质点和质点系动力学1

并发生在力的方向上
f

m ddvt

ma
f 质点所受到的外力
m 为惯性质量 （惯性的量度）。

“动f量”的d 概p 念：dp(mmvv) dt dt
用动量描述运动比用速度更普遍和深刻
在一个物体同时受到几个力的作用时，
☆
等于它们矢量和的那一个力的作用效果

F F1 F2
时，x x0 0 ，则
C

m k
v0
。
子弹进入沙土深度为
x(t)

m k
v0[1
exp(
k m
t)]
当 t 时， x(t) 最大，
子弹进入沙土的最大深度为
xmax

m k
v0
例3
一圆锥摆摆长为 L ，
摆锤质量为 m
在水平面上作圆运动
L
T
摆线与铅直线夹角为
（1）求摆线内的张力
（2）为保证砖块与皮带之间无相对运动， 皮带向上匀速输送砖块时，皮带的倾斜角
（3）为保证砖块与皮带之间无相对运动， 皮带向上加速输送砖块时，皮带的加速度
皮带对砖块的静摩擦力
解：认定砖块进行分析 y
N
m
fs
x

建立直角坐标系
mg
进行受力分析
O


（1）砖块向上匀速运动，因而加速度为零。
x 应用牛顿第二定律，可得 方向的分量式
正压力 N mg cos

mg

砖块可以承受的最大静摩擦力
f s max s N s mg cos
为保证砖块与皮带之间无相对运动，要求
mg sin f s f s max s mg cos
tan s
☆
皮带向上加速输送砖块时的加速度 （3）皮带向上以加速度 a 输送砖块时，
3．摩擦力
滑动摩擦力 f k k N
最大静摩擦力 f s max s N
4．流体阻力
fd kv
三 惯性力
☆
1.参考系之间加速平动

a K K 系为惯性系，K / 系相对 系作加速平动，加速度为 0
m 若质量为 的质点，在力 F
K a 相对于 系的加速度为 ，相对
的作用下，
K /系的加速度为
f
m
O
v
x
☆
（1）根据牛顿第二定律，子弹只能沿 Ox 方向前进
kv f ma m d v

dt
f
速度 v
dv k dt vm
O
x

dv v


k m

dt
ln v C k t m
当时 t 0 ，v v0 ，则 ln v0 C 。
子弹速度随时间变化的函数式
引入惯性力 (ma0 ) ，
T

拉力、重力、惯性力
这三个力的合力为零，
ma0
m
a0
引入惯性力后

牛顿第二定律
W
适用于车厢
这个非惯性系
等效原理 （阅读）
☆
《大学基础物理学》清华大学出版社（2003）－56页
N
m
N
mg
a
/
m
mg
2.参考系之间加速转动
☆
相对惯性系转动的参考系也不是惯性系。
m

（2）求摆锤的速率
v
mg
解： 以摆锤为研究对象，


将摆锤受到的重力 mg 和拉力（绳张力）T
分解在竖直方向和水平方向
☆
(1)在竖直方向上，加速度为 a 0 ， 则由牛顿第二定律，得到
T cos mg ma 0
张力
摆锤受到的拉力 即摆线中的张力
L
T
T mg
cos
v2 m
R
v2 m
L sin
速率
摆锤在水平面内速率
v TL sin
L
m
T
mgL sin
m cos
gL sin cos
m

v
mg
☆
例4 一个质量为 m 的铁珠，系在线的一端， ☆
另一端绑在墙上的钉子上，线长为 L 。
先拉动铁珠使线保持水平静止，
然后松手使铁珠下落。

匀速转动的参考系中
惯性力方向为沿半径向外
—惯性离心力
静止在地面上的物体受到地面的支撑力和重力的作用。 ☆
精确的测量表明这两个力方向不在同一条直线上，且大小不等
这是由于地球只是近似的惯性系， 选取地心系为惯性系，则地球为匀速转动参考系。
相对地球，静止在 地面上的物体受力是 重力、地面的支撑力
和惯性离心力， 三个力的合力为零。
☆
0
0
gL s in

1 2
v
2
v 2gLsin
线的张力
O
m
对于铁珠，摆角为 时，

第二定律的法向分量
L

Fn T mg sin man T m
nˆ
ˆ
m v 2 2mg sin
L


v
mg
摆角为 时，铁珠受到的拉力，
也就使线中的张力为
a

Hale Waihona Puke Baidu
应用牛顿第二定律，可得 y
N v
fs mg sin max ma N mg cos may 0
O

m
fs
mg

☆
x

为保证砖块与皮带之间无相对运动，要求
ma mg sin f s f s max s mg cos
a g(s cos sin )
F ma , Fn ma n
3、第三定律
☆
作用力等于反作用力
F12 F21
其中，力是指物体相互接触产生的，或通过 “超距作用”产生的。
“超距作用”可以理解成力的传递过程不需 要时间，或力的传递速度为无限大。
如果力以有限的速度传递，作用力和反作用 力就不一定相等了。
惯性参考系（惯性系）
例2 m 质量为 的子弹以速度 v0 水平射入沙土中。
设子弹在沙土中所受阻力与子弹的速度方向相反，
大小与速度成正比，比例系数为 k ，
忽略子弹的重力。
（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； （2）子弹进入沙土的最大深度。
解： 选定子弹进行分析
建立直角坐标系
进行受力分析 f kvi
☆
总能找到特殊的物体群（参考系），在这个 参考系中牛顿第一定律成立。这个参考系称为 惯性系。
相对一个惯性系作匀速直线运动的另一个参 考系也是惯性系。
牛顿第一、二定律只在惯性系中成立。
实用的惯性系：
☆
1、FK4系：以1535颗恒星平均静止位形作为 基准—目前最好。 2、太阳系：太阳中心为原点，坐标轴指向恒 星—绕银河中心的向心加速度～1.810-10m/s2
a
/
/
a a a0
对于 K 系F，由 于m设a 为惯m性(a系/，牛a顿0 )第二定律是成立

对于
K / 系质点所受合力仍为 F F 牛顿第二定律不成立，
，

ma
/
F

ma

m(a
/

a0 )
☆

如果认为在 K / 系中观察时，除了实际的外力 F 外，
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
第一定律 定义了“惯性系” 的意义： 定性给出了“力”与“惯性”的概念
惯性系： 牛顿第一定律成立的参考系。
力： 改变物体运动状态的原因 （并非维持 物体运动状态的原因）。
2、第二定律
☆
运动的“变化”与所加动力成正比，
大连理工大学 物理与光电工程学院
詹卫伸
质点与质点系动力学
Isaac Newton(1642-1727)
第2章 质点与质点系动力学
§1 牛顿运动定律（部分自学） §2 动量 §3 角动量 §4 功和能（部分自学） §5 质心系中的功能关系（阅读） §6 质点和质点系动力学应用（阅读）
质点运动学，即如何描述一个质点的运动
T 3mg sin
☆
例5 在光滑的水平面上放一质量为 M 的楔块， ☆
楔块地角为 ，斜面光滑，
在其斜面上放一质量为 m 的物块。
质点还受到一个大小和方向由 (ma0 ) 表示的力，
并将此力也计入合力之内，则可以形式上理解：
在 K / 系内观测，
质点所F受的F合i 外 力m也a等/ 于它Fi的质量m和a0加—速惯度性的力乘积
F 是实际存在的各种力，“真实力”的合力，
它们是物体之间的相互作用的表现； 惯性力 Fi 只是参考系的非惯性运动的表观显示，

dp
d (mv)
F
dt dt
F

m
d
v

ma
dt
—力的叠加原理
y
m F1

a
F
O
F2
z
x
在直角坐标系中
☆
Fx

d px dt
,
Fy

d py dt
,
Fz

d pz dt
Fx ma x , Fy ma y , Fz ma z
对于平面曲线运动，常用沿切向和法向的分量式
惯性离心力
Fi m 2 R cos


N

F引
fi mr 2

f
R —地球半径
—地球自转的角速度
—物体所在处的纬度
力学第2次课结束
例1
☆
在皮带运输机中， 设砖块与皮带之间的，
静摩擦系数为 s ，
砖块的质量为 m ，
m



皮带的倾斜角为 。
（1）皮带匀速输送砖块时，它对砖块的静摩擦力；
求线摆下角 时， O

m
铁珠的速率和线的张力

解：拉力铁珠T 受和的重力力有mg
由于铁珠沿圆周运动，
L
T
所以按切向和法向来分解 铁珠受的力
列牛顿第二定律的分量方程
v
m
T nˆ
m

v
ˆ
mg

mg
铁珠的速率
运动到角度 时，
O

第二定律的切向分量
F
mg cos
ma
m dv dt
L
g cos d v d S d v v d v
T
dt dt dS L d
m
m
T nˆ
m

v
ˆ
mg
gL cos d d v d S d v vd v
v dt dt d S

mg

v
gL cos d vdv
3、地心系：地心为原点，坐标轴指向恒星— 绕太阳的向心加速度～610-3m/s2（g的10－3）
4、地面系（实验室系）：坐标轴固定在地面 上—赤道处自转向心加速度～3.410-2m/s2
二 牛顿力学中常见的力 （自学）
☆
1．重力 W mg
2．弹力
正压力或支持力
拉力
弹簧的弹力 f kx
f s mg sin ma x 0
静摩擦力 f s mg sin
注意：不能用 f s max s N 求静摩擦力，
这是最大静摩擦力。
☆
皮带向上匀速输送砖块时，倾斜角

（2）应用牛顿第二定律，
得 y 方向的分量式
y
N v
m
fs

x

N mg cos ma y 0 O
绳的拉力 T T man
使小m球产2r生向—心符加合速牛度顿第二定律
相对匀速转动的圆盘参考系，小球受力仍为
小球是静止的，加速度为零，牛顿第二定律不成立
若引进惯性力
(Fi

m
2
r)

m 2r
T
小球 所受合力为
Fi T m
2
r

0
T O rm
—牛顿第二定律适用
v(t)

v0
exp(
k m
t)
☆
（2）取 t 0 时，子弹在原点，x0 0 ，
则 x(t) 是子弹进入沙土的深度
最大深度
dx v dt
d
x

vdt

v0
exp(
k m
t)dt
k
m
k
x v0 exp( m t)dt k v0 exp( m t) C
☆
当t 0
是物体的惯性在非惯性系中的表现，
不是物体间的相互作用，也没有反作用力。
在地面参考系来看，
☆
静止在车厢中的小球受到绳的拉力和重力的作用，
这两个力的合力不为零，小球与车厢一起以加速度运动，
符合牛顿第二定律。
在车厢参考系看来， 相对车厢小球静止，而受到的合力不为零， 这是由于车厢不是惯性系，因此牛顿第二定律不适用。
要在转动参考系中应用牛顿第二定律也要引进惯性力，
但其中的惯性力与加速平动参考系中的惯性力不同。
这里只讨论质点静止在匀速转动参考系中的情况。
水平圆盘相对地面匀速转动，
角速度为 ，
静止在圆盘上的的小球
用细绳与圆盘中心相连。
小球与圆盘间无摩擦力，
小球只受到绳的拉力
T
T O rm

相对地面参考 系这一惯性系，小球作匀速圆运动 ☆
m

v
mg
☆
（2）在水平方向，摆锤受力为 F// T sin
方向指向圆运动曲率中心。
速率
在水平面内取自然坐标系，法线方向指向曲率中心。
切线方向受力为零
F
m dv dt
0
v(t) C
L
T
因此，在水平面内，
m

v 摆锤的速率是恒定的。

mg
☆
在法线方向，
Fn

F//
T sin
☆
质点动力学，要说明质点为什么， 或者说在什么条件下做这样那样的运动。
动力学的基本原理是牛顿运动定律
牛顿运动定律是根据大量实验总结出来的规律
牛顿定律只在惯性参考系中成立 描述力的时间积累效应的规律是动量定理
描述物体转动特征的重要物理量是角动量
能量守恒定律是自然界的一条基本定律
§1 牛顿运动定律
☆
1、第一定律（惯性定律）