近世代数的应用

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近世代数的应用
班级：2009214101 学号：09212604 序号：28 姓名：蔡忠忠
近世代数（又名抽象代数）是现代数学的重要基础，在计算机科学、信息科学、近代物理与近代化学等方面有广泛的应用，是从事现代科学技术人员所必需的数学基础。

抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。

他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。

伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。

他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。

伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。

最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。

同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。

<<近世代数>>是以研究代数系统的性质与构造为中心的一门学科，是现代科学技术的数学理论基础之一，在计算机科学、信息科学、数字通信（开关电路、编码、密码）、系统工程、近代物理与近代化学等方面有广泛的应用。

（一）近世代数与代数方程求解：我们知道，任何一个一元二次代数方程可用根式表示它的两个解。

对于一元三次和四次代数方程，古人们经过长期的努力也巧妙地做到了这一点。

于是人们自然要问：是否任何次代数方程的根均可用根式表示？许多努力都失败了，但这些努力促使了近世代数的产生，并最终解决了这个问题。

19世纪初，法国青年数学家伽罗瓦（Galois）在研究五次代数方程的解法时提出了著名的伽罗瓦理论，成了近世代数的先驱。

但他的工作未被当时的数学家所认识，他于21岁就过早地去世了。

直到19世纪后期，他的理论才由别的数学家加以进一步的发展和系统的阐述。

这样一门具有悠久历史、充满许多有趣问题和故事的数学分支，在近代又得到了蓬勃发展和广泛应用，出现了许多应用于某一领域的专著，正吸引越来越多的科技人员和学生来学习和掌握它。

( 二)近世代数与尺规作图：众所周知最初是为了解决三大几何难题才产生的近世代数。

位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。

这里的古人提出的三大几何难题，在科学史上留下了浓浓的一笔。

这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。

一.三大难题的提出
实际中存在着各种各样的几何形状，曲和直是最基本的图形特征。

相应地，人类最早会画的基本几何图形就是直线和圆。

画直线就得使用一个边缘平直的工具，画圆就得使用一端固定而另一端能旋转的工具，这就产生了直尺和圆规。

古希腊人说的直尺，指的是没有刻度的直尺。

他们在大量的画图经历中感觉到，似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形，因而，古希腊人就规定，作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行，并称之为尺规作图法。

漫长的作图实践，按尺规作图的要求，人们作出了大量符合给定条件的图形，即便一些较为复杂的作图问题，独具匠心地经过有限步骤也能作出来。

到了大约公元前6世纪到4世纪之
间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。

1.三等分角问题：将任一个给定的角三等分。

2.立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。

3.化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。

这就是著名的古代几何作图三大难题，它们在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。

二.貌以简单其实难
从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。

也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。

可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。

其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。

可是谁也想不出解决问题的办法。

三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。

后来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出？
数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪里？可这依然是十分困难的问题。

三.高斯的发现
历史的车轮转到了17世纪。

法国数学家笛卡尔创立解析几何，为判断尺规作图可能性提供了从代数上进行研究的手段，解决三大难题有了新的转机。

最先突破的是德国数学家高斯。

他于1777年4月30日出生于不伦瑞克一个贫苦的家庭。

他的祖父是农民，父亲是打短工的，母亲是泥瓦匠的女儿，都没受过学校教育。

由于家境贫寒，冬天傍晚，为节约燃料和灯油，父亲总是吃过晚饭就要孩子睡觉。

高斯爬上小阁楼偷偷点亮自制的芜菁小油灯，在微弱的灯光下读书。

他幼年的聪慧博得一位公爵的喜爱，15岁时被公爵送进卡罗琳学院，1795年又来到哥庭根大学学习。

由于高斯的勤奋，入学后第二年，他就按尺规作图法作出了正17边形。

紧接着高斯又证明了一个尺规作图的重大定理：如果一个奇素数P是费尔马数，那么正P边形就可以用尺规作图法作出，否则不能作出。

由此可以断定，正3边、5边、17边形都能作出，而正7边、11边、13边形等都不能作出。

高斯一生不仅在数学方面做出了许多杰出的成绩，而且在物理学、天文学等方面也有重要贡献。

他被人们赞誉为“数学王子”。

高斯死后，按照他的遗愿，人们在他的墓碑上刻上一个正17边形，以纪念他少年时代杰出的数学发现。

四.最后的胜利
解析几何诞生之后，人们知道直线和圆，分别是一次方程和二次方程的轨迹。

而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题，从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题，最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。

因此，
一个几何量能否用直尺圆规作出的问题，等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。

这样一来，在解析几何和高斯等人已有经验的基础上，人们对尺规作图可能性问题，有了更深入的认识，从而得出结论：尺规作图法所能作出的线段或者点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方（指正数开平方，并且取正值）所能作出的线段或者点。

标准有了，下来该是大胆探索、细心论证。

谁能避过重重险滩将思维贯通起来，谁就是最后胜利者。

1837年，23岁的万芝尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想，证明了立方倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决，宣布了2000多年来，人类征服几何三大难题取得了重大胜利。

他的证明方法是这样的：
假设已知立方体的棱长为a，所求立方体的棱长为x，按立方倍积的要求应有x3=2a3的关系。

所以立方倍积实际是求作满足方程x3－2a3＝0的线
段X，但些方程无有理根，若令a=1,则要作长度为2的立方根的线段，但2的立方根超出了有理数加、减、乘、除、开方的运算范围，超出了尺规作图准则中所说的数量范围，所以它是不可能解的问题。

用类似地想法，他证明了三等分角也是不可能解的问题。

实际上万芝尔还证明了一个被称为高斯——万芝尔定理：如果边数N可以写成如下形式N＝2t·P1·P2……Pn，其中P1、P2、…Pn都是各不相同的形如22k＋1的素数，则可用尺规等分圆周N份，且只有当N可以表成这种形式时，才可用尺规等分圆周N份。

根据这一定理，任意角的三等分就不可能了。

1882年，德国数学家林德曼借助于eiπ=-1证明了π的超越性，从而解决了化圆为方的问题。

假设圆的半径为r，正方形的边长为x，按化圆为方数代数方程的根，更不能用加减乘除开平方所表示，因而不可能用尺规法作图。

从此，古典几何的三大难题都有了答案。

2000多年来，一代接一代地攻克三大难题，有人不禁要问这值得吗？假如实际中真遇到要三等分角、立方倍积、化圆为方，只要行之有效，何苦一定用尺规作图法解决？其实，数学研究并非一定要实用，数学家对每一个未知之谜都要弄个清楚，道个明白，这种执著追求的拗劲正是科学的精神。

更为重要的是，对三大难题的研究，反过来促进了数学的发展，出现了新的数学思想和方法，例如阿基米德、帕普斯发现的三等分角的方法，勃洛特用两块三角板解决立方倍积问题(这个我在上初中时曾经证明过，的确成立)，等分圆周、作正多边形，高斯关于尺规作图标准的重大发现等等。

每一次突破不仅是人类智慧的胜利，使数学园地争奇竞艳，而且有利于科学技术的发展。

特别值得提到的是，在三大几何难题获得解决的同时，法国数学家伽罗瓦从一般角度对不可能性问题进行研究，在1830年，19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理论和方法，从而创立了群论。

群论是近世抽象代数的基础，它是许多实际问题的数学模型，应用极其广泛，而三大几何作图难题只不过是这种理论的推论、例题或习题。

所以，一般认为三大难题的解决归功于伽罗瓦理论，可伽罗瓦理论是在他死后14年才发表的，直到1870年，伽罗瓦理论才得到第一次全面清楚的介绍。

群和方程联系
初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。

沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。

发展到这个阶段，就叫做高等代数。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。

现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。

高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。

这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。

向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。

在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。

所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。

三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。

这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。

遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。

到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。

既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。

阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。

后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。

伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。

伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。

他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。

有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。

公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。

我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。

”
伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。

他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。

随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。

伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。

从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。

在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。

代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。

代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。

虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。

因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。

比如群、环、域等。

代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。

因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。

比较重要的代数系统有群论、环论、域论。

群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。

现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。

初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。