高斯曲率的计算公式.
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第二章 曲面论
高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理
2
122LN M
K k k EG F
-==- 。
注意
(,,)
u uu r r r L n r EG =⋅=
， 2(,,)
u uv r r r M n r EG F =⋅=
-，
(,,)
u vv r r r N n r EG =⋅=
。
所以
2
2LN M K EG F -=
-
2
22
1[(,,)(,,)(,,)]()
u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =
--，
利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得
2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -
(,,)(,,)
u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u v u vv u u u v u uv v u
v v v vv v u
v v v uv uu u
uu v
uu vv
uv u
uv v
uv uv
r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
u vv u uv v vv v uv uu u
uu v
uu vv
uv u
uv v
uv uv
E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=
⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
u vv u uv v vv
v uv uu u
uu v
uu vv uv uv
uv u
uv v
E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=
⋅-
⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，
（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。）
利用 u u r r E ⋅=，u v r r F ⋅=，
v v r r G ⋅=，
可得12u uu u r r E ⋅=，1
2u uv v r r E ⋅=，
1
2
v vu u r r G ⋅=，12v vv
v r r G ⋅=， 1
2
v uu u v r r F E ⋅=-，
1
2
u vv v u r r F G ⋅=- 。
由于
()()
uu vv uv uv uu vv u vvu u vvu uv uv r r r r r r r r r r r r ⋅-⋅=⋅+⋅-⋅+⋅ ()()u vv u u vu v r r r r =⋅-⋅
11
()()22v u u v v F G E =--
11
22
vu uu vv F G E =-- ；
或者
uu vv uv uv r r r r ⋅-⋅()()uu v v v uv u r r r r =⋅-⋅
11
()()22u v v u u F E G =--
11
22
uv vv uu F E G =-- ；
于是得到
22
11221
11[]()
22111111
2
2
222
2
v u v v u u u v
uv vv uu v
u E
F F
G E
F E K F
G G F G G EG F E F E F E G E G -=
----- (1)
公式被称为高斯定理，且被誉为高斯绝妙定理。
将上式中的行列式按第三列展开，并化简，可得
2
22
1[(2)4()
v v u v u K E E G F G G EG F =-+-
(242)
u v v u v v u v u u F E G E G E F F F F G +--+- 2
(2)u u u v v G E G E F E +-+
22()(2)]vv uv uu EG F E F G ---+,(2)
高斯绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一类基本量及其导数表示，从而K 事实上是曲面的一个内蕴不变量。
高斯曲率用第一类基本量明确的表达式由 Brioschi 公式(1)给出。
存在等距对应的两曲面，曲面上对应点处的高斯曲率必相等。
球面片与平面片之间不存在等距对应。
u vv u uv v vv
v uv uu u
uu v
uu vv uv uv
uv u
uv v
E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅-
⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅
122112222
212112212
111211
110
22
uv vv uu
E F E
F F G
F G F E G ΓΓ=Γ-ΓΓΓΓΓ--，
122112222
21222
112
212
111211
1[]()
110
22
uv vv uu
E F
E
F K F G
F G EG F F E G ΓΓ=
Γ-Γ-ΓΓΓΓ-- 。