12充分条件与必要条件-数学选修2-1

1．从 “ ”、“ ”与“ ”中选出适当的符号填空：
(1) x > -1
x > 1.
(2) x2 =3x+4
x=√3x+4 .
(3) a=b
a+c=b+c.
(4) a 2 - 2ab +b2 = 0
a=b.
2．从“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、
“充要
条件”中选出适当的一种填空：
充分而不必要条件
(4) p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
(1) p：(x - 2)(x - 3) = 0 ; q：x – 2 = 0．
解：x – 2 = 0
(x – 2)(x - 3) = 0 ，
(x – 2)(x - 3) = 0
x – 2 = 0．
所以p是q的必要而不充分条件．
(2) p：同位角相等 ; q：两直线平行．
现规定电路中，记“开关K 闭合”为p，“灯泡L 点亮”为
指出下列各电路图中p是q的什么条件？
K
K
A
K
L
L
K L
A
L
(A) p 是q 的 充要条件
(B) p 是q 的 必要而不
充分条件
(C) p 是q 的 充分而不
必要条件
(D) p 是q 的既 不充分也不
必要条件
机动例题 1
设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件， D是B的充分条件，则 (1) D是C的什么条件？ (2) A是B的什么条件？
解：同位角相等
两直线平行．
所以p是q的充要条件．
(3) p： x = 3 ; xБайду номын сангаас2 = 9
解q：：x
=
． 3
x 2 = 9 ，x 2 = 9
x= 3 ，
所以p是q的充分而不必要条件．
(4) p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
解：四边形的对角线相等 四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形 四边形的对角线相等． 所以p是q的既不充分也不必要条件．
Key : p 是q 的充分条件 q 是p 的必要条件
(4) p：两直线平行，q：内错角相等．
Key : p 是q 的充分条件 q 是p 的必要条件
下列各题中，哪些p是q的充要条件?
(1)p:b0,q:函数 f(x)ax2bxc是偶函 （2）p:x0,y0,q:xy0
(3)p:ab,q:acbc
例2．
(4) 两个角是对顶角
两个角相等.
2．下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
(1) p：a ∈ Q ，q： a ∈ R ．
Key : p 是q 的充分条件 q 是p 的必要条件
(2) p：a ∈ R ，q： a ∈ Q ．
Key : p 是q 的必要条件 q 是p 的充分条件
(3) p：内错角相等，q：两直线平行．
这时我们就说，A是B成立的充分必要条件，简称A 是B的充要条件，记作 A 或 B B． A
当 A ，而B且
．B A
这时我们就说，A是B的既不充分也不必要条件 ．
例1．
指出下列各组命题中，那些p是q的充分条件?
(1 )若 x1 ,则 x24x30
(2)若 f(x)x,则 f(x)在 R上为增
(3)若x为无理数x2， 为则 无理数
．
(4) “ 0<x<5 ” 是 “ x - 2 < 5” 的 充分而不必要条件 ．
(5) “ 二次函数y=ax2+bx + c（a ≠ 0）的图象过原点 ” 是
“ c = 0 ” 的 充要条件
．
感谢聆听
Thank you
(1) “ a = b ” 是 “ ac = bc ” 的
．
(2) “ 两个充三分角而形不全必要等条”件是 “ 两个三角形相似 ”
的
．
充要条件
(3) “ a+ 5是无理数” 是 “ a无理数 ” 的
．
(4) “ 四边必形要而的不两充条分对条角件线相等 ” 是 “ 四边形是矩形 ”
的
．
图示
：灯泡L
：开 关 ：电 源
例2 下列”若p,则q”形式的命题中,那些命 题q是p的必要条件?
(1)若 xy,则 x2y2
(2)若两个三角形全这等两，个则三角形 的面积相等
(3)若 ab,则 a cbc
1．用符号“ ”与“ ”填空：
(1) x = 0
xy = 0.
(2) xy = 0
x = 0.
(3) 两个角相等
两个角是对顶角.
解：方程 x 2- x - m = 0 无实根，则
Δ= (- 1)2–4·1·(- m) = 1 + 4m < 0
即m
<
-
1 4
．
∴m < -３ 方程 x 2- x - m = 0 无实根．
∴p是q的充分条件．
∵方程x 2- x - m = 0 无实根 ∴p不是q的必要条件．
m < -３，
∴综上所述，p是q的充分而不必要条件．
12充分条件与必要条件-数学选修2-1
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观察 1、2 、3、4
充分条件的定义
如果A成立时，B必然成立，即 A ，我B们就说， A是B成立的充分条件．
观察 5、7
必要条件的定义
如果B成立时，A必然成立，即 B ，我A们就说， A是B成立的必要条件．
观察 6
充要条件的定义
如果A成立时，B必然成立，即 A ，而B且B成立 时，A也必然成立，即 B． A
机动练习
从“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充 条件”或“既不充分也不必要条件”中选出适当的一种填空
(1) “ A B ” 是 “ A∩B = A ” 的 充分而不必要条件 ．
(2) “ x∈A ” 是 “ x∈A∩B ” 的 必要而不充分条件
．
(3) “ a=b=0 ” 是 “ ab=0 ” 的 充分而不必要条件
解：由A是C的充分条件可得，A C
由B是C的充分条件可得，B C
由D是C的必要条件可得，C D
由D是B的充分条件可得，D B
因而可得，
A
(1) D是C的充要条件．
(2) A是B的充分而不必要条件．
CD B
机动例题 2
已知“ p：m<- 3 , q：方程x 2- x - m = 0 无实根”,
指出p是q的什么条件？
指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分而不必要 条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分 也不必要”中选出一种？
(1) p：(x - 2)(x - 3) = 0 ; q：x – 2 = 0．
(2) p：同位角相等 ; q：两直线平行．
(3) p： x = 3 ; q：x 2 = 9 ．