概率论第三章-随机向量的独立性

f X ( x) =
1 e 2π σ 1
−
( x − µ 1 )2
2 2σ 1
fY ( y ) =
2π σ 2
1
−
( y − µ 2 )2
2 2σ 2
e
X~ N（µ1，σ12 ) , （
Y~ N（µ2，σ22 ) （
二维正态随机向量（ 二维正态随机向量（X，Y）的两个分量独立的充要条件是 ）
ρ= 0
P {X ≤ a , X ≤ b} = P {X ≤ a}P { X ≤ b}
对所有实数对(a, b) 均成立. 对所有实数对( 均成立. 随机事件{ 有下述关系： 2) 随机事件{ X≤a } 与{︱X︱ ≤a } 有下述关系：
{X
从而
≤ a} = {− a ≤ X ≤ a} ⊂ {X ≤ a}
P{ X ≤ a , X ≤ a } = P{ X ≤ a }
维随机变量X 相互独立， 维随机变量 例如3维随机变量 1 ,X2 ,X3 相互独立，则 X12 , X22 , X32 也相互独立 相互独立. X1 +X2与X3也相互独立 相互独立. sinX1 与X3也相互独立. 相互独立.
X1 +X2与X1 －X2 不一定相互独立. 不一定相互独立
随机变量的独立性本质上 是事件的独立性
FX ( x) FY ( y )
∀ i, j
1) 对于离散型的随机变量，X与Y相互独立的充要条件为：
P{ X = xi , Y = y j } = P{ X = xi } ⋅ P {Y = y j }
2) 对于连续型的随机变量， X与Y相互独立的充要条件为：
f ( x , y ) = f X ( x) fY ( y ) 几乎处处成立。
例1 设随机变量
相互独立，试确定 a,b,c 的值？
解： 因为
相互独立
1 1 1 1 ( + a + c ) + ( + + b) = 1 ⇒ c = 9 9 3 6
例2 设随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
4 x y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, f ( x , y) = 其它． 0, 试问 X 与 Y 是否相互独立? 解 因为 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度 14 xydy = 2 x, 0 ≤ x ≤ 1, +∞ ∫ f X ( x) = ∫ f ( x , y ) dy = 0 −∞ 0, 其它． 2 y , 0 ≤ y ≤ 1 , f Y ( y) = Q f ( x , y ) = f X ( x ) fY ( y ) 其它． 0, 故 X 与 Y 是相互独立的。
F ( x1 , x2 ,L, xn ) = ∏ Fi ( xi ),
i =1
n
相互独立. 称X1 ,X2,…Xn 相互独立
定理 若n 维随机变量（X1 ,X2,…，Xn ) 相互独立，则 维随机变量（ 相互独立， ，
1) 任意 个随机变量( 2≤ k ≤n )也相互独立. 任意k个随机变量 ≤ 个随机变量 也相互独立. 2). 随机变量 g1(X1), g2(X2),…, gn(Xn)也相互独立. 也相互独立. 3) 随机变量 h (X1 ,X2,…,Xm ) 与g(Xm+1 ,Xm+2,…,Xn ) 也 相互独立. 相互独立.
解
对于任意给定的实数 a > 0 有
{ X ≤ a } = {− a ≤ X ≤ a } ⊂ { X ≤ a }
从而
P { X ≤ a , X ≤ a } = P { X ≤ a },
(1)
又 0 < P { X ≤ a } < 1， 0 < P { X ≤ a } < 1
⇒ P { X ≤ a } P { X ≤ a } < P { X ≤ a },
f ( x , y ) = f X ( x ) ⋅ fY ( y )
相互独立， 因为随机变量 X , Y 相互独立，则
2 , = aπ 0,
o< x<a,0< y< π ; 2 其他.
x
a b
2 P {X < b cosY } = ∫∫ dxdy D aπ
2 2b = S (D ) = aπ aπ
第四节 相互独立的随机变量
一、两个随机变量的独立性 二、n个随机变量的独立性 个随机变量的独立性
第三章
一、两个随机变量的独立性 定义1 定义1 若二维随机变量 ( X , Y ) 对任意的实数 x, y 均有
P{ X ≤ x ,Y ≤ y} = P{ X ≤ x} P{Y ≤ y}
⑴
成立，则称随机变量 X 与Y 是相互独立的。 即 F ( x , y) =
例5、
V 0 U 0 1/3 0 1 1/3
1 1/3 1/3 2/3 2/3 1/3 U、V不相互独立。 不相互独立。
例6(提高题) 设随机变量 X 的概率密度为 6(提高题) 提高题
f (x) =
1 −x e 2
,
− ∞ < x < +∞
是否相互独立. 问 X 与 ︱X︱ 是否相互独立. 相互独立， 分析 1) 判定X 与︱X︱相互独立，则需验证
x = b cosy
D
0
y
π/2
例4 .设（X，Y）服从N（μ1，σ12；μ2，σ22；
ρ ），X与Y独立的条件。
f ( x, y) = 1 2πσ 1σ 2 1 − ρ 2 ⋅ exp{− x − µ1 2 x − µ1 y − µ 2 y − µ 2 2 1 (( ) − 2ρ ) )} +( 2 σ1 σ 2 σ2 2(1 − ρ ) σ 1
( 2)
∴ P{ X ≤ a , X ≤ a } ≠ P{ X ≤ a }P{ X ≤ a }
即 X 与︱X︱ 不相互独立. 不相互独立.
二. 多维随机变量的独立性 定义 维随机变量（ 设 n 维随机变量（X1 ,X2,…Xn )的 的 联合分布函数为 联合分布函数为 F(x1 , x2 ,…, xn )， 若对任意 ， 实数x 实数 1 , x2 ,…, xn 均有
相互独立,X~U( 0,a ) , 例3 设随机变量 X , Y 相互独立 Y~ U( 0, π/ 2 ) 且 0 < b < a 试求 P { X < b cosY } 解：
1 , 0 < x < a; f X (x) = a 其他; 0, 2 , 0 < y < π ; 2 fY ( y ) = π 0, 其他.