实验设计与分析-实验模型分析

l l
等。
l，
c v v
cv ， t t
ct
单值条件相似，且相似准则在数值上相
§ 2-3.
定理（相似第三定理）
第一定理：系统相似，有何特性？ 第二定理：系统相似，满足什么条件？ 第三定理：如何得出相似准则？只有找出独立的相似准则，才能将试验结果换算到实物 上去。 一、量纲分析：method of dimensional analysis 基本常识：同名数相加，等式两边单位相等。 1． 物理量的量纲 物理量关系遵循一定规律，各量纲之间也有规律。在机械和结构中的物理量，其基 本纲量（称为独立基本单位）一般是时间[T]，长度[L]，力[F]，国际单位制的基本单位 共七个（长度，质量，时间，电流，物质的量，发光强度） 。其它量纲均可从这三个量 纲中导出(称为导出单位)。对于热力学问题还另外要求温度的度量单位。 如： 应力： [ ] 质量： [m] （密度） ：[ ]
cx ，
yi / yi
cy ，
zi / zi
cz
（ xi ， xi 分别为实物与模型
的坐标） 其中 cx ， c y ， cz 为相似倍数（或相似系数） 载荷相似：
Pi / Pi
cP
载荷相似条件：①．所有载荷都对应为同一比值，即有相同的相似倍数。
2
20150428 ②．作用点对应，方向对应平行 时间相似：对应的时间间隔互成一定的比例 t1 / t1 t2 / t2 tn / tn ct （如时对分、分对妙等） 运动相似：两个系统中的对应点，在对应时刻的速度、加速度成一定的比例。
1
项是无量纲项这一属性出发，
，则
3
n
（n 为常数）也是。
k
1 2
，则
1
n1
1
n2
2
n3
3
nk
k
也是。
,
2
，则
2
3
也是。
4． 相似准则与任意常数的和或差仍是相似准则，如 ，则 也是。 这些特性，对综合试验结果，分析相关物理量之间的关系提供了方便。
1
/
1
2
/
2
c
，密度 等
物理参数相似：弹性模量 E，泊松比 初始条件相似： 边界条件相似：
自然界、工业技术和建筑学中的相似性。 (a).观察麻雀、乌鸦和鹰的翅膀拍打时，可看出，鸟类翅膀拍打的频率随鸟个子的增 大而降低 (b).动物声音与个子大小的关系，大动物声音轰鸣而低沉，小动物声音啸鸣而尖叫。 (c).动物个子与心跳的关系。 新生儿的心率是成年人心率的一倍。 大象心跳每分钟 35 次，老鼠心跳 50 次/min。
d c
1 2d
2 c 2d c
两个方程 4 个未知数
a b
1 d 2 c 2d
2
l Ed ]
c
无穷解，选两个
[w1 d H
[ H2 [ ] w
w EH 2 d l ( ) ( H2 w H
) ]
EH 2 d l c [( ) ( ) ] w H
――这是无量纲关系式
③．找相似准则 三个无量纲项之间存在某种未知的函数关系，即：
§ 2-1.模型试验的目的和方法
一．模型试验的目的
1． 试验方案的论证： 一些大型复杂结构在设计制造之前，以便预测真实结构的工作性能，了解一些主要 参数， 做实物昂贵或不可能， 通过模型试验， 比较设计方案， 校核设计参数是否合理 （如 大楼、大桥的抗震，风洞试验等） 。 采用比例模型进行实验，很重要的动机是节省实验费用，如简化了实验设备和有关 装置，节省了被试结构的制造、准备和实验后清除的费用。 2． 对某些大型复杂结构的破坏性特征的研究（大型构件的失稳条件研究，破坏强度研究） 。 3． 结构特殊，不能在原型上试验（零件太小，需放大，或太大负载组合有困难） 。 如，在原型上的集中载荷与模型比例系数的平方成正比，对一个 1/20 比例的模型，若在 原型上的载荷为 100kN,在模型上只要 0.25kN。 因此，通过模型试验可以得出定性的和定量的试验结果，它是计算的辅助手段。也可作 为独立的研究工具。 在设计阶段，下列可能适合作模型实验： 1） 外形和边界条件复杂的薄壳结构；
二.相似准则（相似判据、相似条件）和相似指标
相似准则：凡是彼此相似的现象，必定具有数值相同的相似准则（即彼此相似系 统必须遵循一定的物理法则） 。 前面例子的 ci 就是相似条件（准则） ，而且可能不止一个。 相似指标：两个相似系统，其相似指标等于 1。 用运动相似加以说明： 瞬时速度： v A 系统： v
[ FL 2 ]
[ FL 2T 0 ] [ FL 1T 2 ]
[ F ]/[a] 力矩： [M ] [ F L] [ FT 2 L 4 ]
2
转动惯量： [ J ] [ FLT ] 为方便起见，在分析时，对同种物理量的比值，或无因次量纲，以“0“次表示。 如： 转角 应变 应力
[ ] [ ] [ ]
[ F 0 L0T 0 ] [ F 0 L0T 0 ] [ FL 2T 0 ]
5
20150428
H2 w
f [(
EH 2 l ), ( )] w H
上式将原有 5 个未知量变成三个未知量（无量纲项）之间关系。 这样就找到了模型与实物之间的对应参数关系， 使试验得到了简化， 即上式 对模型也适用
H w
模型设计满足
2
f [(
EH 2 l ), ( )] w H
H2 w
④．定相似系数
xc3 n
其中 A、B、C、 ai 是常数。 按量纲齐次原则， 等号左右的各项量纲应该是相等的， 且假设已归一成无量纲的物理量， 其基本物理量为 F,T,L。不妨取一项
[Q]
[ xa11 xa2 2 x a3 3
x an n ]
[ F 0 L0T 0 ]
[1]
（*）
物理量 xi 都有自己的物理量：
6
3
20150428
cr ct
cm cv
1 以及 Ft
mv
不变量
结论（相似第一定理） ： 对于彼此相似的现象，其相似指标为 1，或其相似准则为一不变量。 注意到： 相似的概念是对具有同一特点的事物而言， 即表征现象的所有量之间关系服从 同一自然规律。 三. 相似系统的条件 系统之间满足什么条件，现象才能相似呢？ 凡具有同一特性的现象，当单值条件彼此相似，且由单值条件的物理量组成的准则 在数值上相等，则这些现象必定相似（亦称相似第二定理，逆定理） 。 （单值条件――包括几何条件、初始条件、边界条件以及对所研究对象有重大影响 的物理条件等等。 对于常温静态弹性应力问题分析， 主要考虑的是几何条件、 载荷条件、 约束条件和泊松比条件。 而对运动学和动力学问题， 则还要考虑初始条件和时间条件等。 在复杂的模型实验中，要求单值条件完全相似是有困难的，但应尽量保持相似。 如：几何相似（两个三角形） 。 对应边长互成比例， cl1 cl 2 cl 3 如：运动相似
an ) ， a3
f3 (a4 a5
an )
(**)
将(**)代入(*)式：
[1]
[ x1f1 ( a4a5
an )
x2f2 ( a4a5
an n 3
an )
x3f3 ( a4a5
an )
a4 x4
an xn ] （一定可以归并成）
[
i
a4 1
a5 2
]
是由 xi 组合而成的无量纲完成组
或者说：变成无量纲完全组（即称为π项）的函数式：
如果是几何相似，可更简化，用 l 特征参数代表梁的长度，截面尺寸，及冲 击点位置。
f (w, H , l , E)
②．量纲分析
[ ]
其基本量纲表达式
[ wa H bl c E d ]
[ FL 2 ]
量纲齐次原则：
[ F a Lb Lc ( FL 2 )d ]
[ F a d Lb
c 2d
]
a b
[ ]
22．量纲齐次原则 若干项组成物理方程的各项量纲都相同，这就是量纲其次原则。
4
20150428 如： S
1 2 gt ，完全方程 2
4.9t 2 ，非完全方程（方程的量纲是不一致）仅当 t 的单位为秒时才正确。
S
又如虎克定理
E.
若将钢的弹性模量 E=200N/mm² 代入
200 这时，仅当 和 E 都按照牛顿和毫米来度量时，方程才正确。
20150428
[ xi ]
上式变成：
[ F pi Lqi T ri ] ，
[ F 0 L0T 0 ]
[( F p1 Lq1T r1 )a1 ( F p2 Lq2 T r2 )a2 [ F p1a1
p2 a2 pn an
( F pn Lqn T rn )an ]
qn an
Lq1a1
q2a2
T r1a1
3. 用量纲分析找相似关系 [例 2－1]：梁受一质量冲击后的内应力分析，在模型上实现测量，再推算至实物。 已知： w 、 H 、 l0 、 x 、 E 、 A 求出：梁内应力相似准则。 解： ①．分析 的相关因素，列出函数关系式（注意不能漏了主要因素）
f (w, H , E, A, l0 , x)
r2a2
rn an
]
p1a1
得到： q1a1
p2 a2 q2 a2 r2 a2
pn an qn an rn an 0
0 0
r1a1
方程中有 n 个变量，只有三个方程，即三个变量受约束，其余(n-3)个可取任意值。 若取 a1 、 a2 、 a3 为独立变量
a1
f 1(a a 4
5
an ) ， a2
f 2 (a4 a5
二． 定理 假设被研究对象的物理过程用下列函数来表示：
Q
f ( x1 , x2 , x 3
xn )
0
式中 Q ， xi 诸如机械量或结构参数，如力、位移、应力……等物理量。 上式又一定可以写成幂的多项式
Q
Axa11 xa2 2 xa3 3
xan n
Bxb11 xb2 2
xb3 n
Cxc11xc2 2
20150428
第二章 试验模型分析（Analysis of Testing Model） 概述：
自然科学研究中大量的是研究量与量之间的关系。方法有： 数学方法： 物理模型→数学模型→边界条件（初始条件）→解析解 ↘
离散模型 数字解（计算机）
实验方法： 直接实验法。 模型试验法：按一定规律（或准则）将原物缩小成模型
ds
dt
，B 系统： v
dt A 与 B 运动相似： v
A 由 B 来代替， cv v
ds
ds
v cs ds
cv ， s
cs dt
，
s
dt cs ， t
t
ct
，移项处理
cv ct v cs
ds
dt
cr ct
cs
1，
相似指标
得出：相似系数受相似指标约束，不能任意定，对相似指标作变换 v′t′/s′= ″v″t″/s″= vt/s = 不变量 同理也可以推出动力相似准则
1
20150428 2） 高大结构和对风效应敏感的结构； 3） 有相互影响的新型结构系统； 4） 复杂的桥梁结构； 5） 核反应堆容器以及危险的压力容器； 6） 受风和地震这种复杂载荷作用的结构； 7） 边界或载荷条件不一般的板状结构， 几何形状 （如切口和厚度变化） 不规则的结构； 8） 大坝； 9） 海中结构； 10）细部结构（仅研究结构有限区域内）
H w
2
，
EH 2 w
EH w
2
，
l H
l H
EH 2 / W
E'H ' /W ' CE C 2 H / CW 1
2
( E / E ' )( H / H ' ) 2 /(W / W ' )
l H
l H ，l l
H H
cl
cH
1
⑤．模型与实物的应力换算关系
H2 w
H w
2
w H 2 ( ) w H
上例中是否有普遍意义，可否找规律？用 定理来证明。
[1]
得出
[
1 2
n 3
]， 即 f (
1 2
n 3
Hale Waihona Puke Baidu
)
0
定理（相似第三定理） ： 若物理过程有 n 个物理变量， m 个基本的物理量纲， 则一定有 n-m 个独立的 项 （相似准则） ，描述这个过程的函数关系式，可表示成 n-m 个相似准则之间的函数关系 式。 三． 相似准则的变换特性 n-m 个无量纲项是独立的， 但其形式不是唯一的， 从 可以得出： 1． 相似准则的指数形式仍是相似准则，如 2． 相似准则的积形式仍是相似准则，如 3． 相似准则和或差仍是相似准则，如
二．方法
一般模型试验解决的方法： 1． 合理选择模型的材料、尺寸、载荷及实验方法，难点是边界条件的模拟。 2． 模型试验的结果如何转换成原型（一般小模型数据要用到大模型去） 。
§ 2-2.相似的基本概念
一.相似现象 几何相似：几何相似中，相似物任何点的坐标空间(xi ,yi ,zi ) 都满足：
xi / xi
v' / v Cv, a' / a Ca
动力相似：两个系统中，在对应点和对应的时刻，其所受的力成一定的比例。
F /F
m a / ma
m ca m
当加速度成比例 ca 的运动相似系统中，只要对应质量成一定比例，就是动力相似。 应力场相似：两个系统中，在对应时刻，对应点上的应力方向一致，且大小成一定 比例（应力场的几何相似） 。