高等数学第二章导数与微分

x y x lim lim lim 1, 而 x 0 x x 0 x x 0 x x y x lim lim lim 1, x 0 x x 0 x x 0 x y lim 因左右极限不等，故极限 不存在， x 0 x 即函数在点 x＝0没有导数。
f ( x0 h) f ( x0 h) 例5. 设 存在, 求极限 lim . h 0 2h 是否可按下述方法作: f ( x ) f ( x0 ) hf)( x0f h (x ) 0 0) 0 解: 原式 lim 令 t x0 0h , 则 h 2 hh) 2( 原式 1 f ( x ) 1 f ( x ) f ( x0 ) 0 0 2 2
即
cos x
(sin x) cos x (cos x) sin x
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类似可证得
例4. 对数函数的导数 设 y = loga x ( a > 0, a ≠ 1)，则
x y log a ( x x) log a x log a 1 x 于是 y 1 x log a (1 ) x 1 log a (1 x ) x x x x x x
f (t0 t ) f (t0 ) s v0 lim v lim lim t 0 t 0 t t 0 t
瞬时速度 切线斜率
两个问题的共性:
o
y
f (t0 )
f (t )
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t0
t
s
y f ( x)
N
C
M
T
o x0
x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题
y f ( x)
曲线
在点
的切线斜率为
tan f ( x0 )
曲线在点 切线方程: 处的
C
M
x0
T
o y
x
( x0 , y0 )
o
y
x0
x
法线方程:
o
x0
x
( f ( x0 ) 0 )
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左右导数
定义2 . 设函数 有定义, 若极限
( x 0 )
(v( x) 0)
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(1) (u v) u v
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
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(2)
(u v) uv u v
推论: 1) ( C u ) C u ( C为常数 )
2) ( uvw ) u vw uvw uvw
(2) 求增量比，即求割线M0 M的斜率 曲线上的点由M0(x0，y0)变到M0(x0＋ △ x，y0＋ △y),当△ t很 小时可用割线M0 M的斜率近似代替切线M0T的斜率。割线的斜率即
为增量比
y f ( x0 x) f ( x0 ) x x
(3) 求极限 当 x 0时，点M沿曲线无限趋近于点M0，割线M0 M的极限 为切线M0T，因而割线斜率的极限就是切线的斜率，即
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线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限

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二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点
的某邻域内有定义 ,
若
f ( x ) f ( x0 ) y lim lim x x0 x x0 x 0 x
y f ( x) f ( x0 ) x x x0


内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限; f ( x0 ) f ( x0 ) a 2. f ( x0 ) a
3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 :
(C ) 0 ;
1 (ln x) x (cos x) sin x ;
1 x x
3 7 3 ) ( x 4 ) x 4
4
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例3. 求函数 解: 则
的导数.
f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin x lim lim h 0 h 0 h h h lim 2 cos( x ) 2 h 0 h lim cos( x ) h 0 2
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例1. y x ( x 4 cos x sin 1) ,
3 ( x 4 cos x sin 1) 解: y ( x )
3
x ( x 4 cos x sin 1)
3
2 x 1 y x 1 (1 4 cos 1 sin 1) ( 3 4 sin 1) 2 7 7 sin 1 2 cos 1 2 2
y0

△y
当点M沿曲线无限趋近于点
M0时，割线绕点M0转动，其 极限位置M0T就是曲线在点
o
x0 x0＋ △ x
x
图2.2
M0处的切线，如图2.2所示。
我们分三步来解决。 (1) 求增量 给x0一个增量△ x，自变量由x0变到x0 ＋ △ x，曲线上点的纵 坐标有相应的增量△ y= f (x0＋ △ x) － f (x0) .
1 x x log a (1 ) xx x 所以 y lim 1 log (1 x ) x 1 log e, a a x 0 x x x 即
(log a x) d 1 (log a x) . dx x ln a
x
特别当 a = e 时，我们有 d 1 (ln x) (ln x) . dx x
联系:
注意:
f ( x0 )？ [ f ( x0 ) ]
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2. 设
存在 , 则 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x ) lim ________ 0 . h 0 h 则
3. 已知
k0
4. 设 都存在 , 并求出
, 问 a 取何值时,
x a
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说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
( x ) x 1
( x ) 例如，
1 ( x 2 )
（以后将证明）
1 1x 2 1 2 2 x


(
1 1 1 1 1 ( x ) x 2 x x
存在, 则称函数
在点
处可导, 并称此极限为
即
的导数. 记作: d f ( x) y x x0 ; f ( x0 ) ; d y ; d x x x0 d x x x0 y x x0 f ( x0 ) lim y x 0 x
在点
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y
其中 ( 2 ) 是切线M0T与x轴正向的夹角。
f ( x0 x) f ( x0 ) y tan lim lim x 0 x t 0 x
2 求变速直线运动的瞬时速度
用s表示质点运动的路程，以O为原点，沿质点运动的方向建 立数轴—s轴，如图2.1，显然路程s是时间t的函数，记作 s=f (t), t∈[0,T]，现求t0时刻的瞬时速度v0=v(t0).
第二章 导数与微分
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz 微分学
导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
导数
微分
描述函数变化快慢
描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节 导数的概念
一、引例 二、导数的定义
第二章
三、导数的几何意义
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f ( x) . ; 记作: y ; f ( x ) ; dx dx 注意:
f ( x0 ) f ( x) x x0

d f ( x0 ) dx
四、函数的可导性与连续性的关系
五、单侧导数
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2.1导数的概念
2.1.1 导数的概念
1. 求曲线上一点处切线的斜率
在初等数学中我们已经 知道，曲线y=f (x)上的两点 M0(x0，y0)和M(x，y)的连线 M0 M是该曲线的一条割线。
y
y0＋ △y
y=f (x) M M0 T
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2.1.2、 函数的可导性与连续性的关系
定理1. 证: 设 存在 , 因此必有 其中 故 在点 x 处可导, 即
x 0
在点 x 连续 .
y x
所以函数
y
o
注意: 函数在点 x 连续未必可导. 反例: 在 x = 0 处连续 , 但不可导.
x
在 x = 0 处连续 , 但不可导.
运动质点的位置函数 s f (t )
在 t 0 时刻的瞬时速度
o
f (t0 )
f (t )
t0
t
s
f (t0 )
曲线 C : y f ( x) 在 M 点处的切线斜率
y
y f ( x)
N
f ( x0 )
C
M
x0
T
o
x x
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y f ( x) f ( x0 ) x x x0
第二章
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思路:
( 构造性定义 ) 本节内容
( C ) 0 ( sin x ) cos x 证明中利用了 1 两个重要极限 ( ln x ) x
初等函数求导问题
求导法则 其它基本初等 函数求导公式
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2.2.1 四则运算求导法则
定理1. 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且

在点
的某个右 (左) 邻域内
( x 0 )

x0
在 处的右 (左) 导数, 记作
存在, 则称此极限值为
( x0 ) ( f f ( x0 ))
即
( x0 ) f


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定理. 函数 是 简写为
在点 且
可导的充分必要条件
f ( x 0 ) 存在
f ( x0 )
不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等.
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思考与练习
1. 函数 在某点 处的导数 与导函数
有什么区别与联系 ?
区别:
f ( x) 是函数 , f ( x0 ) 是数值;
f ( x) x x0 f ( x0 )
在
解: 显然该函数在 x = 0 连续 .
sin x 0 (0) lim f 1 x0 x 0 ax 0 (0) lim a f x 0 x 0 在 故 a 1 时 此时
都存在,
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2.2
导数的运算法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
当△ t 很小时，可把质点在△ t间隔内的运动近似看成匀速运动 （以不变代变），则△ t内的平均速度
s f (t0 t ) f (t0 ) v t t
(3) 求极限
当△ t 越来越小时，平均速度便越来越接近于t0时刻的瞬时速 度v0 ，于是当 t 0 时，平均速度的极限就是瞬时速度v0 ，即
例1. 求函数
(C 为常数) 的导数. f ( x x ) f ( x ) 解: y lim x 0 x
即 例2. 求函数 解:
f ( x) f (a) xn an lim lim x a x a x a xa
lim ( x n 1 a x n 2 a 2 x n 3 a n 1 )
M
O
M0
M1
P
△s
s
图2.1 分三步来解决这一问题。 (1) 求增量 给t0一个增量△ t，时间t0从变到t1 ＝ t0 ＋ △ t ，质点M从M0运 动到M1 ，路程的增量为
△ s= f (t1) － f (t0) = f (t0＋ △ t) － f (t0) (2) 求增量比，即求△ t内的平均速度