九年级春季班第9讲：相似三角形的存在性问题(教案教学设计导学案)

若与相似，理论上应有六种可能情况，但在中考中，6种情况未免过于复杂，所以题目中一般都还会隐含（或明示）着其中一组对应角关系，于是就只需讨论两种情况是否可能，并解出相关结果．

可以将相似三角形的存在问题大致分为两类：以函数为背景的和以几何为背景的。相比而言，以函数为背景的题目往往计算过程较为复杂，但思维过程相对简单，需要的是仔细认真；而以几何为背景的题目思维过程更为复杂，需要相对高的几何能力．

1、知识内容：

在纯几何问题中，证明三角形相似主要有三种方法：①两组角对应相等；②一组角相等

且其两边对应成比例；③三组边对应成比例．

在以函数为背景的压轴题中，基本都属于第二种情况，其他两种出现较少。若与相似，且，则可能有两种情况：①；②．

2、解题思路：

（1）寻找或证明两个三角形中一定相等的两个角；

（2）计算或表示出夹此两角的四条边中的三条；

（3）解出第四条边，并代回题面进行验证，舍去多余情况．

【例1】如图，在平面直角坐标系中，双曲线（）与直线y = x＋2都经过点

A（2，m）．

（1）求k与m的值；

（2）此双曲线又经过点B（n，2），过点B的直线BC与直线y = x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求的面积；

（3）在（2）的条件下，设直线y = x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与相似，且相似比不为1，求点E的坐标．

【答案】（1）k = 8，m = 4；（2）8；（3）（10，8）．

【解析】（1）将A（2，m）代入y = x + 2，得m = 4；

将A（2，4）代入，得k = 8；

（2）将B（n，2）代入，得n = 4；

设BC为，

将B（4，2）代入，得，

∴直线BC解析式为．

∴C点为（0，）．

∴的面积为；

（3）D点坐标为（2，0），

∵的三个角各不相等，且为公共角，

∴当与相似时，或．

当时，相似比为，不合题意，舍去；

当时，．

∴E点坐标为（10，8）．

【总结】本题一方面考查函数解析式与点的坐标的关系，另一方面考查几何图形的面积的确定以及相似三角形的存在性，注意根据公共角去分类讨论．

【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y = ax2＋bx（a ＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO = BO = 2，∠AOB = 120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连结OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且与相似，求点C的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）（4，0）或（8，0）．

【解析】解：（1）∵，，

∴A点坐标为，B点坐标为．

∴代入，

解得：，．

∴抛物线解析式为：．

（2）过M作MF⊥OB于F，

∵点M的坐标为，∴．

∴．

（3）∵，，∴C点在B点右侧，与为对应角，

分情况讨论：

①时，∴．

∵，∴．

∴C点坐标为（4，0）；

②时，∴．

∴．

∴C点坐标为（8，0）．

综上所述，C点坐标为（4，0）或（8，0）．

【总结】本题一方面考查二次函数背景下的角度的确定，注意对特殊角的发掘，另一方面考查相似的分类讨论，先找到相等的角，再分类讨论．

【例3】如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（，0），一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，C两点．二次函数的图像经过点A、点B．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点P是该二次函数图像的顶点，求的面积；

（3）如果点Q在线段AC上，且与相似，求点Q的坐标．

【答案】（1）；（2）15；（3）（，）或（2，3）．

【解析】（1）∵直线，

当时，得；当时，得；

∴A(5，0) C(0，5)

∵二次函数的图像经过点A(5，0)、点B(，0)．

∴，解得：；

∴二次函数的解析式为．

（2）由，由题意得顶点P(2，9) ．

设抛物线对称轴与x轴交于G点，

∴．

（3）∠CAB =∠OAQ，AB =6，AO = 6，AC =，

○1∽，∴，

∴，（，）；

○2∽，∴，

∴，（2，3），

∴当点Q的坐标为（，）或（2，3）时，与相似．

【总结】本题主要考查二次函数背景下的面积问题及相似三角形的存在性问题，注意求面积的常用方法及相似的分类讨论．

【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（），.

（1）求直线AB的表达式；

（2）反比例函数的图像与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD < BC），当AD = 2DB时，求的值；

（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数的图像于点F，分别联结OE、OF，当∽时，请直接写出满足条件的所有的值．

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】解：（1）∵，，

∴，∴；

（2）∵，∴，

∴，∴；

（3），

○1当时，，

∴，，

∴，∴；

○2当时，，

∴，

∴，∴；

综上：或．

【总结】本题综合性较强，一方面考查了锐角三角比在函数背景下的运用，另一方面考查了点的坐标与距离间的关系，注意对符号的判定．

1、知识内容：

在以几何为背景的此类压轴题中，几何推导的过程较为复杂，往往需要多次运用边、角关系的代换才能得到最终结果；在计算上也经常需要借助函数、方程的思想，来求得最后的解答。

2、解题思路：

（1）寻找或证明两个三角形中一定相等的两个角；

（2）计算或表示出夹此两角的四条边；

（3）根据比例关系列出方程，解出未知边的长度等要求，并代回验证．

【例5】如图1，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB = DC = 5，AD = 4．M、N分别是边AD、BC上的任意一点，联结AN、DN．点E、F分别在线段AN、DN上，且ME//DN，MF//AN，联结EF．

（1）如图2，如果EF//BC，求EF的长；

（2）如果四边形MENF的面积是面积的，求AM的长；

（3）如果BC = 10，试探求、、能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．

【答案】（1）EF的长是2；（2）AM的长为1或3；（3）．

【解析】解：（1）∵EF//BC，AD//BC，∴EF//AD，∴．

又∵EM//ND，FM//NA，∴，．

∴，即AM=MD．∴AE=EN，DF=FN．

∴．

（2）∵EM//DN，MF//AN，∴，．

∴，．

又∵，∴．

∴或．

∴AM的长为1或3．

（3）先考虑与，

∵，∴或．

分情况讨论

○1时，可得：．

过A作AH⊥BC于H，可得：，，．

∴，．

∴．

又∵，

∴．

∴当，时，三个三角形两两相似．

○2时，可得，，与情况①相同．

综上所述，．

【总结】本题综合性较强，考查了梯形背景下的面积问题及相似三角形的存在性问题，注意利用梯形的性质进行分析．

【例6】如图1，已知在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC = 90°，AB = 4，AD = 3，，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H．

（1）求证：∠BCD =∠BDC；

（2）如图1，若以P为圆心、PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，求DP的长；

（3）如图2，点E在BC的延长线上，且满足DP = CE，PE交DC于点F，若和

相似，求DP的长．

图1 图2

【解析】（1）略；（2）DP的长为；（3）DP的长为．

【解析】解：（1）作DG⊥BC于G，可得，，，．

∵，∴，∴．

∴，∴∠BCD＝∠BDC．

（2）设DP=x，则．∵，

∴，．∵两圆外切，∴．

∴，解得：；

（3）作PM//BE，∴PM=DP=x，．

由，．

当∽时，，即，解得：（舍）；

当∽时，，即，解得：；

∴DP的长为．

【例7】如图，已知BC是半圆O的直径，，过线段BO上一动点D，作交半圆O于点A，联结AO，过点B作，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．

（1）求证：；

（2）设，，求关于的函数关系式；

（3）如图2，若联结F A并延长交CB的延长线于点G，当与相似时，求BD的长度．

【答案】（1）略；（2）；（3）BD = ．

【解析】（1）证明：∵ADBC，BHAO，∴∠ADO =∠BHO = 90°

在ADO与BHO中，，

∴ADO ≌BHO，∴OH = OD

又∵OA = OB，∴AH = BD；

（2）联结AB、AF

∵AO是半径，AO弦BF，∴，∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB．

在RtADB与RtBHA中，

∴RtADB∠RtBHA，∴∠ABF=∠BAD，∴∠BAD =∠AFB．

又∵∠ABF =∠EBA，∴BEA∠BAF，∴，∴．

∵，∴．

∵∠ADO =∠ADB=90° ∴，，

∴= ．

∵直径BC = 8，BD =，∴

∴．

（3）联结OF

∵∠GFB是公共角，∠F AE >∠G

∴当F AE∠FBG时，∠AEF =∠G

∵∠BHA=∠ADO = 90°

∴∠AEF +∠DAO = 90°，∠AOD +∠DAO = 90°

∴∠AEF =∠AOD

∴∠G =∠AOD

∴AG = AO = 4

∵∴∠AOD =∠AOF

∴∠G =∠AOF，又∴∠GFO是公共角

∴F AO∠FOG

∴

∵，AB = AF∴

∴，解得：是原方程的解．

∵> 4，∴舍去，

∴BD=．

【总结】本题主要考查圆背景下的函数解析式及相似的存在性问题，主要运用了圆心角定理、全等的性质、勾股定理及相似三角形的判定等知识点．

【例8】如图，在中，，，BC = 7，点D是边延长线上的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE 的延长线交CA的平行线BF于点F，联结CE交AB于点G．

（1）当点E是BD的中点时，求的值；

（2）的值是否随线段AD长度的改变而变化，如果不变，求出的值；

如果变化，请说明理由；

（3）当与相似时，求线段AF的长．

【答案】（1）；（2）；．

【解析】解：（1）∵AE⊥BD，BE=DE，∴AB=AD，

∵，，BC=7，

∴，∴，

∵，∴，

∵AE⊥BD，∴，

∴，

∵BF∥CD，∴，∴

∴；

（2）的值不变．

∵，∴，

又，∴∽，∴，

∵，，∴，

∵，∴∽，∴，

∴；

（3）∵与相似，又∽，

∴∽，∵，

，∴，又，∴，

∵，∴，

∴，∵，，∴，

过点B作BH⊥CE于点H．∴，，∴，

∵，∴．

【习题1】已知抛物线（）经过A（，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线（）的解析式，并求出顶点P的坐标；

（2）求∠APB的正弦值；

（3）直线与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当与相似

时，求点M的坐标．

【答案】（1）（1，）；（2）；（3）M点坐标为或．

【解析】解：（1）将A、B两点代入，解得：，．

∴抛物线为，顶点P的坐标为（1，）；

（2）作AH⊥BP于H，可得：

，．

∴，

∴．

（3）∵为直角三角形，

∴为直角三角形，点M在C的左侧．

∴．

∴或．

又∵，，，

∴或．

∴M点坐标为或．

【总结】本题综合性较强，考查的内容比较多，包含了二次函数的解析式及顶点坐标的确定，还有几何图形的面积的确定，以及相似背景下的点的坐标的确定，解题时注意进行分析，不要漏解．

【习题2】如图，已知矩形ABCD中，AB = 12cm，AD = 10cm，⊙O与AD、AB、BC三边都相切，与DC交于点E、F．已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1 cm/s、x cm/s、

1.5 cm/s，当点Q到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动．设运动时间为t（单

位：s）．

（1）求证：DE = CF；

（2）设x = 3，当与相似时，求t的值；

（3）设关于直线PQ对称的图形的，当t和x分别为何值时，点A′与圆

心O恰好重合，求出符合条件的t、x的值．

【答案】（1）略；（2）t的值为或；（3），．

【解析】（1）设⊙O分别切AD、AB、BC于M、N、T，作OH⊥DC于H，连接OM、OT、OD、OC，

∴，，EH = FH，

∴四边形ABTM为长方形．

∴AM = BT．∴DM = CT．

又∵OM = OT，，

∴．

∴OD = OC．∴DH = CH．∴DE = CF．

（2）当时，，，，，且．

∵，∴或．

∴或．

解得：（负舍）或．

∴当与相似时，t的值为或．

（3）连接AO，MN，

∵四边形MANO为正方形，

∴MN垂直平分AO，即A、O两点关于直线M、N对称．

∴符合条件时，P在M点，Q在N点．

此时，，．

【总结】本题综合性较强，主要考查动点背景下的相似问题，注意分类讨论．

【作业1】如图，中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 2，CD是斜边AB上的高，点E为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE 分别交于点F、G．

（1）求线段CD、AD的长；

（2）设CE = x，DF = y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）联结EF，当与相似时，求线段CE的长．

【答案】（1），；（2）（）；

（3）CE的长为或．

【解析】解：（1）∵CD⊥AB，

∴，，

∴，．

（2）∵，，∴．

∴，∴，

∴（）；

（3）∵，分情况讨论：

①时，，∴EF//DC．

∴，即．

解得：．

②时，，∴．

又∵CF⊥DE，∴．

∴．

综上所述：CE的长为或．

【总结】本题主要考查直角三角形背景下的相似三角形的存在性问题，注意对基本模型的归纳总结，解题时注意进行分类讨论．

【作业2】如图，在中，，，，点D是边AC上的一点，AD = 8．点E是边AB上一点，以点E 为圆心，EA为半径作圆，经过点D．点F是边AC上一动点（点F不与A、C重合），作，交射线BC于点G．

（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；

（2）当点G在边BC上时，设AF = x，CG = y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）联结EG，当与相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G

与圆E可能产生的各种位置关系．

【答案】（1）半径为5；（2）；（4 < x < 14）；

（3）与相交或外离．

【解析】（1）设AD的垂直平分线与AB交于点E，垂足是点H．

在中，由，AD = 8，

得：AE = 5，EH = 3．

所以圆E的半径长等于5；

（2）∵，，∴．

又∵，∴∽．

∴．∴．

化简得：（4 < x < 14）；

（3）①当点G在边BC上时，

与相似，有两种可能．

当时，可得：CF // EG．

易证四边形HCGE是平行四边形．

∴，．

∵，∴两圆外离．

当时，延长EF与BC的延长线相交于点M，

可证得，由≌，可得：点F是CH的中点．

∴，，．

∵，，∴两圆相交．

②当点G在BC延长线上时，

与相似，只能是．

设EG与AC交于点N,

易证：点N是EG的中点．

由≌，

可得CG = 3，．

∵，

∴两圆外离．

综上所述：当与相似时，与相交或外离．

【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，主要是几何图形背景下的圆与圆的问题关系，解题时注意对相似性质的综合运用．