同济版高数课件
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导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
★ 如 果 f ( x ) 在 开 区 间 a , b 内 可 导 ， 且 f ( a ) 及
f ( b ) 都 存 在 ， 就 说 f ( x ) 在 闭 区 间 a , b 上 可 导 .
★ 设函数
可导性 .
若 lim
.
例6 讨论函数
解
f ( x ) x 在 x 0 处的可导性
h h
y
.
y x
f (0 h) f (0) h
,
lim
h 0
f (0 h) f (0)
limh 0hFra bibliotek 1,
h f (0 h) f (0)
h h
1.
o
x
lim
h 0
lim
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
x 0
;
2.右导数:
f ( x 0 )
x x0 0
lim
f ( x) f ( x0 ) x x0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
x 0
;
★ 函数 f ( x )在点x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.
v ( t ) lim s t
t 0
ds dt
.
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
i ( t ) lim q t
t 0
dq dt
.
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
在 x 0处不可导 .
1
x 0 x 0
,
－1/π
0
1/π
x
4 . 若 f ( x 0 ) , 且在点 x 0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x 0 为函数 f ( x )的尖点
( 不可导点 ) .
y y
y f ( x)
y f ( x)
o
x
o
x0
x
例8 讨论函数
.
例4 求函数 f ( x ) a x ( a 0 , a 1 ) 的导数 . 解
( a ) lim
x
a
xh
a h
x
h 0
a
a
x
lim
a
h
1 h
h 0
x
ln a .
即
x x (a ) a ln a .
( e ) e .
x x
例5 求函数 y log a x ( a 0 , a 1 ) 的导数 .
即
f ( x h) f ( x ) h
(C ) 0 .
h 0
lim
C C h
0.
h 0
例2 设函数 f ( x ) sin x , 求 (sin x ) 及 (sin x ) 解
(sin x ) lim sin( x h ) sin x h
h 2 sin ) h 2 h 2
当 x 0时 ,
y x
在 1 和 1 之间振荡而极限不存在
.
f ( x ) 在 x 0 处不可导 .
六、小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2 . f ( x 0 ) a f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ;
3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
o
T
f ( x 0 ) tan ,
x0
x
切线方程为 法线方程为
y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
y y0 1 f ( x 0 ) ( x x 0 ).
例7 求等边双曲线
y
1
在点 ( , 2 ) 处的切线的 x 2 方程和法线方程 .
1
y
2
.
y x
例如,
x , f (x) x, x 0 x 0 ,
y x
2
0
x
在 x 0 处不可导 , x 0 为 f ( x )的角点 .
2 . 设函数 lim y x
f ( x ) 在点 x 0 连续 , 但 lim f ( x0 x) f ( x0 ) x
斜率 , 并写出在该点处的切线
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y
1 2
x
(
1 x
)
x
1 2
1 x
2 x 1 2
4.
所求切线方程为 y 2
法线方程为
y2 1 4
4( x
1 2
1 2
),
即 4 x y 4 0.
(x
), 即 2 x 8 y 15 0 .
五、可导与连续的关系
定理
证
凡可导函数都是连续函数.
设函数
lim y x
f ( x ) 在点 x 0 可导 ,
f ( x 0 ) y x f ( x 0 )
x 0
0
x 0
(x 0)
x 0
y f ( x 0 ) x x
x 0
其它形式
f ( x 0 ) lim
h 0
.
f ( x 0 ) lim
x x0
关于导数的说明：
★
点导数是因变量在点
x 0 处的变化率
,它
反映了 因变量随自变量的变化 慢程度 .
而变化的快
★
如果函数
y f ( x ) 在开区间
I 内的每点 I 内可导 .
处都可导 , 就称函数
cos x .
x
4
.
h 0
lim cos( x
h 0
即
(sin x ) cos x .
2 2
(sin x )
x
4
cos x
x
4
.
例3 求函数 y x n ( n 为正整数 ) 的导数 . 解
( x ) lim
n
( x h) x
x 0
x 0
,
称函数
f ( x ) 在点 x 0 有无穷导数
. ( 不可导 )
y
3
例如,
f (x)
3
y
x 1,
0
x 1
在 x 1处不可导 .
1
x
3 . 函数 f ( x ) 在连续点的左右导数都 ( 指摆动不定 ) , 则 x 0 点不可导 .
y
不存在
例如,
1 x sin , f (x) x 0,
x x0
x 0
或 f ( x ) lim
h 0
.
注意: 1 . f ( x 0 ) f ( x )
.
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
播放
★ 单侧导数 1.左导数:
f ( x 0 )
x x0 0
lim
f ( x) f ( x0 ) x x0
t0
t
v
g 2
( t 0 t ).
t
当 t t 0时 ,
取极限得
g (t 0 t) 2
t t0
瞬时速度
v lim
gt 0 .
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即
解
y lim
log a ( x h ) log
a
x
h h log a ( 1 ) x 1 lim h 0 h x
x
h 0
1 x
lim log a ( 1
h 0
h x
x
)h
1 x e.
log
a
e.
即
(log
a
x )
1 x
log
a
(ln x )
1 x
x 0
lim
( x0 x) ( x0 )
x
x 0
f ( x 0 ) 存在 ,
且 f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ,
则 f ( x )在点 x 0 可导，
且 f ( x 0 ) a .
三、由定义求导数
步骤:
(1) 求增量
MN 0 , NMT 0 .
割线 MN 的斜率为
沿曲线 C
y f ( x)
N T
C
M
o
x0
x
x
设 M ( x 0 , y 0 ), N ( x , y ).
tan
y y0 x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0 f ( x) f ( x0 ) x x0
x x0
,
dy dx
x x0
或
df ( x ) dx
x x0
,
即 y
x x0
lim
y x
x 0
lim
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) x
f ( x 0 h) f ( x 0 ) h
f ( x ) f ( x0 ) x x0 .
,
N M , x x0 ,
切线 MT 的斜率为
k tan lim
x x0
.
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x ( 点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x )在点 x0处的导数, 记为y
第二章
导数与微分
第一节 导数的概念
一、问题的提出
二、导数的定义
三、由定义求导数 四、导数的几何意义与物理意义 五、可导与连续的关系 六、小结
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图,
求 t 0 时刻的瞬时速度 ,
取一邻近于
平均速度
t 0的时刻 t , 运动时间 t ,
s t
s s0 t t0
h 0
h
h
即 f ( 0 ) f ( 0 ),
函数 y f ( x ) 在 x 0 点不可导 .
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
f ( x 0 ) 表示曲线 y f (x)
M
y
y f ( x)
在点 M ( x 0 , f ( x 0 )) 处的 切线的斜率 ,即 ( 为倾角 )
( x ), f (x) ( x ),
f ( x0 x) f ( x0 ) x
x x0 x x0
, 讨论在点
x 0的
x 0
lim
( x0 x) ( x0 )
x
x 0
f ( x 0 ) 存在 ,
若 lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
n
n
h 0
n1
h
lim [ nx
h 0
n( n 1) 2!
n1
x
n2
h h
n1
] nx
n1
即
( x ) nx
n
.
更一般地 例如,
(
(x
1 ( x ) x .
1
( R )
. x 1 x
2
x )
1
1 2
1
x
2
2
11
1
) ( 1) x
( 2) 算比值 ( 3) 求极限
y f ( x x ) f ( x );
y x f ( x x ) f ( x ) y x x . ;
y lim
x 0
例1 求函数 f ( x ) C ( C 为常数 ) 的导数 . 解
f ( x ) lim
1 x sin , f (x) x 0,
x 0 x 0 .
1 x 0
,
在 x 0 处的连续性与可导性
解
sin
1 x
是有界函数
,
lim x sin
x 0
f ( 0 ) lim f ( x ) 0
x 0
但在 x 0 处有
f ( x ) 在 x 0 处连续 . 1 ( 0 x ) sin 0 1 y 0 x sin x x x
f ( x ) 在开区间
★ 对于任一
x I , 都对应着
f ( x ) 的一个确定的 f ( x ) 的导函数 .
导数值 .这个函数叫做原来函数 记作 y , f ( x ), dy dx 或 df ( x ) dx .
即 y lim
f ( x x) f ( x) x f ( x h) f ( x ) h
lim y lim [ f ( x 0 ) x x ] 0
函数 f ( x ) 在点 x 0 连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立. ★ 连续函数不存在导数举例
1 . 函数 f ( x ) 连续 , 若 f ( x 0 ) f ( x 0 )则称点 x 0 为函数 f ( x ) 的角点 , 函数在角点不可导
★ 如 果 f ( x ) 在 开 区 间 a , b 内 可 导 ， 且 f ( a ) 及
f ( b ) 都 存 在 ， 就 说 f ( x ) 在 闭 区 间 a , b 上 可 导 .
★ 设函数
可导性 .
若 lim
.
例6 讨论函数
解
f ( x ) x 在 x 0 处的可导性
h h
y
.
y x
f (0 h) f (0) h
,
lim
h 0
f (0 h) f (0)
limh 0hFra bibliotek 1,
h f (0 h) f (0)
h h
1.
o
x
lim
h 0
lim
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
x 0
;
2.右导数:
f ( x 0 )
x x0 0
lim
f ( x) f ( x0 ) x x0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
x 0
;
★ 函数 f ( x )在点x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.
v ( t ) lim s t
t 0
ds dt
.
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
i ( t ) lim q t
t 0
dq dt
.
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
在 x 0处不可导 .
1
x 0 x 0
,
－1/π
0
1/π
x
4 . 若 f ( x 0 ) , 且在点 x 0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x 0 为函数 f ( x )的尖点
( 不可导点 ) .
y y
y f ( x)
y f ( x)
o
x
o
x0
x
例8 讨论函数
.
例4 求函数 f ( x ) a x ( a 0 , a 1 ) 的导数 . 解
( a ) lim
x
a
xh
a h
x
h 0
a
a
x
lim
a
h
1 h
h 0
x
ln a .
即
x x (a ) a ln a .
( e ) e .
x x
例5 求函数 y log a x ( a 0 , a 1 ) 的导数 .
即
f ( x h) f ( x ) h
(C ) 0 .
h 0
lim
C C h
0.
h 0
例2 设函数 f ( x ) sin x , 求 (sin x ) 及 (sin x ) 解
(sin x ) lim sin( x h ) sin x h
h 2 sin ) h 2 h 2
当 x 0时 ,
y x
在 1 和 1 之间振荡而极限不存在
.
f ( x ) 在 x 0 处不可导 .
六、小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2 . f ( x 0 ) a f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ;
3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
o
T
f ( x 0 ) tan ,
x0
x
切线方程为 法线方程为
y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
y y0 1 f ( x 0 ) ( x x 0 ).
例7 求等边双曲线
y
1
在点 ( , 2 ) 处的切线的 x 2 方程和法线方程 .
1
y
2
.
y x
例如,
x , f (x) x, x 0 x 0 ,
y x
2
0
x
在 x 0 处不可导 , x 0 为 f ( x )的角点 .
2 . 设函数 lim y x
f ( x ) 在点 x 0 连续 , 但 lim f ( x0 x) f ( x0 ) x
斜率 , 并写出在该点处的切线
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y
1 2
x
(
1 x
)
x
1 2
1 x
2 x 1 2
4.
所求切线方程为 y 2
法线方程为
y2 1 4
4( x
1 2
1 2
),
即 4 x y 4 0.
(x
), 即 2 x 8 y 15 0 .
五、可导与连续的关系
定理
证
凡可导函数都是连续函数.
设函数
lim y x
f ( x ) 在点 x 0 可导 ,
f ( x 0 ) y x f ( x 0 )
x 0
0
x 0
(x 0)
x 0
y f ( x 0 ) x x
x 0
其它形式
f ( x 0 ) lim
h 0
.
f ( x 0 ) lim
x x0
关于导数的说明：
★
点导数是因变量在点
x 0 处的变化率
,它
反映了 因变量随自变量的变化 慢程度 .
而变化的快
★
如果函数
y f ( x ) 在开区间
I 内的每点 I 内可导 .
处都可导 , 就称函数
cos x .
x
4
.
h 0
lim cos( x
h 0
即
(sin x ) cos x .
2 2
(sin x )
x
4
cos x
x
4
.
例3 求函数 y x n ( n 为正整数 ) 的导数 . 解
( x ) lim
n
( x h) x
x 0
x 0
,
称函数
f ( x ) 在点 x 0 有无穷导数
. ( 不可导 )
y
3
例如,
f (x)
3
y
x 1,
0
x 1
在 x 1处不可导 .
1
x
3 . 函数 f ( x ) 在连续点的左右导数都 ( 指摆动不定 ) , 则 x 0 点不可导 .
y
不存在
例如,
1 x sin , f (x) x 0,
x x0
x 0
或 f ( x ) lim
h 0
.
注意: 1 . f ( x 0 ) f ( x )
.
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
播放
★ 单侧导数 1.左导数:
f ( x 0 )
x x0 0
lim
f ( x) f ( x0 ) x x0
t0
t
v
g 2
( t 0 t ).
t
当 t t 0时 ,
取极限得
g (t 0 t) 2
t t0
瞬时速度
v lim
gt 0 .
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即
解
y lim
log a ( x h ) log
a
x
h h log a ( 1 ) x 1 lim h 0 h x
x
h 0
1 x
lim log a ( 1
h 0
h x
x
)h
1 x e.
log
a
e.
即
(log
a
x )
1 x
log
a
(ln x )
1 x
x 0
lim
( x0 x) ( x0 )
x
x 0
f ( x 0 ) 存在 ,
且 f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ,
则 f ( x )在点 x 0 可导，
且 f ( x 0 ) a .
三、由定义求导数
步骤:
(1) 求增量
MN 0 , NMT 0 .
割线 MN 的斜率为
沿曲线 C
y f ( x)
N T
C
M
o
x0
x
x
设 M ( x 0 , y 0 ), N ( x , y ).
tan
y y0 x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0 f ( x) f ( x0 ) x x0
x x0
,
dy dx
x x0
或
df ( x ) dx
x x0
,
即 y
x x0
lim
y x
x 0
lim
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) x
f ( x 0 h) f ( x 0 ) h
f ( x ) f ( x0 ) x x0 .
,
N M , x x0 ,
切线 MT 的斜率为
k tan lim
x x0
.
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x ( 点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x )在点 x0处的导数, 记为y
第二章
导数与微分
第一节 导数的概念
一、问题的提出
二、导数的定义
三、由定义求导数 四、导数的几何意义与物理意义 五、可导与连续的关系 六、小结
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图,
求 t 0 时刻的瞬时速度 ,
取一邻近于
平均速度
t 0的时刻 t , 运动时间 t ,
s t
s s0 t t0
h 0
h
h
即 f ( 0 ) f ( 0 ),
函数 y f ( x ) 在 x 0 点不可导 .
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
f ( x 0 ) 表示曲线 y f (x)
M
y
y f ( x)
在点 M ( x 0 , f ( x 0 )) 处的 切线的斜率 ,即 ( 为倾角 )
( x ), f (x) ( x ),
f ( x0 x) f ( x0 ) x
x x0 x x0
, 讨论在点
x 0的
x 0
lim
( x0 x) ( x0 )
x
x 0
f ( x 0 ) 存在 ,
若 lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
n
n
h 0
n1
h
lim [ nx
h 0
n( n 1) 2!
n1
x
n2
h h
n1
] nx
n1
即
( x ) nx
n
.
更一般地 例如,
(
(x
1 ( x ) x .
1
( R )
. x 1 x
2
x )
1
1 2
1
x
2
2
11
1
) ( 1) x
( 2) 算比值 ( 3) 求极限
y f ( x x ) f ( x );
y x f ( x x ) f ( x ) y x x . ;
y lim
x 0
例1 求函数 f ( x ) C ( C 为常数 ) 的导数 . 解
f ( x ) lim
1 x sin , f (x) x 0,
x 0 x 0 .
1 x 0
,
在 x 0 处的连续性与可导性
解
sin
1 x
是有界函数
,
lim x sin
x 0
f ( 0 ) lim f ( x ) 0
x 0
但在 x 0 处有
f ( x ) 在 x 0 处连续 . 1 ( 0 x ) sin 0 1 y 0 x sin x x x
f ( x ) 在开区间
★ 对于任一
x I , 都对应着
f ( x ) 的一个确定的 f ( x ) 的导函数 .
导数值 .这个函数叫做原来函数 记作 y , f ( x ), dy dx 或 df ( x ) dx .
即 y lim
f ( x x) f ( x) x f ( x h) f ( x ) h
lim y lim [ f ( x 0 ) x x ] 0
函数 f ( x ) 在点 x 0 连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立. ★ 连续函数不存在导数举例
1 . 函数 f ( x ) 连续 , 若 f ( x 0 ) f ( x 0 )则称点 x 0 为函数 f ( x ) 的角点 , 函数在角点不可导