2018届高三数学寒假作业 综合试卷(4)(含详细答案)
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2018届高三数学寒假作业 综合试卷(4)
数学Ⅰ
满分160分,考试时间120分钟
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.已知集合A ={1,2,3},B ={2,4,5},则集合A ∪B 的元素的个数为 . 2.已知实数a ,b 满足(9+3i)(i)104i a b +=+(其中i 是虚数单位),则a b += . 3.袋中有形状、大小都相同的5只球,其中3只白球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .
4.已知一组数据x 1,x 2,x 3,x 4,x 5的方差是2,则数据2x 1,2x 2,2x 3,2x 4,2x 5的标准差为 .
5.如图所示,该伪代码运行的结果为 .
6.直线260ax y ++=与直线2(1)(1)0x a y a +-+-=平行,则a = . 7.已知实数x ,y 满足2002x y x y +⎧⎪
⎨⎪+⎩
≥,≥,≤,设34z x y =-,则z 的最大值是 .
8.数列{a n }为等比数列,且a 1+1,a 3+4,a 5+7成等差数列,则公差d = .
9.已知函数21,0,()0,
0,21,0x x f x x x x +>⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
,则不等式f (x 2﹣2)+f (x )<0的解集为 . 10.已知椭圆22
1(0)x y m n m n
+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 是以椭圆短轴为直径的
圆上任意一点,则12PF PF ⋅
= .
11.已知函数f (x )=(x ﹣1)e x ﹣ax 2,若y =f (cos x )在x ∈[0,π]上有且仅有两个不同的零点,则
实数a 的取值范围为 .
12.已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边, 2
cos sin 0cos sin A A B B
+-
=+,
则
a b
c
+= . 13.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若3a cos C +b =0,则tan B 的最大值是 .
14.已知函数f (x )=x 2+ax+b (a ,b ∈R ),若存在非零实数t ,使得f (t )+f (1
t
)=-2,则a 2+4b 2
的最小值为 .
二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤)
15.(本小题满分14分)已知函数f (x )=23sin x cos x -3sin 2x -cos 2x +3.
(1)当x ∈[0,
2
π
]时,求f (x )的值域;
(2)若△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足
b
a
=,sin(2)
22cos()sin A C A C A
+=++,求f (B )的值.
16.(本小题满分14分)如图,在三棱锥P -ABC 中,已知平面PBC ⊥平面ABC .
(1)若AB ⊥BC ,CP ⊥PB ,求证:,CP ⊥P A ;
(2)若过点A 作直线l ⊥平面ABC ,求证:l ∥平面PBC .
17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22
221x y a b +=(a >b >
A 为椭圆上异于顶点的一点,点P 满足
2OP AO = .
(1)若点P 的坐标为(2
,求椭圆的方程;
(2)设过点P 的一条直线交椭圆于B 、C 两点,且BP mBC =
,直线OA 、OB 的斜率
之积为1
2
-,求实数m 的值.
18.(本小题满分16分)中国古建筑中的窗饰时艺术和技术的统一体,给人予美的享受.如
图(1)为一花窗,图(2)所示时一扇窗的一格,呈长方形,长30cm ,宽26cm ,其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成,由两个菱形和六根支条构成,整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ,窗芯所需条形木料的长度之和为L . (1)试用x ,y 表示L ;
(2)如果要求六根支条的长度均不小于2 c m ,每个菱形的面积为130 c m 2,那么做这
样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其它损耗)?
19.(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项都为正数,且对任意n ∈N *,都有2
12n n n a a a k ++=+
(k 为常数).
(1)若0k =,且11a =,-8a 2,a 4,a 6成等差数列,求数列{a n }的前n 项和n S ; (2)若221()k a a =-,求证:123,,a a a 成等差数列; (3)已知1a a =,2a b =(,a b 为常数),是否存在常数λ,使得21n n n a a a λ+++=对任意
n ∈N *
都成立?若存在.求出λ;若不存在,说明理由.
20.(本小题满分16分)设函数f (x )=(x -a )ln x -x +a ,a ∈R .
(1)若a =0,求函数f (x )的单调区间;
(2)若a <0,试判断函数f (x )在区间(e -
2,e 2)内的极值点的个数,并说明理由;
(3)求证:对任意的正数a ,都存在实数t ,满足:对任意的x ∈(t ,t+a ),f (x )<a -1.
数学Ⅱ(附加题)
21.选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作
答,每小题10分.若多做,则按作答的前两题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
B .选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)
若点A (2,2)在矩阵cos sin sin cos M α
αα
α-⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
对应变换的作用下得到的点为
(11B --+,求矩阵M 的逆矩阵.
C .选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在直角坐标系xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.
(1)求出圆C 的直角坐标方程;
(2)已知圆C 与x 轴相交于A ,B 两点,若直线l :m 2x 2y +=上存在点P 使得
90APB ∠= ,求实数m 的最大值.
【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知AB AC ⊥,2AB =,4AC =,13AA =.D 是线段BC 的中点.
(1)求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值; (2)求二面角111B A D C --的大小的余弦值.
23.(本小题满分10分)
记2222234()(32)C C C C )n f n n =+++++ ((n ≥2,n ∈N *)
. (1)求f (2),f (3),f (4)的值;
(2)当n ≥2,n ∈N *时,试猜想所有f (n )的最大公约数,并证明.
A B
C
D A 1 B 1
C 1
第22题图
2018届高三数学寒假作业 综合试卷(4)答案
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.已知集合A ={1,2,3},B ={2,4,5},则集合A ∪B 的元素的个数为 .5 2.已知实数a ,b 满足(9+3i)(i)104i a b +=+(其中i 是虚数单位),则a b += .65
3.袋中有形状、大小都相同的5只球,其中3只白球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .
35
4.已知一组数据x 1,x 2,x 3,x 4,x 5的方差是2,则数据2x 1,2x 2,2x 3,2x 4,2x 5的标准差为 .
5.如图所示,该伪代码运行的结果为 .11
6.直线260ax y ++=与直线2(1)(1)0x a y a +-+-=平行,则a = .
-1
7.已知实数x ,y 满足2002x y x y +⎧⎪
⎨⎪+⎩
≥,≥,≤,设34z x y =-,则z 的最大值是 .6
8.数列{a n }为等比数列,且a 1+1,a 3+4,a 5+7成等差数列,则公差d = .3
9.已知函数21,0,()0,
0,21,0x x f x x x x +>⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
,则不等式f (x 2﹣2)+f (x )<0的解集为 .(﹣2,1) 10.已知椭圆22
1(0)x y m n m n
+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 是以椭圆短轴为直
径的圆上任意一点,则12PF PF ⋅
= .2n -m
11.已知函数f (x )=(x ﹣1)e x ﹣ax 2,若y =f (cos x )在x ∈[0,π]上有且仅有两个不同的零点,则
实数a 的取值范围为 .a ≤-
2e
解:函数f (x )=(x ﹣1)e x ﹣ax 2
,可得f ′(x )=x (e x ﹣2a ),令x (e x ﹣2a )=0可得,x =0或e x =2a .
当a ≤0时,函数只有一个零点,并且x =0是函数的一个极小值点, 并且f (0)=﹣1<0,若y =f (cos x )在x ∈[0,π]上有且仅有两个不同的零点, 也就是若y =f (x )在x ∈[﹣1,1]上有且仅有两个不同的零点, 可得:(1)0,(1)0f f -≥⎧⎨≥⎩,即12e 1,0
a -⎧-≥-⎨-≥⎩,可得a ≤-2
e .
当a >0可得:函数两个极值点为:x =0,x =ln(2a ),如果ln(2a )<0,因为f (0)<0,可知不满足题意;
如果ln(2a )>0,必有可得:(1)0,(1)0f f -≥⎧⎨≥⎩,即12e 1,0a -⎧-≥-⎨-≥⎩
,可得a ≤-2
e .与a >0矛盾;
综上:a ≤-
2
e
.
第5题图
12.已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边, 2
cos sin 0cos sin A A B B
+-
=+,
则
a b
c
+=
.13.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若3a cos C +b =0,则tan B 的最大值是 .3
4
解:在△ABC 中,∵3a cos C +b =0,∴C 为钝角, 利用正弦定理可得 3sin A cos C +sin (A +C )=0,
即3sin A cos C +sin A cos C +cos A sin C =0,∴4sin A cos C =﹣cos A sin C , 即 tan C =﹣4tan A ,∴tan A >0,则
tan B =﹣tan(A +C )=﹣tan tan 1tan tan A C A C
+-=23tan 3
4tan 1
4tan tan A A A A
-=
--+
34≤
=
,
当且仅当tan A =
12时,取等号,故tan B 的最大值是34
. 14.已知函数f (x )=x 2+ax+b (a ,b ∈R ),若存在非零实数t ,使得f (t )+f (1
t
)=-2,则a 2+4b 2
的最小值为 .
165
解:因为存在非零实数t ,f (t )+f (1t )=-2,所以2212a
t at b b t t +++++=-,
令1
t t +=m ,|m |≥2,上式化为m 2+am +2b =0,设α=(a ,2b ),β=(m ,1),
则m 2=-α⋅β≤|α||β|
所以a 2
+4b 2
≥422211211
m m m m =++-++,令m 2
+1=s ,s ≥5,
f (s )=1s s
+
,21()1f s s '-=>0,所以f (s )在[5,+∞)上单调递增,
所以f (s )≥f (5)=
265,则a 2+4b 2的最小值为265
-2=165.
二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤)
15.(本小题满分14分)已知函数f (x )=23sin x cos x -3sin 2x -cos 2
x +3.
(1)当x ∈[0,
2
π
]时,求f (x )的值域; (2)若△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满
足
b
a
=,sin(2)
22cos()sin A C A C A +=++,求f (B )的值.
解:(1)∵f (x )=23sin x cos x -3sin 2x -cos 2x +3
1cos21cos2
233
22
x x
x
-+
-⨯-+
=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+
6
π
)+1.
∵x∈[0,
2
π
],∴2x+
6
π
∈[
6
π
,
7
6
π
],∴sin(2x+
6
π
)∈[
1
2
-,1],
∴f(x)=2sin(2x+
6
π
)+1∈[0,3].
(2)∵
sin(2)
22cos()
sin
A C
A C
A
+
=++,∴sin(2A+C)=2sin A+2sin A cos(A+C),∴sin A cos(A+C)+cos A sin(A+C)=2sin A+2sin A cos(A+C),
∴﹣sin A cos(A+C)+cos A sin(A+C)=2sin A,即sin C=2sin A,
由正弦定理可得c=2a,又由
b
a
=b=3a,
由余弦定理可得cos A=
222222
2
b c a
bc
+-
=,
∴A=30°,由正弦定理可得sin C=2sin A=1,C=90°,由三角形的内角和可得B=60°,∴f(B)=f(60°)=2.
16.(本小题满分14分)如图,在三棱锥P-ABC中,已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC,CP⊥PB,求证:,CP⊥P A;
(2)若过点A作直线l⊥平面ABC,求证:l∥平面PBC.
解:(1)因为平面PBC⊥平面ABC,
平面PBC 平面ABC BC
=,
AB⊂平面ABC,AB⊥BC,
所以AB⊥平面PBC.…………3分
因为CP⊂平面PBC,所以CP⊥AB.
又因为CP⊥PB,且PB AB B
=
,,
AB PB⊂平面PAB,
所以CP⊥平面PAB,
又因为PA⊂平面PAB,所以CP⊥PA.…………7分
(2)在平面PBC内过点P作PD⊥BC,垂足为D.
因为平面PBC⊥平面ABC,又平面PBC∩平面ABC=BC,
PD⊂平面PBC,所以PD⊥平面ABC.…………10分
又l⊥平面ABC,所以l//PD.
又l⊄平面PBC,PD⊂平面PBC,l//平面PBC.…………14分
17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
22
22
1
x y
a b
+=(a>b>
A 为椭圆上异于顶点的一点,点P 满足2OP AO = .
(1)若点P 的坐标为(2
,求椭圆的方程;
(2)设过点P 的一条直线交椭圆于B 、C 两点,且BP mBC =
,直线OA 、OB 的斜率
之积为1
2
-,求实数m 的值.
解:∵A 为椭圆上异于顶点的一点,
点P 满足2OP AO =
, 点P 的坐标为(2
, ∴A (-1
),代入椭圆方程得,2211
12a b
+=, ① ∵椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0
, ②
联立①②解得a 2=2,b 2=1.
∴椭圆方程为2
212
x y +=.
(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3). ∵2OP AO =
,∴P (-2x 1,-2y 1),
∵BP mBC =
,∴(-2x 1-x 2,-2y 1-y 2)=m (x 3-x 2,y 3-y 2),
∴123212322(),2()x x m x x y y m y y --=-⎧⎨--=-⎩,∴3213
2112,12m x x x m m
m y y y m m -⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩
,
代入椭圆方程得2121221212()()
1m m x x y y m m m m a b
----+=, 即2222211221212
2222222224(1)4(1)()()()x y x y x x y y m m m a b m a b m a b
--++
+-+=1, ③ ∵A ,B 在椭圆上,∴221122x y a b +=1,22
2222x y a b +=1, ④
∵直线OA 、OB 的斜率之积为1
2
-,∴121212y y x x ⋅=-,
结合②知,222
4(1)1m m m
-+=,m =5
2.
18.(本小题满分16分)中国古建筑中的窗饰时艺术和技术的统一体,给人予美的享受.如
图(1)为一花窗,图(2)所示时一扇窗的一格,呈长方形,长30cm ,宽26cm
,其内
部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成,由两个菱形和六根支条构成,整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为x cm和y cm,窗芯所需条形木料的长度之和为L.
(1)试用x,y表示L;
(2)如果要求六根支条的长度均不小于2 c m,每个菱形的面积为130 c m2,那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其它损耗)?
解.(1)由题意,水平方向每根支条长为
302
15
2
x
m x
-
==-cm,
竖直方向每根支条长为
26
13
22
y y
n
-
==-cm,-------------------2分
2
=cm.--------------------------------4分
从而,所需木料的长度之和
L2(15)4(13)8
22
y
x
=-+-+
==822()
x y
++cm.-------------6分(2)由题意,
1
13
2
xy=,即
260
y
x
=,又由
152,
132,
2
x
y
-
-
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
≥
≥
可得
130
13
11
x
≤≤.------8分
所以
260
822()
L x
x
=++.
令
260
t x
x
=+,其导函数
2
260
10
x
-<在
130
13
11
x
≤≤上恒成立,--------------------10分
故
260
t x
x
=+在
130
[,13]
11
上单调递减,所以可得
372
[33,]
11
t∈.-------------12分
则
260
82()]
L x
x
=++
82]t
=+
=82+.
因为函数y
y=在
372
[33,]
11
t∈上均为增函数,
所以82L =+在372[33,
]11
t ∈上为增函数, ---------14分
故当33t =,即13,20x y ==时L
有最小值16+
答:做这样一个窗芯至少需要16+m 长的条形木料. --------------16分
19.(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项都为正数,且对任意n ∈N *,都有2
12n n n a a a k ++=+
(k 为常数).
(1)若0k =,且11a =,-8a 2,a 4,a 6成等差数列,求数列{a n }的前n 项和n S ; (2)若221()k a a =-,求证:123,,a a a 成等差数列;
(3)已知1a a =,2a b =(,a b 为常数),是否存在常数λ,使得21n n n a a a λ+++=对任意
n ∈N *都成立?若存在.求出λ;若不存在,说明理由.
解:(1)当0k =时,2*
12,n n n a a a n N ++=∈,
0n a > ,∴数列{}n a 为等比数列,设公比为(0)q q >, ………………2 分
则2468,,a a a - 成等差数列,
26482a a a ∴-+=,即4222282a a q a q ∴-+=,
20a ≠ ,42280q q ∴--=,24q ∴=,2q ∴= ………………4 分
11a = ,数列{}n a 的前n 项和122112
n n n S -==--; ………………5 分
(2)当221()k a a =-时,22*
1221(),n n n a a a a a n N ++=+-∈, 令1n =,则2221321()a a a a a =+-, 21312120a a a a a ∴-+=,
10a > ,13220a a a ∴+-=, 123,,a a a ∴成等差数列; ………………8分
(3)存在常数22a b k ab λ+-=使得21n n n a a a λ+++=对任意n ∈N *都成立. ………9分
证明如下:令2
1
n n n n a a b a +++=,
对任意*n N ∈,都有2
12n n n a a a k ++=+,①,k 为常数, 2
213n n n a a a k +++∴=+,②
②-①得:2221132n n n n n n a a a a a a +++++-=-, 2211322n n n n n n a a a a a a +++++∴+=+
0n a > ,12
0n n a a ++∴>, 22
113
221212
n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++++++∴=,
即:
132
21
n n n n n n a a a a a a +++++++=,亦即:1n n b b +=,n ∈N * ,
∴数列{}n b 为常数列,1n b b ∴=,n ∈N *, ………………14分
1a a = ,2a b =,2
12n n n a a a k ++=+,n ∈N *
∴令1n =,则2
3b aa k =+,23b k a a
-∴=
221312n a a a b k
b b a ab
++-∴===,n ∈N *, ………………15分
∴222
1n n n n a b k
a a a
b ab
λλ+++-+=⇔==
, 即存在常数22a b k
ab
λ+-=使得21n n n a a a λ+++=对任意n ∈N *都成立. (16)
20.(本小题满分16分)设函数f (x )=(x -a )ln x -x +a ,a ∈R .
(1)若a =0,求函数f (x )的单调区间;
(2)若a <0,试判断函数f (x )在区间(e -
2,e 2)内的极值点的个数,并说明理由;
(3)求证:对任意的正数a ,都存在实数t ,满足:对任意的x ∈(t ,t+a ),f (x )<a -1. 解:(1)当a =0时,f (x )=x ln x -x ,f’(x )=ln x , 令f’(x )=0,x =1,列表分析
(2)方法一、f (x )=(x -a )ln x -x +a ,f’(x )=ln x -a
x ,其中x >0,
令g (x )=x ln x -a ,分析g (x )的零点情况.
g’(x )=ln x +1,令g’(x )=0,x =1
e
,列表分析:
g (x )min =g (1e )=-1
e -a , ………5分
而f’(1e )=ln 1e -ae =-1-a e ,f’(e -
2)=-2-a e 2=-(2+a e 2),f’(e 2)=2-a e 2=1e 2(2e 2-a ),
①若a ≤-1e ,则f’(x )=ln x -a x ≥0,故f (x )在(e -
2,e 2)内没有极值点;
②若-1e <a <-2
e
2,
则f’(1e )=ln 1e -a e <0,f’(e -
2)=-(2+a e 2)>0,f’(e 2)=1e
2(2e 2-a )>0,
因此f’(x )在(e -
2,e 2)有两个零点,f (x )在(e -
2,e 2)内有两个极值点; ③若-2e 2≤a <0,则f’(1e )=ln 1e -a e <0,f’(e -
2)=-(2+a e 2)≤0,f’(e 2)=1e
2(2e 2-a )>0,
因此f’(x )在(e -
2,e 2)有一个零点,f (x )在(e -
2,e 2)内有一个极值点;
综上所述,当a ∈(-∞,-1e
]时,f (x )在(e -
2,e 2)内没有极值点;
当a ∈(-1e ,-2e
2)时,f (x )在(e -
2,e 2)内有两个极值点;
当a ∈[-2e 2,0)时,f (x )在(e -
2,e 2)内有一个极值点..…………10分
方法二、f (x )=(x -a )ln x -x +a ,f’(x )=ln x -a
x ,令()ln g x x x
(不用零点存在定理说明扣3分)
(3)猜想:x ∈(1,1+a ),f (x )<a -1恒成立.………11分 证明如下:
由(2)得g (x )在(1
e ,+∞)上单调递增,且g (1)=-a <0,g (1+a )=(1+a )ln(1+a )-a .
因为当x >1时,ln x >1-1x (*), 所以g (1+a )>(1+a )(1-1
a +1)-a =0.
故g (x )在(1,1+a )上存在唯一的零点,设为x 0. 由
知,x ∈(1,1+a ),f (x )<m ax {f (1),f (1+a )}. ………13分 又f (1+a )=ln(1+a )-1,而x >1时,ln x <x -1(**), 所以f (1+a )<(a +1)-1-1=a -1=f (1). 即x ∈(1,1+a ),f (x )<a -1.
所以对任意的正数a ,都存在实数t =1,使对任意的x ∈(t ,t +a ),使 f (x )<a -1.
……………………15分
补充证明(*):
令F (x )=ln x +1x -1,x ≥1.F’(x )=1x -1x 2=x -1
x 2≥0,所以F (x )在[1,+∞)上单调递增.
所以x >1时,F (x )>F (1)=0,即ln x >1-1
x .
补充证明(**)
令G (x )=ln x -x +1,x ≥1.G’(x )=1
x -1≤0,所以G (x )在[1,+∞)上单调递减.
所以x >1时,G (x )<G (1)=0,即ln x <x -1.………16分
数学Ⅱ(附加题)
21.选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,每小题10分.若多做,则按作答的前两题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)
若点A(2,2)在矩阵
cos sin
sin cos
M
αα
αα
-
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
对应变换的作用下得到的点
为(11
B--+,求矩阵M的逆矩阵.
解:由题意知,
21
21
⎡-
⎡⎤
=⎢
⎢⎥
-
⎣⎦⎢⎣
M
,即
2cos2sin1
2sin2cos1
αα
αα
⎡⎤
--
⎡⎤
=⎢
⎢⎥
+-+
⎣⎦⎢⎣
…………2分
所以
2cos2sin1
2sin2cos1
αα
αα
⎧-=-
⎪
⎨
+=-
⎪⎩
解得
1
cos,
2
sin
α
α
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
从而
1
2
1
2
⎡
-⎢
⎥
=
⎥
-⎥
⎦
M………6分由1
10
01
-
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
M M
,解得1
1
2
1
2
M-
⎡
-
⎢
⎢⎥
=
⎢⎥
-
⎢⎥
⎣⎦
.………10分C.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为4cos
ρθ
=.
(1)求出圆C的直角坐标方程;
(2)已知圆C与x轴相交于A,B两点,若直线l:m
2
x
2
y+
=上存在点P使得90
APB
∠= ,求实数m的最大值.
解:(1)由4cos
ρθ
=得24cos
ρρθ
=,即2240
x y x
+-=,
即圆C的标准方程为()22
24
x y
-+=.-----------------4分
(2)l:的方程为22
y x m
=+,而AB为圆C的直径,
故直线l上存在点P使得90
APB
∠= 的充要条件是直线l与圆C有公共点,-------6分
2≤,于是,实数m
2. ----------------10
【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知AB AC ⊥,2AB =,4AC =,13AA =.D 是线段BC 的中点.
(1)求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值; (2)求二面角111B A D C --的大小的余弦值. 解:因为在直三棱柱111ABC A B C -中,AB AC ⊥,
所以分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,
则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),A B C
111(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C ,因为D 是BC 的中点,
所以(1,2,0)D ,…………2分
(1)因为111(0,4,0),(1
,2,3)AC A D ==- , 设平面11A C D 的法向量n 1111(,,)x y z =,
则1111100AC A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
n n ,即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩,取1113
01x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 所以平面11A C D 的法向量n 1=(3,0,1),
而1(1,2,3)DB =-
,所以111111
cos ,n DB n DB n DB ⋅<>=⋅
所以直线1DB 与平面11A C D
5分 (2)11(2,0,0)A B = ,1(1,2,3)DB =-
,设平面11B A D 的法向量n 2=222(,,)x y z ,
A
B
C
D A 1 B 1
C 1
第22题图
则2112100A B DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
n n ,即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩,取222
032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,平面11B A D 的法向量n 2=(0,3,2),
所以121212
cos ,n n n n n n ⋅<>=⋅
, 二面角111B A D C --
.…………………………………10分 23.(本小题满分10分)
记2222
234()(32)C C C C )n f n n =+++++ ((n ≥2,n ∈N *)
. (1)求f (2),f (3),f (4)的值;
(2)当n ≥2,n ∈N *时,试猜想所有f (n )的最大公约数,并证明.
解:(1)因为222232341()(32)C C C C )=(32)C n n f n n n +=++++++ (,
所以f (2)=8,f (3)=44,f (4)=140. ………………3分 (2)由(1)中结论可猜想所有f (n )的最大公约数为4. ……………4分
下面用数学归纳法证明所有的f (n )都能被4整除即可.
(ⅰ)当n =2时,f (2)=8能被4整除,结论成立; …………………5分 (ⅱ)假设n =k 时,结论成立,即f (k )=31(32)C k k ++能被4整除, 则当n =k +1时,
f (k +1)=32(35)C k k ++=33
22(32)C +3C k k k +++
=322
111(32)(C +C )+(2)C k k k k k +++++ ……7分
= 322
111(32)C +(32)C +(2)C k k k k k k ++++++
=32
11(32)C +4(1)C k k k k ++++.
此式也能被4整除,即n =k +1时结论也成立.
综上所述,所有f (n )的最大公约数为4.…………………10分。