Reviews, V ol.6,13-39.
萨缪尔森(1965)的期权定价理论是在斯普里克尔(1962)的基础上发展起来的。

他提出了一个欧式看涨的期权定价公式，并在斯普里克尔(1962)的基础上，考虑了期权和股票预期收益率因风险特性的差异而产生的不一致性，同时认为期权的收益率应该很高，因此他的欧式期权定价公式为：
()()
()
0122
012
02()()
1ln ()()()
1ln ()()()
T t T t C e
S d e
X d S T t d S T t d αββασασ----=Φ-Φ++-=
+--=
其中，α和β分别是股票和期权的期望收益率。

萨缪尔森(1965)在研究中也试图对这两个参数进行估计，但也没有找到合理的结果。

(四) 莫顿(Merton)和萨缪尔森(Samuelson)看涨—看跌期权的平价关系式
萨缪尔森和莫顿(1969)认识到了上述期权定价理论的局限性性，于是对上述理论模型进行修改，修改的结果体现在莫顿于1973年发表在《金融学学刊》上的《看涨与看跌期权定价之间的关系：评论》一文中。

他们认为通过买入看涨期权，卖空标的资产，并借出行权价格是可以得到与看跌期权相同报酬的，这一看涨—看跌期权的平价关系式为：
000t
t
P C S d
K r
--=-+
其中，0P 和0C 分别为看跌期权和看涨期权同期的价格，这两个期权是近似的，行权价格为K ，标的资产的同期价格为0S ，共同的到期日为t ，d 为年度的股息收益率，r 为无风险利率。

二、布莱克—斯科尔斯公式
从以上关于早期期权定价理论的研究中可以看出，不同学者是从不同的角度来对期权的定价进行分析，在他们之间还没形成一个期权定价的一般公式，布莱克(Black)和斯科尔斯(Scholes)的出色工作使这一问题变成了可能，他们所创立的布莱克—斯科尔斯公式就是一个一般的期权定价公式，这一研究成果于1973年发表在《政治经济学学刊》上的《期权定价与公司负债》一文中有所体现5。

5
Black, F.,and M. Scholes, 1973,The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy
81,637-659.
(一)布莱克—斯科尔斯公式的基本假设
1、所研究的期权合约是欧式期权合约，在期权到期之间没有任何的现金股利支付。

2、资本市场是完善的，不存在任何的交易成本和税收，同时所有的证券资产都是可分割的。

3、市场处于均衡状态，也就是说不存在无风险套利的机会。

4、允许证券市场上的卖空行为，且没有保证金，其收入也可以用来投资。

5、市场是连续的，也就是说市场可以为投资者提供连续交易的机会。

6、无风险利率在所有的期限内是不变的，也就是说无风险利率是一个常数。

7、股票的价格波动服从布朗运动。

(二) 布莱克—斯科尔斯公式：
基于以上假设条件，布莱克和斯科尔斯(1973)使用热动力学上的热传导效应推出的欧式看涨期权定价公式如下：
()
012
2
1
2
21
()()
1
ln()()()
1
ln()()()
r T t
C S d X e d
S
r T t
d
S
r T t
d d
σ
σ
σ
--
=Φ-Φ
++-
=
+--
==-
其中，
S为标的资产的价格，X为执行价格，T为到期日，()
Φ∙是标准正态分布函数。

布莱克—斯科尔斯公式是一个期权定价的一般公式，这在证券投资理论中是一项重大突破，但由于该理论是在一系列的假设条件下建立起来，因此它也存在许多与现实情况不相符合的地方，这也引起后来的学者对该模型的修正。

三、布莱克—斯科尔斯公式诞生后期权定价理论的发展
(一) 莫顿(Merton)对布莱克—斯科尔斯公式的修正6
莫顿在1973年发表于《贝尔经济学和管理科学学刊》上的《理性期权定价理论》一文中，对布莱克—斯科尔斯公式做了很多突破性的修正，他几乎与布莱克和斯科尔斯同时提出了上述欧式看涨期权的定价模型，并作出了许多扩展性的研究，比如支付股票红利的期权定6Merton,R.C.,1973, Theory of rational option pricing, Bell Journal of Economics and Management Science, V ol.4,141-183.
价模型、随机利率期权定价模型以及股票价格服从跳跃扩散过程的期权定价模型，正是由于莫顿(1973)的出色贡献，布莱克—斯科尔斯公式有时也叫布莱克—斯科尔斯—莫顿公式。

1、支付股票红利的期权定价模型
布莱克—斯科尔斯公式有一个假设前提，就是在期权到期之间没有任何的现金股利支付，莫顿(1973)放松了这一假定条件，将股票红利的现金支付纳入期权定价的理论分析中。

莫顿(1973)假定股利支付率已知，并且股利的支付是连续的，这里用q来表示股利支付率，则支付股票红利的期权定价模型为：
()()
012
2
1
2
21
()()
1
ln()()()
1
ln()()()
q T t r T t
C S e d X e d
S
r q T t
d
S
r q T t
d d
σ
σ
σ
----
=Φ-Φ
+-+-
=
+---
==-
莫顿(1973)的这一修正成果大大增强了布莱克—斯科尔斯公式是适用性，这一期权定价公式不仅适用于股票期权的定价，同样也适用于股指期权、外汇期权以及期货期权的定价，这一修正公式也叫做布莱克—斯科尔斯—莫顿公式。

2、随机利率期权定价模型
该模型放松了“无风险利率在所有的期限内是不变的”这一假设条件，并对布莱克—斯科尔斯公式进行修正。

莫顿(1973)首先定义B为在期权到期时，支付给期权持有者1美元的贴现债券的价值，并假设B服从以下扩散方程：
B B B
dB B dt B dW
μσ
=+
我们令
B
d W和d W(维纳过程)的相关系数为ρ，则该期权定价公式为：
12
22
1
21
()()
1
ln()ln()(2)()
B B
C S d X B d
S
B T t
d
d d
σσρσσ
=Φ-Φ
-++--
=
=-
3、股票价格服从跳跃扩散过程的期权定价模型
莫顿(1976)在股票价格服从布朗分布的基础上，加入了跳跃过程，并假设股票收益跳跃成分代表的是非系统性风险，该跳跃过程的具体扩散方程为：
()d S k d t d W d q S
μλσ=-++
其中，(,)0C O V dW dq =，λ是跳跃频率，k 为平均跳跃幅度占股票价格上升幅度的比重。

因此，莫顿(1976)的期权定价模型为：
(,,,)!
t
i i e
C C S X t r i λ'-∞
==
∑
其中，(1)k λλ'=+，δ即为无跳跃发生时股票价格的波动率，C 为期权的价格。

(二) 二项式期权定价模型7
二项式期权定价模型由考克斯，罗斯和鲁宾斯坦(1979)提出。

他们假设在一个多期的证券市场中，股票价格的分布式离散的，并假定股票在期权的存续期内没有任何股利支付。

假定t=0时，股票的价格为0S ，到t=1时，股票的价格以q 的概率上升到0S μ，以（1-q ）的概率下降到0dS ，并假设无风险利率为r （R=1+r ）。

由于期权在一期以后的价格为：
则该二项式模型的期权定价公式为：
[(
)(
)]/u d R d u R C C C R u d
u d
--=+--
此外，考克斯，罗斯和鲁宾斯坦(1979)还给出了n 期欧式看涨期权的定价公式，即：
()
![]!n
j n C j n j ==-∑
(三) 常弹性波动率模型(Constant Elasticity of variance model)8
该模型是由布莱克和考克斯(1976)提出的，因为在“波动性微笑”理论中，股票价格的
7
Ross,S.A., Rubinstein,M.,1979,Option pricing: A simplified approach, Journal of Financial Economics:229-263.
8
Black,F.,and John C.Cox.,1976,Valuing corporate securities:Some effects of bond indenture provisions, Journal of
Finance 31,May,351-368.
C
(0,)u C M ax uS X =-
(0,)u C M a x d S X =-
波动性不是常数，二是随着股票价格的上升而下降。

该模型假设股票的价格服从几何布朗运动，但是单位时间里的波动率随股票价格的变化而变化，这一扩散方程为：
*
(,)dS Sdt S t SdW Sdt S dW ρ
μσμσ=+=+
在这个式子中，*
σ为常数，1ρ<，因此这一期权定价公式为：
()
1
1
(,)(,)(,)(,)r T t n n C S g n x G n y X e
g n x G n y λλ∞
∞
--===+-+∑∑
其中，1
(,)(1)!
z
n e
z
g n z n --=
-，12(1)
λρ=
-
1/
()/
*2
()/
1/*2
()/2(1)
2(1)
(,)(,)r T t r T t r T t w
r
x S
e
e
r
y X
e
G n w g n z d z
λλλλ
λλσλσ
---∞=
-=
-=
⎰
(四) 随机波动率模型(Stochastic volatility Model)9
随机波动率模型假定股票的价格和波动率均服从几何布朗运动。

Hull and White(1987)提出了这一模型，并对股票价格的运动作出如下假设：
d S S d t S d W d V V d t V d z
φσμξ=+=+
其中d W 和d z 的相关系数为ρ 通过推导得出期权价值方程为：
2
2
2
2
2
3
22
2
2
1[2]2C C C C C C S
S
V
rC rS
t
S
S V
V
S
V
σρσξξμσ
∂∂∂∂∂∂+++-=--∂∂∂∂∂∂∂
在此方程的基础上，Hull and White(1987)通过期权有效期内的平均波动率给出了期权的定公式：
2
2
(,)()(|)t t t C S C V h V
d V σσ=
⎰
其中：
9
Hull,J.C.and White,A.,1987,The pricing of options on assets with stochastic volatilities, Journal of Finance,
V ol.42,281-300.
()
120121()()()
ln ()()()
r T t t C V S d X e
d S V r T t d d d --=Φ-Φ++
-=
==-
10
10
文章出处：《中国企业年金投资运营研究》 杨长汉 著
杨长汉，笔名杨老金。

师从著名金融证券学者贺强教授，中央财经大学MBA 教育中心教师、金融学博士。

中央财经大学证券期货研究所研究员、中央财经大学银行业研究中心研究员。