理论力学 王永岩 第六版 第三章平面任意力系

①一矩式
②二矩式 条件：x 轴不 AB 连线
③三矩式 条件：A,B,C不在 同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
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§3-5
平面平行力系的平衡方程
设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得：
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼。
FR
主矩M O mO ( Fi ) Fi xi
FRy FRx
tg
1
F F
y
x
简化中心
(与简化中心位置无关)
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[因主矢等于各力的矢量和]
平面力 偶 系
力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
主矩 M O M1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi ) ( xi Fyi yi Fxi )
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§3-4
平面任意力系的平衡条件与平衡方程
由于 FR =0，则汇交力系平衡； =0作用于简化中心的合力 FR MO=0 则力偶矩MO=0 ，因此附加力偶系也平衡。 所以平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 FR 和主矩 MO 都等于零，即：
M O M O ( Fi ) 0
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶，且M与d有关，M=±F•d
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
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工程应用
A
o
F
o
F
断丝锥
旋球
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§3-2 平面一般力系向一点简化
F1 O
为任 选点
F2
m1
F′1
O
y F′ 2 m2 m3 x
y Mo O x
FR′
F3
F3′
平面一般力系（任意力系） （未知力系）
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④ F ≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简
R
化为一个合力 F 。
R
合力F 的大小等于原力系的主矢
R
MO 合力 FR 的作用线位置d FR
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结论：
平面任意力系的合成结果 ：①平衡； ②合力偶MO ； ③合力F 合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩
n
M O M O ( Fi )
N A 210kN, NB 870kN
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§3-6 物体系统的平衡•静定与超静定问题
一、静定与静不定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系 Fx 0 两个独立方程，只能求两个独立未知数。
F
y
0
力偶系 平面 任意力系
M 0
F 0 F 0
x
y
一个独立方程，只能求一个独立未知数。
受有平面一般力系作用） ③ 由n个刚体组成的物系，其中n1个刚体为二力体或受有平 面力偶系作用，n2个刚体受有平面汇交力系或平行力系作用，n3 个刚体受有平面一般力系作用，且：n = n1+n2+n3 ，则整个系统 可列出m个独立的平衡方程，而 m = n1+2n2+3n3 ，可求解m个未 知量。
⒊ 解物系问题的一般方法 由整体 局部 或 由局部 整体
Q 350 kN
因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：
75 kNQ 350 kN
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⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA ,NB为多少
由平面平行力系的平衡方程可得：
mA(F)0
Q(62)P2W(12 2)NB40
F
y
0,
QPWNANB0
解得：
M
A
0
FC
[例] 已知：OA=R, AB= l , 忽略摩擦和自重，当OA水平时，冲 压力为P时，系统处于平衡状态。 求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？
解：研究B 由 X 0
N S B sin 0
Y 0
P S B cos 0
平面任意力系
平面一般（任意）力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇
交为一点又不相互平行的力系叫平面一般（任意）力系。
[例]
3
§3-1
力线平移定理
力线平移定理：作用在刚体上点A的力 F ，可以平行移到同一 刚体内任一点B，但必须同时在该力与指定点所决定的平面内 附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F 对指定点B 的矩。
M
a
B
MA
FBx
FBy
FAx
Fx 0 Fy 0 M 0 A
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方法二：
解：1、研究整体,画受力图
FAy
MA
A
M
F
B
600
FC
C
FAx a
x
a
F
FBy
B
0
FAx
3、再研究整体
2、研究BC杆，画受力图
F
600
FC
C
F
y
0 0
FAy
MA
36
M
FBx
a
B
B
d
F
F′ A
B M
d
A
M F d MB F

F=F ′
力F
力F 力偶
4
[证 ] 力 F F A
力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
F
B
d
B
F′ d
F′
F〞
A
B M
d
A
F=F′=-F〞
M F d MB F

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说明：
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力
1
第三章
平面任意力系
§3–1 力线平移定理 §3–2 平面一般力系向一点简化 §3–3 平面一般力系的简化结果 • 合力矩定理 §3–4 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
§3–5 平面平行力系的平衡方程
§3–6 物体系统的平衡•静定与超静定问题
§3–7 平面简单桁架的内力分析
平面一般力系习题课
2
第三章
解得：
X A 31kN ; YA 50 kN ; NB 31kN
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Fx 0
Fx 0
m (F ) 0
A i
Fy 0
mA ( Fi ) 0
m (F ) 0
B i
m
O
( Fi ) 0
m (F ) 0
B i
m
C
( Fi ) 0
即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。 ③ FR ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, 。（此时与 FR FR 简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
FAx
B
FB
解除约束
由 M A (Fi ) 0
F
F
y
x
0
0
FAx 0
2P P 2a FB 3a 0, FB 3
FAy FB P 0,
P FAy 3
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例3-3如图所示的水平横梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一 滚动支座。梁的长为4a，梁重P，作用在梁的中点C。在梁的 AC段上受均布载荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩 M=Pa。试求A和B处的支座约束力。
向一点简化
平面汇交力系+平面力偶系 （已知力系）
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平面汇交力系
力 ， FR'(主矢) ， (作用在简化中心)
F1 F2 主矢FR
主矢 FR
（移动效应） 方向： tg
1
Fn Fi
FRx 2 FRy 2 ( Fx )2 ( Fy )2 大小：FR
大小： MO
主矩MO 方向：
M
O
(Fi )
-
方向规定
+
（转动效应） 简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
10
固定端（插入端）约束 在工程中常见的
雨 搭
11
固定端（插入端）约束 说明： ①认为Fi这群力在同一 平面内; ② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
30
二、物体系统的平衡问题 ⒈ 物体系统 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。
[例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
31
2、物系平衡的特点： ① 物系平衡 ② 物系中每个刚体也是平衡的。每个刚体可列3个平衡方
程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个刚体,每个刚体都
三个独立方程，只能求三个独立未知数。 MO (Fi ) 0
当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
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[例 ]
①物体受平面汇交力系作用
未知量数 2 = 独立平衡方程数 2
未知量数 3
＞ 独立平衡方程数 2 静不定问题
28
静定问题
② 物体受平面平行力系作用
未知量数 2 = 独立平衡方程数 2
未知量数 3
＞ 独立平衡方程数 2 静不定问题
29
静定问题
③ 物体受平面一般力系作用
未知量数 3 = 独立平衡方程数 3 静定问题
未知量数 4 ＞独立平衡方程数 3 静不定问题
静不定问题在变形体力学（材力,结力,弹力）中，除 列出静力学平衡方程外，还需考虑变形谐调条件，列出补 充方程来联合求解。
n
R
MO (FR ) FR d MO (主矩)
———合力矩定理
i wenku.baidu.com1
M O ( FR ) mO ( Fi )
i 1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。
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例3-1
重力坝受力情形如图所示。已知：P1=450KN，
P2=200KN，F1=300KN，F2=70KN。求合力与基线OA的交点到
点O的距离x 。
D
D
xD
FR
ACB arctan
xD 3.514m
AB 16.70 CB M D ( FR ) M D ( F ) F1 3 P 1 ( xD 1.5) P 2 (3.9 xD ) F2 xD sin 0
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例3-2已知：旋转式起重机，自重W=10 kN，被起吊重物重 Q=40 kN 。求：止推轴承A 和径向轴承B 的约束反力。 解：① 研究起重机；② 受力分析：
W , Q ,XA ,YA ,NB ；③ 取 Axy直角坐标
轴；④ 列平衡方程求解：
Y 0, YA W Q 0 mA ( F ) 0, N B 5 W 1.5 Q 3.5 0 mB ( F ) 0, X A 5 W 1.5 Q 3.5 0
FA
FAy
③FA方向不定可用正交 分力FAy, FAx表示; ④ FAy, FAx, MA为固定端 约束反力; ⑤ FAy, FAx限制物体平 动,MA为限制转动。
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FAx
§3-3
平面一般力系的简化结果 合力矩定理
简化结果： 主矢 FR ，主矩 MO ，下面分别讨论。
=0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ① FR =0,MO≠0 ② FR
32
判断下面结构是否静定？
33
例：已知 F，M ，AB = BC = L ，F作用在BC杆的中点， 求 A、C 的约束力
F
A B
600
C
M
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F
A B
600 C
M
方法一: 解：以 每个物体为研究 对象, 画其受力图。
FBy
B
F
60
0
FC
C
FBx
FAy
A
a
Fx 0 Fy 0 M 0 B
合力作用线的位置为：
M O Fi xi xR FR F 平衡的充要条件为 主矢FR =0
Fi 主矢FR
主矩MO =0
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所以
平面平行力系的平衡方程为：
M
F 0
y
O
( Fi ) 0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即
M (F ) 0 M (F ) 0
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解：⑴ ①首先考虑满载时，起 重机不向右翻倒的最小Q为：
mB (F ) 0
Q(6 2) P 2 W (12 2) NA (2 2) 0
限制条件： N A 0 解得 Q75 kN
②空载时，W=0 由 限制条件为：N B
0
mA(F )0
解得
Q(62)P2NB (22)0
A i
二矩式
B
i
F
x
0
恒成立，所以只有两个独立方
程，只能求解两个独立的未知 数。
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
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[例] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如
图。求：①保证满载和空载时不
致翻倒，平衡块Q=？ ②当
Q=180kN时，求满载时轨道A、B
给起重机轮子的反力？
则平面任意力系的平衡条件为
( Fxi )2 ( Fyi )2 0 FR
F
xi
0, Fyi 0, Mo (Fi ) 0
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[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ 解：①选AB梁研究
FAy
A
②画受力图（以后可把
支反力直接画在整体结构的 原图上）