数理金融初步
（1章）6从52张扑克随机抽出两张牌。如果已知两张的花色不同，则他们都是A 的条件概率是多少？ 解：设第一次取出A 的事件为A1，第二次取出不同花色A 的事件为A2,则p(A1A2)=P(A1)p(A2/A1) 因为p(A1)=4/52=1/13 p(A2/A1)=3/52-13=3/39=1/13,所以p(A1A2)=1/169
7若A,B 独立，证明下列事件也独立：a)A 和B^c b)A^c 和B^c
证明：a)因为p （B ）+p(B^c)=1,p(B/A)+P(B^c/A)=1,所以p(B^cA)=p(A)xp(B^c/A)=p(A)[1-p(B/A)]=p(A) -p(A)p(B)=p(A)[1-p(B)]=p(A)p(B^c),所以A 和B^c 独立
b)p(A^c)p(B^c)=p(B^c)p(A^c/B^c)=p(B^c)[1-p(A/B^c)=p(B^c)-p(B^c)p(A/B^c)=p(B^c)-p(A^cB^ c)=p(B^c)-p(A)P(B^c)=p(B^c)[1-p(A)]=p(B^c)p(A^c),所以A^c 和B^c 独立。
9四辆公共汽车载着152位学生从同一学校出发去足球场。四辆车分别载乘39,33,46,34位学生。如果 从152位学生中任意选取一位，记X 为被选中的学生所乘坐的汽车里的学生数。四辆公共汽车的司机也随机选取一位，令Y 为那位司机驾驶的汽车里的乘坐学生人数。
a)你认为E （X ）和E （Y ）哪一个大？ b)求出E(X)和E(Y)
解：a)E(X)大。b)由题意知X 可取39,33,46,34 。Y 可取39,33,46,34。所以X=39,p(x)=39/152,
x=33,p(x)=33/152,x=46,p(x)=46/152, x=34,p(x)=34/152,同理p(Y=39)=1/4
P(Y=33)=1/4, P(Y=46)=1/4,P(Y=34)=1/4,
所以E （X ）=39x39/152+33x33/152+46x46/152+34x34/152=5882/152=38.697
E(Y)=39x1/4+33x1/4+46x1/4+34x1/4=38
10两位选手比赛兵兵球，当一个选手赢了两局时比赛结束。设每位选手赢每一局概率相等，且每一局的结果都是独立的。求比赛总局数的期望值和方差。
解：设x 为比赛的总局数，则x 可取2,3，则p(x=2)=1/2x1/2x2=1/2, p(x=)=1/2x1/2+1/2x1/2=1/2 E(X)=2x1/2+3x1/2=5/2, x^2=4,9 , p(x^2=4)=1/2,p(x^2=9)=1/2,E(x^2)=4x1/2+9x1/2=13/2 所以var(x)=E(x^2)-[E(x)]^2=13/2-(5/2)^2=1/4.
11.证明2
2])[(][)(X E X E X Var -=
证明：22222222])[(][])[(])[(2][]])[(][2[])[[()(X E X E X E X E X E X E X XE X E X E X E X Var -=+-=+-=-= 12一位律师要决定收取固定费用5000美元，还是收取胜诉酬金25000美元（输掉则一无所获）。他估计打赢的概率为0.3，求他收取的费用的均值和方差，如果a)收取固定费用b)收取胜诉酬金费用。 解：a)由题意知x=5000,p(x=5000)=1,E(x)=5000x1=5000,E(x^2)=5000^2x1=25000000,var(x)=E(x^2)-[E( x)]^2=0,所以s=0. b)由题意知x=0,25000,则p(x=0)=1-0.3=0.7, p(x=25000)=0.3,E(x)=0.7x0+
25000x0.3=7500, E(x^2)=0x0.7+(25000)^2x0.3=187500000,var(x)= E(x^2)-[E(x)]^2=131250000
S=根号下var(x)=11456.439
14.证明：][][][),(y E x E xy E y x Cov -=
证明： )]()()()([)]()(([(),(y E x E x yE y xE xy E y E y x E x E y x Cov +--=--=
][][][][][][][][][][y E x E xy E y E x E y E x E y E x E xy E -=+--=
18设任意给定的时间内，某股票价格只能等概率的增加1或减少1，且不同时期股票变化是独立的。记X 为股票在第一时间段内增加1或减少1的数量，Y 为前三段时间内累计上升的数量，求X,Y 相关性。 解：E （X ）=0, E(X^2)=1,var(x)=E(X^2)-[E(X)]^2=1
E(Y)=0,E(Y^2)=3,var(y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=3
E(XY)=1,Cov(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)=1,0333
1)()(),(),(>===y Var x Var Y X Cov Y X ρ所以X,Y 呈正相关。
所以a+bu=u, &^2=b^2&^2,因为a不等于0，所以b=-1,a=2u,即y=2u-x,
Cov(x,y)=cov(x,a+bx)=cov(x,a)+bCov(x,x)= -&^2.
5成年男子的血液收缩压服从均值为127.7，标准差为19.2的正态分布，求：a)68%的成年男子血液收缩压的取值范围。b)95%的成年男子血液收缩压的取值范围。c)99.9%成年男子血液收缩压的取值范围。解：a)设陈年男子血液收缩压为X, E为对应的正态随机变量，即E=（X-127）/19.2 u=127.7,&=19.2,所以|&|<=19=0.682,所以-1<=(E-127.7)/19.2<=1,即108.5<=E,所以取值范围为
[108.5,146.9]
b)由表可得p{|E|<=2}=0.9544,即-2<=(E-127.7)/19.2<=2,89.3<=E<=166.1,所以取值范围[89.3,166.1]
c) p{|E|<=3}=0.9974,即-3<=(E-127.7)/19.2<=3,解得70.1<=E<=185.3,所以取值范围[70.1,185.3].
第4章
1若10%的名义利率分别为：a)半年计息一次的复利b)每季度计息一次的复利c)连续复利其对应的有效利率分别是多少？
解：a)reff=(1+r/2)^2-1=10.25% b)reff=(1+r/4)^4-1=10.38% c)e^r-1=10.52
2将钱存入银行，银行支付的名义利率为10%。如果利率是连续复利利率，多久存入的钱是原来的两倍？解：pe^rt=2p e^10%t=2 t=6.93 需要7年才能变为原来的两倍
3如果利率为5%,每年计息一次，那么大约要多少年才能使你的钱变为原来的4倍？如果利率变为4%又要多少年？
解：p(1+r)^n=4p 当r=5%时，（1+0.05)^n=4,n=28.41。当然r=4%，(1+0.04)^n=4,n=35.35
4如果利率为年复利利率r,请给出一个公式，用它来估计多少年使你的钱变为原来的3倍。
解：由lim p(1+r/n)^nt=pe^rt pe^rt=3p,e^rt=3 t=lin3/r
5假设年名义利率固定在6%，每月计息一次。在未来60个月中，每月需要投资多少钱，才能在60个月后得到100000美元？
解：p[(1+r/12)+(1+r/12)^2+…+（1+r/12)^60]=100000 pX1+r/12[1-(1+r/12)^60]/1-(1+r/12)=100000
pX1.005(1-1.35)/-0.05=100000 p=100000/70.37=1421.46,所以每月需要投资1421.46美元。
6一个投资的年现金流：-1000，-1200,800,900,800.年利率为6%。对于一个既可以借款也可以存款的的人，这是否是一个值得的投资？
解：现值=-1000+-1200/(1+60%)+800/(1+60%)^2+900/(1+60%)^3+800/(1+60%)^4
=-1000+(-1132.08)+712+755.66+633.67=-30.75<0,所以不值得投资。
8一个五年期、面值为10000美元、具有10%票息率的债权，价值为10000美元。在今后五年中，每六个月支付给持有者500美元，并且将在这十次支付末再支付本金10000美元。如果每月计息一次的利率为：a)6% b)10% c)12% 求出其现值。
解：（1）当r=6%时，B=1/(1+0.6)=0.94 pv(a)=500x(0.94)^6+500x(0.94)^12+500x(0.94)^18+…+500x(0.94)^60+500x(0.94)^100=1085+244=1329
(2)当r=10%时，B=1/(1+0.1)=0.91 PV(a)=500x0.91^6+500x0.91^12+…+500x0.91^60+10000x0.91^60=653+34=687
(3)当r=12%, B=1/(1+0.12)=0.89 pv(a)=500x0.89^6+500x0.89^12+…
+500x0.89^60+10000x0.89^60=493+9=502
9一个朋友购买了一套新的价值4200美元的音响系统。他同意预付定金1000美元，并在一个月后开始每月支付160美元，共支付24个月。那么所支付的有效利率是多少？
解：设每个月支付的利率为r,所以B=1/(1+r) 所以160(B+B^2+…+B^24)+1000=4200
160XB(1-B^24)/(1-B)=3200 B(1-B^24)/(1-B)=20 因为r=1-B/B 所以
1/1+r[1-(1/1+r)^24]/(1-1/1+r)=20 所以reff=1+r-1=r=1.5%
12假设向银行贷款120000美元，银行收取两个百分点的费用。报价利率为每月0.5%，仅需要在随后的36个月中，每月支付累计利息，并在最后支付本金120000美元。那么这个贷款的有效利率是多少？
解：每月支付利息120000x0.5%=600美元，则600/(1+r)+600/(1+r)^2+600/(1+r)^3+…+600/(1+r)^36+
120000/(1+r)^36=120000x98%,得r=0.6%
13以下面两张方式偿还贷款：一种是现在一次还清所有的欠款6000美元，另一种是现在还10000美元，
并在十年后还10000.对于下面的名义连续复利利率，哪一种还款方式更可取：a)2% b)5% c)10% 解：r=2%时，10000e^-2%x10=10000e^0.2=8187.3>6000, r=5%时，10000e^-rt=10000e^-5%x10=6065.3> 6000, r=10%时，10000e^-rt=10000e^-10%x10=3678.8<6000
23考虑下面两个现金流，其中每一个现金流都是在i 年后得到第i 次支付：100,140,131,和90,160，120 如果不知道利率，能够说出哪一个现金流更可取？
解：设利率为r ，则[100/(1+r)+140/(1+r)^2+131/(1+r)^3]-[90/(1+r)+160/(1+r)^2+120/(1+r)^3]=11/(1+r)^3 -20/(1+r)^2+10/(1+r), 令t=1/(1+r),0
即第一种更可取。
24 a)一个初始成本为100的投资，两年后收益110，求该投资的年收益率。 b)一个初始成本为100的投资，两年后或收益120，或收益100，且两种结果是等可能的，求年收益率的期望值。
解a)100(1+r)^2=110,则r=0.05 b)100(1+r1)^2=120,r1=0.095,100(1+r2)^2=100,r2=0,E(r)=1/2r1+1/2r2=0.05 26一个初始成本为100的投资，第一年末回报40，第二年末回报70，求该投资的收益率，如果第一年末回报70，第二年末回报40，收益率又是多少？
解：设第一种投资的收益率为r1,第二种投资的收益率为r2,,则40/(1+r1)+70/(1+r1)^2=100,r1=0.06=6% 70/(1+r2)+40/(1+r2)^2=100,r2=0.75=75%.
28一个初始成本为100的投资，在第i 个周期末收到的回报为Xi （i=1,2）,其中X1，X2是相互独立的正态随机变量，均值为60，方差为25。该投资回报率大于10%的概率是多少？
解：E （X1+X2）=120，Var(X1+X2)=50,P(X1+X2>110)=P(E>(110-120)/5 )=p(x1+x2>-10/5 )=1-o(-10/5 )= 0.9207,概率是0.9207.
5.5令C 是一个看涨期权的价格，这个期权可以在t 时刻以价格K 买入一个证券，S 是这个证券现在的价格，r 是利率。请写出一个包含C 、S 和rt Ke
-的不等式，并给出证明。 证明：S-C