山东科技大学高等代数考研真题2017—2019年

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科目代码: 847 请在答题纸（本）上做题, 在此试卷或草稿纸上做题无效！
四、证明题(每小题 10 分, 共 30 分). 1、如果 ( f (x), g(x)) 1, 那么 ( f (x)g(x), f (x) g(x)) 1.
2、A 为 n 阶方阵, 如果 A2 A , 则: 秩 ( A E) 秩 ( A) = n , 其中 E 是 n 阶单 位矩阵.
2、设
4
阶方阵
A
2 0 0
1 0 0
0 1 1
0 2 1
,
则 A 的逆阵
.
3、设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零, 且 A 的秩为 n 1, 则线性方程组
AX 0 的通解为
.
4、设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1, 则 A 的 n 个特征值是
.
5、已知向量组 α1 (1,2,3,4) , α2 (2,3,4,5) , α3 (3,4,5,6) , α4 (4,5,6,7) , 则该
0 0 2
3、设 A* 为 3 阶方阵 A 的伴随矩阵, A = 2 , 计算行列式| (3A)1 1 A* | . 2
0 1 11
三、(15 分) 计算 n (n 3) 阶行列式:
10 xx Dn 1 x 0 x .（注释: 该行列式主
1 x x0
对角线上元素都是 0 , 第一行和第一列除去第一个位置的元素是 0 外, 其余的 都是1, 行列式中其余的元素都是 x . 要求写出解题步骤, 也可以用语言叙述）.
六、（15 分）列向量1, 2 , , n 和1,2 , ,n 是 Rn 空间的两组基, 线性变换 在 1, 2 , , n 和1,2 , ,n 下的矩阵分别为 A 和 B , 证明: A 和 B 是相似的.
七、（15 分）如果向量 可以由向量组1,2 ,,m 线性表出, 证明: 表示方法是 惟一的充分必要条件是向量组1,2 ,,m 线性无关的.
求 C( A) 的维数和 C( A) 的一组基.
n
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3
3
n 1 n 1 n 1 n 1 an1 n 1
n
n
n
n
n an
二、证明题（10 分）已知 n 阶方阵 A 满足 A2 A , 证明 A E 可逆, 并求 A E1 (其
中 E 为 n 阶单位矩阵).
1 0 2 三、计算题（10 分）设 A 0 1 1 , 计算 2A8 3A5 A4 A2 4E.
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六、证明题（20 分）设 是欧氏空间 V 的一个变换.若对 , V , 满足 ( ( )), ( )) ( , ) . 证明: 1. 是V 上的线性变换; 2. 是正交变换.
A B 七、证明题（20 分）设有分块矩阵 C D , 其中 A, D 可逆. 证明:
0 1 0
四、计算题（10 分）用正交线性替换将二次型 f (x1x2 x3 ) 2x12 6x22 8x1x3 2x32 化 为标准型.
五、计算题（20 分） 取何值时,
方程组
3x1 x2 2x3 x1 1x2 x3
3 1x1 x2 3x3 3
1. 有解? 2. 无解? 3. 有唯一解?
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山东科技大学 2017 年全国硕士学位研究生招生考试
高等代数试卷
一、填空题（每小题 2 分, 10 分, 将答案写在答题纸上, 不填解题过程）
1、如果 (x 1)2 | Ax4 Bx2 1, 则 A , B 的值各为
.
5 2 0 0
向量组的秩是
.
二、计算题(每小题 5 分, 共 15 分).
1、已知 4 阶行列式 D 的第 3 行元素分别为 1, 0, 2, 4 , 第 4 行元素对应的余子式
依次是 5, 10, a, 4 , 求 a 的值.
2、已知矩阵 A, B 满足关系 AB B
A,
其中 B
1 2
2 1
0 0,
求矩阵 A .
1. A B A BD 1C D ; CD
2. A BD 1C 1 A1 A1B CA1 D 1CA1 .
1 2 0 1
八、计算题（20
分）已知线性变换
在基
e1 , e2 , e3 , e4
下的矩阵为
3 2 1
0 5 2
1 3 1
2 13
.
求线性变换 在以下基下的矩阵
1. e1 , e3 , e2 , e4 ;
2. e1 , e1 e2 , e1 e2 e3 , e1 e2 e3 e4 .
九、综合题（30）已知 A P nn .
1. 证明: 集合 C( A) B AB BA, B P nn 是 P nn 的子空间;
2. 当 A En 时, 求 C( A) ;
1
3.
百度文库
当
A
2
.
时,
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山东科技大学 2018 年全国硕士学位研究生招生考试
高等代数试卷
一、计算题（10 分）设 ak 0, k 1,2,, n , 计算:
1 a1 1
1
1
1
2 2 a2 2
2
2
3 Dn
3 3 a3
八、（15 分）设向量组 1 , 2 , 3 是 R3 的一组基, 1 21 2k 3 , 2 2 2 ,
3 1 (k 1) 3 , 证明 1 , 2 , 3 也是 R3 的一组基.
九、（20 分）设集合V =x | x (0, x2 , x3 ,, xn ).
1、证明: V 对于向量的加法和数乘运算构成实数域 R 上的线性空间; 2、求V 的一组基及维数; 3、求 (0, a2, a3,, an ) 在(2)中所求出的基下的坐标.
3、 是线性空间V 上的可逆线性变换, 则 的特征值一定不为 0 .
五、(15
分)设实二次型
f
( x1 ,
x2
,
x3 )
x12
x
2 2
x32
2 x1 x2
2 x1 x3
2
x2 x3
通过正交
线性变换 X
PY 化成标准形
f
2 y12
2
y
2 2
y32 ,
求常数 ,
的值及所用
的正交线性变换矩阵 P .