几何证明之常见辅助线做法--

几何证明

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等．

1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．

3、遇到角平分线在三种添辅助线的方法．（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形．（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形．

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”．

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

例题精讲

第一部分：常见构造全等三角形方法

例1、已知：如图，在四边形ABCD中，BC AB

>，AD CD

=，BD平分ABC

∠．

求证：180

A C

∠+∠=︒．

例2、已知：如图所示，△ABC中，90

C

∠=︒，AC BC

=，AD DB

=，AE CF

=．求证：DE DF

=．

相关练习：

D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM、DN分别交BC、CA于点E、F．（1）当MDN

∠绕点D转动时，求证：DE DF

=；

（2）若2

AC=，求四边形DECF的面积．

F

E

C A

M

D

第二部分：倍长中线作法 【夯实基础】

例：△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD CD =．求证：AB AC =．

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

△ABC 中

方式1： 延长AD 到E ，

AD 是

BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE

方式2：间接倍长

作CF ⊥AD 于F ， 延长MD

到N ，

作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，

连接BE 连接CD

【经典例题】

例1、△ABC 中，5AB =，3AC =，求中线AD 的取值范围．

例2、已知在△ABC 中，AB AC =，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF EF =．求证：BD CE =．

例3、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ．求证：AF EF =．

例4、已知：如图，在△ABC 中，AB AC ≠，D 、E 在BC 上，且DE EC =，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF AC =． 求证：AE 平分BAC ∠．

例5、已知CD AB =，BDA BAD ∠=∠，AE 是△ABD 的中线．求证：C BAE ∠=∠．

第 1 题图

A

B

F

D

E

C

E

D

C

B

A

【融会贯通】

1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，BAE EAF ∠=∠，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论．

2、如图，AD 为△ABC 的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F ． 求证：BE CF EF +>．

3、已知：如图，△ABC 中，90C ∠=︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分BAC ∠交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ．求证：CT BE =．

备选例题

例1、如图，AD ∥BC ，EA 、EB 分别平分DAB ∠、CBA ∠，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．

F

E

A

B

C

D

D

A

B

C

M

T

E

例2、以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt △ABD 、Rt △ACE ，90BAD CAE ∠=∠=︒，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系． （1）如图① 当△ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰Rt △ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒（090θ<<）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

自我测试

1、在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH AC =，则ABC ∠= ．

2、如图，已知AE 平分BAC ∠，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，36BAE ∠=︒，那么BED ∠= ．

第2题 第3题

3、如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点E ，给出三个论断：①DE EF =；②AE CE =；③FC ∥AB ，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出三个命题，其中正确命题的个数是 ．

4、如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若5AB =，3AC =，则AD 的取值范围是 ．

第4题 第5题 第6题

5、如图，在△ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒．AD 平分BAC ∠，BE ⊥AD 交AC 的