行列式的性质和线性方程组的求解讲解

三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

=以,, 为邻边的平
行六面体的有向体积
,, 构成右手法则体积
为正，左手法则体积为负


n阶行列式
n个n维向量构成的平行多面体的有向体积。
课后思考题
设n阶行列式 1 2 3n 1 2 0 0
1 a a x
1 a a a 0 xa 0 0
rj r1 ( j:2,3,,n)
[x (n 1)a] 0 0 x a 0
0 0 0 xa
[x (n 1)a](x a)n1
例6 计算n阶行列式
a1 1 1 … 1
x a a a a x a a Dn a a x a
a a a x
x (n 1)a a a a
x (n 1)a x a a
解
c1ci (i2,3,,n)
Dn x (n 1)a a x a
x (n 1)a a a x 1 a a a 1 x a a [x (n 1)a] 1 a x a
1. 给出了线性方程组的解与系数的显式关系式， 对理论研究很有意义
2. 该法则要求方程个数与未知量个数相等， 且系数行列式不等于0
3. 求解过程的计算量大
问题：一般的线性方程组如何求解？
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
线性方程组的一般形式:
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn = b2 ………………… as1x1+as2x2+…+asnxn = bs
a11 a12 … a1n
a11 … a1,n1 b1
其中D =
a21 …
a22 …
… …
a2n …
, … Dn =
a21 … a2,n1 b2 …………
.
an1 an2 … ann
an1 … an,n1 bn

第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
推论. 若齐次线性方程组
Dn=
1 1

a2
a3

(伞形行列式)
该条件不成 立呢？
(其中a1a2…an 0).
1
an
例7 计算n阶行列式
(三对角行列式)
2 1 Dn =
1
21
1 21
,

1 21
12
练习 证明n阶(三对角)行列式

1
Dn
1
1 1
a11 a12 … a1n
b1 a12 … a1n
其中D =
a21 …
a22 …
… …
a2n …
, D1 =
b2 a22 … a2n …………
,
an1 an2 … ann
bn an2 … ann

第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
定理1.3. 线性方程组
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 …………………
二阶行列式
a11 a21
a12 a22
=
a11a22
a12a21
=(a12, a22)
=(a11, a21)
sin a11a22 a12a21
a11 a21
a12 a22
=
a11a22
a12a21
=以,为邻边的平行四边形的有向面积
其中(,)逆时针方向为正，顺序针方向为负

第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
定理1.3. 线性方程组
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 …………………
an1x1+an2x2+…+annxn = bn
当D 0时有唯一解:
xi
=

Di D
(i = 1, …, n),
a11x1+a12x2+…+a1nxn = 0 a21x1+a22x2+… a2nxn = 0 ………………… an1x1+an2x2+…+annxn = 0
有非零解, 则
a11 a12 … a1n
D=
a21 …
a22 …
… …
a2n …
= 0.
an1 an2 … ann

克拉默(Cramer)法则的优缺点
行列式的性质 和线性方程组
的求解
回顾 n阶行列式的计算方法
1.定义法—利用n阶行列式的定义计算;
2.三角形法—利用性质化为三角形行列式来 计算；
3.降阶法—利用行列式的按行(列)展开 定理对行列式进行降阶计算；
4.递推公式法； 5.析因法； 6.归纳法； 7.加边法(升阶法)；
例5 计算 n 阶行列式 (行和为常数)

第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
定理1.3. 线性方程组
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 …………………
an1x1+an2x2+…+annxn = bn
当D 0时有唯一解:
xi
=
Di D
(i = 1, …, n),
Dn 1 0 3 0 1 0 0n
求第一行各元素的代数余子式之和 A11 A12 A1n .
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解 一. 克拉默(Cramer)法则
§1.4 线性方程组的求解
G. Cramer[瑞士]
(1704.7.31~1752.1.4)
n1 n1


其中
例8 计算范德蒙(Vandermonde)行列式
111
x1 x2 x3 Vn x12 x22 x32
1 (n 2)
xn
xn2
(xi xj )
1 jin
x x x n1 n1 n1
1
2
3
xn1 n
此结论要记住！
行列式的几何意义
an1x1+an2x2+…+annxn = bn
当D 0时有唯一解:
xi
=
Di D
(i = 1, …, n),
a11 a12 … a1n
a11 b1 … a1n
其中D =
a21 …
a22 …
… …
a2n …
, D2 =
a21 …
b2 … a2n ………
,
an1 an2 … ann
an1 bn … ann