第一章非线性振动初步

x ' (t ) A0e
t
cos( t )
2 0 2
2 2 2
A
F

e i
( 2 2 )2 4 2 2
1．线性单摆的受迫振动
小摆角驱动单摆的通解
A F e i

x " (t ) Ae
i t
x " (t )
F

e i e i( t )
代入、 以后特解为：
x " (t ) F ( 2 2 )2 4 2 2 cos( t x(t ) x' x" A0e t cos( t ) F ( 2 2 )2 4 2 2 cos( t tg1 2 ) 2 2
A
2. 杜芬方程的受迫振动
杜芬方程解
2. 方程解(续)
F cos 0 2 1 F 1 A2 sin 0 16 A ( + ) F cos 0 2 F e sin 0 A( + )
A
A
e 1

1 2 A 16
等效自 振频率
考虑近共振：
2
e
A F cos 2 2 (e )A F sin
sin2 cos2 1
A= F [(e2 2 )2 + ()2 ]
共振 频率
将分母根号下对频率求导并令其等于零： df (v ) d [( 2 2 )2 42 2 ] 0 (2 2 ) 22 d d
r 2 2 2
共振频率r小于系统自振频率，
共振时的最大振幅为：
Ar F 2 2 2
2 2 2
积分
dA A F cos dt 2 d 1 F A 2 sin dt 16 A ( + )
讨论稳态
dA / dt 0
d / dt 0
F cos 0 2 1 F 1 A2 sin 0 16 A ( + )
d 2x dx 2 2 1 3 x x F cos t 2 dt dt 6
改写
其中
f (x ,
dx dx 1 ,t ) + 2 x 3 + F cos t dt dt 6
2. 杜芬方程的受迫振动
杜芬方程解
2. 方程解(续)
dA 1 2 dx f ( x , ,t ) sin d dt 2 0 dt d 2 1 dx f ( x , ,t ) cosd 2A 0 dt dt
第一章 非线性振动初步
第四节 受迫振荡
1．线性单摆的受迫振动
2. 杜芬方程的受迫振动
3. 庞加莱截面 4. 初识单摆的复杂运动
1．线性单摆的受迫振动
小摆角驱动单摆的通解
驱动单摆方程
/ 2m F f / ml
d 2x dx 2 2 x F cos t 2 dt dt
这是非齐次线性微分方程,其通解是 它的齐次线性方程的通解和它一个特 解之和。
x (t ) x ' (t ) x " (t )
消去公因子 e i t
2A 2iA 2A F
A F ( 2 ) 2i
2
1. 齐次方程的通解: 类似线性阻尼单摆，得：
tg1
arctg
共振时最大振幅与阻尼有关
2. 杜芬方程的受迫振动
杜芬方程解
1. 受驱杜芬方程 由单摆方程
d 2x dx 2 sin x F cos t 2 dt dt

2
d 2x dx （F cost 驱动力） 3 x x F cos t dt 2 dt
驱动力写成指数
d 2x dx 2 i t 2 x Fe dt 2 dt
• 2. 非齐次方程的特解: 设 x " (t ) Ae i t d 2x " dx " 2 i t 求导： i t Ae iAe dt 2 dt
代入
d 2x dx 2 2 x Fe i t 2 dt dt
第一项随时间衰减，经一段时间后第一项将衰减到零，最后仅剩下第二部分：
x(t ) x' x" F ( 2 2 )2 4 2 2 cos( t tg1 2 ) 2 2
衰减过程常称为过渡过程。
1．线性单摆的受迫振动
谐振特性
研究幅频特性：
A F ( 2 2 )2 4 2 2
2. 杜芬方程的受迫振动
谐振特性
单摆
A F ( 2 2 )2 4 2 2
杜芬方程
A=
F [(e2 2 )2 + ()2 ]
自振频率是常数
等效自振频率随振幅增加而减小
e 1
1 2 A 16
由于自振频率随振幅增加而减小，共振峰 发生“倾倒”现象，形成了向左的S形曲线。
2
6
d 2x dx x3 2 ( x ) F cos t 2 dt dt 6
2. 方程解 设一次近似解 x (t ) A cos( t ) （A, 为待定常数） A,由下述方程组求出：
dA 1 2 dx f ( x , ,t ) sin d dt 2 0 dt d 2 1 dx f ( x , ,t ) cosd 2A 0 dt dt