鲍建生2015运用变式教学拓展学生的学习空间
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如果四个小朋友两两握手一次，总共握 （变式16） 了多少次手？
关键属性2：情境
（二）图形：线段
折线
长方 形
三角 形
多边 形
圆弧
长方 体
四面 体
多面 体
关键属性2：情境
（三）符号 （变式17） A、B、C、D四点可以组成多少条线段？
有四个数字：1、2、3、4可以组成多少 （变式18） 个两位数？
关键属性3：算法
运用变式教学拓展学 生的学习空间
华东师范大学数学系 鲍建生
jsbao@
一、什么是数学变式教学？
标准变式 概念变式
概念性变式
非概念变式 精致练习
非标准变式
铺垫教学
过程性变式
解题三部曲 问题解决的变式化归
变式教学存在的问题
1. 变式教学在我国具有广泛的实践经验，但许多 老师都是在不自觉地运用变式教学的思想。
B
A
B A
五、为什么要进行变式教学？
1. 变式教学是中国数学教学的传统特色
2. 有助于形成良好的认知结构 3. 在较大的认知单元上工作 4. 强化知识的主干
5. 聚焦本源性问题（化归思维）
6. 学会举一反三与一以贯之
关于变式教学的研究历程
1. 顾泠沅(1977 – 1990).上海青浦实验 2. 顾泠沅(1991).学会教学.人民教育出版社
（二） 公式：组合数公式
C
2 n
Hale Waihona Puke （1）n( n 1) 2 1 2 3 ( n 1)
（2）
（3）
关键属性3：算法
（三） 递归 A B C D E
如果我们把4个点的所有线段数记为a4，那么 当有5个点是，我们可以分两部分考虑： （1）由前4个点组成的所有线段数： a4； （2）以第5个点为右端点的线段数：4； 所以5个点的线段总数是：
属性3：运算
符号 数轴
相反数 与减号的联系 与正数的关系 “0”的界定：绝对与相对 记 账 属性2：模型
字母表示 正号 负号与减号
温 方 度 向
海 拔
属性1：表征（-3）
课例4：买文具—除数是整十数的除法 （刘友富）
属性4：算理
属性3：运算
互逆 化简
位值 估算 与减法的关系 与乘法的关系 书 包 属性2：模型 水 文 笔 具 盒
a5 = a4 + 4 （ an an1 n 1 ）
课例2：常见的数量关系（王礼英）
属性4：算法
属性3：单位
公式变形 单位换算
等量代换 比率单位 乘幂单位 基本单位 故 事 属性2：情境
倍乘关系 比例关系 部分整体关系 属性1：关系
模 图 型 形
符 号
课例3：负数的认识（胡美文）
属性4：意义
（一）树形图
进
A
B
出
C
C D C B A
D
D
法1：从进 口考虑 法2：从出 口考虑
A
B C D B A
D
A
（二） 图表
关键属性3：算法
点数 基本线 段 2 1 线段数 1+0=1
图形 B
A A A
B
B B
C C D
3
4
2
3 4
2+1=3
3+2+1=6 4+3+2+1=10
A
C …
D
E
5
关键属性3：算法
基于关键属性的学习空间
属性3：算法
递归 公式
图表 树形图 故 事 属性2：情境
0维 1维 2维 属性1：维度
模 图 型 形
符 号
围绕关键属性的变式设计
教材：北师大版小学数学四年级上册93-94页 原题：鼹鼠去菜地旅行
小鼹鼠有多少条不同的线路？
关键属性1：维度
（一） 0维：由“洞”到“点”
抽象 B A C D 符号表示 （变式1） 4点到5点、6点、7点、…、n点. （二）0维——1维：由“点”到“线段”
三、变式教学与变易理论的联系
有效教学 知识结构
灵活性
变式教学 变易理论 适应性 创造性 整体
思想方法
学科能力
概念理解 技能训练 数学任务
部分
学习空间
属性 样例
问题解决
四、基于关键属性的教学设计
拓展学习空间
属性
例子
部分
整体 课堂 教学 设计 与研 究的 工具
扩展思维空间
关键 属性
确定最近发展区 聚焦核心概念
3. 鲍建生,黄荣金,易凌峰 &顾泠沅(2003).变式教学研究.数学教 学,1-3
4. 聂必凯(2004).数学变式教学的探索性研究. 华东师大博士论文 5. Gu L., Huang, R. & Marton, F.(2004). Bianshe Jiaoxue (Teaching with variation): An effective way of mathematics teaching in China. In L. Fan, N. Y. Wong, J. Cai, & S. Li (Eds.),HowChinese learn mathematics: Perspectives from insiders(pp.309-348). Singapore: World Scientific
余数表示 竖式写法 横式写法 属性1：算式
计 算 器
变与不变的四种范式
1. 对比(Contrast). 对比指的是两个事物、 概念或现象在某个维度上不同值或特征的变 化，同时这两个(或多个)事物之间的其他维 度(如形状)保持不变。对比有助于识别特征 。 2.分离(Separation)。分离指的是学习者将注 意集中于事物、概念或现象的某个变易维度 上。学习者所识别的是变化的维度 3.类化(Generalization)。如果想将一个特 定的值从一个事物(或多个事物)中分离出来 ，就必须保持那个值不变，而同时让事物之 间的其他维度发生变化。关注保持不变的方 面叫做类合。 4. 融合(Fusion)。融合指的是让学生注意事 物、概念或现象同时变化的几个方面。它反 映了几个变化的方面之间的关系，以及这些 方面与作为整体的学习内容之间的关系
多维度的 学习空间
构建知识网络
加深数学理解
五、小学课例分析
课题：基于学情分析的变式教学 年级：四年级 主持：朱向阳（特级教师，校长） 地点：浙江省义乌市义亭小学 时间：2014年12月4-5日
课例1：数图形
课题：数图形 教材：北师大版数学上册93-94页 年级：四年级 任教：杨姣萍老师 学校：浙江省义乌市义亭小学 时间：2014年12月4日
（变式2）
A
B
C
D
关键属性1：维度
（三）1维——2维：由“线段”到“图形”
（变式3）
A （变式4） A B C D
B
C
D
（变式5）
关键属性1：维度
（三）1维——2维：由“线段”到“图形”
（变式6）
A B C D
（变式7） A B C D
关键属性1：维度
（三）1维——2维：由“线段”到“图形” E F
本报告主要基于上述的研究
谢谢！
（变式8）
A
B
C
D
（变式9）
（变式10）
关键属性1：维度
（四）2维——3维：由“平面”到“空间”
（变式11） A
B
C
D
（变式12）
（变式13）
关键属性2：情境
（一）故事：鼹鼠旅行 如果小鼹鼠可以往回跑，那么有多少种 （变式14） 不同的路线？
如果前后两个洞之间都相距10米，那 （变式15） 么小鼹鼠所有路线都跑了一次后，总共 跑了多少米？
需要把变式教学变成一个自觉的行为
2. 变式教学的目的是让学生学得聪明一点，但很 多时候变成了单纯的变式训练。
应该通过变式教学，拓展学生的思维
3. 许多老师觉得，变式教学挺好，但不容易设计 有效的变式问题。
寻找变式教学设计的有效工具
二、什么是变易理论？
为了认识某个事物，就必须注意到这个事 物与其他事物之间的不同。为了注意这个 事物与其他事物在某个属性上的不同，这 个属性就必须在某个维度上发生变化。在 所有其他属性都保持不变的情况下，这个 差异才可以被识别出来。 ————F. Marton
关键属性2：情境
（二）图形：线段
折线
长方 形
三角 形
多边 形
圆弧
长方 体
四面 体
多面 体
关键属性2：情境
（三）符号 （变式17） A、B、C、D四点可以组成多少条线段？
有四个数字：1、2、3、4可以组成多少 （变式18） 个两位数？
关键属性3：算法
运用变式教学拓展学 生的学习空间
华东师范大学数学系 鲍建生
jsbao@
一、什么是数学变式教学？
标准变式 概念变式
概念性变式
非概念变式 精致练习
非标准变式
铺垫教学
过程性变式
解题三部曲 问题解决的变式化归
变式教学存在的问题
1. 变式教学在我国具有广泛的实践经验，但许多 老师都是在不自觉地运用变式教学的思想。
B
A
B A
五、为什么要进行变式教学？
1. 变式教学是中国数学教学的传统特色
2. 有助于形成良好的认知结构 3. 在较大的认知单元上工作 4. 强化知识的主干
5. 聚焦本源性问题（化归思维）
6. 学会举一反三与一以贯之
关于变式教学的研究历程
1. 顾泠沅(1977 – 1990).上海青浦实验 2. 顾泠沅(1991).学会教学.人民教育出版社
（二） 公式：组合数公式
C
2 n
Hale Waihona Puke （1）n( n 1) 2 1 2 3 ( n 1)
（2）
（3）
关键属性3：算法
（三） 递归 A B C D E
如果我们把4个点的所有线段数记为a4，那么 当有5个点是，我们可以分两部分考虑： （1）由前4个点组成的所有线段数： a4； （2）以第5个点为右端点的线段数：4； 所以5个点的线段总数是：
属性3：运算
符号 数轴
相反数 与减号的联系 与正数的关系 “0”的界定：绝对与相对 记 账 属性2：模型
字母表示 正号 负号与减号
温 方 度 向
海 拔
属性1：表征（-3）
课例4：买文具—除数是整十数的除法 （刘友富）
属性4：算理
属性3：运算
互逆 化简
位值 估算 与减法的关系 与乘法的关系 书 包 属性2：模型 水 文 笔 具 盒
a5 = a4 + 4 （ an an1 n 1 ）
课例2：常见的数量关系（王礼英）
属性4：算法
属性3：单位
公式变形 单位换算
等量代换 比率单位 乘幂单位 基本单位 故 事 属性2：情境
倍乘关系 比例关系 部分整体关系 属性1：关系
模 图 型 形
符 号
课例3：负数的认识（胡美文）
属性4：意义
（一）树形图
进
A
B
出
C
C D C B A
D
D
法1：从进 口考虑 法2：从出 口考虑
A
B C D B A
D
A
（二） 图表
关键属性3：算法
点数 基本线 段 2 1 线段数 1+0=1
图形 B
A A A
B
B B
C C D
3
4
2
3 4
2+1=3
3+2+1=6 4+3+2+1=10
A
C …
D
E
5
关键属性3：算法
基于关键属性的学习空间
属性3：算法
递归 公式
图表 树形图 故 事 属性2：情境
0维 1维 2维 属性1：维度
模 图 型 形
符 号
围绕关键属性的变式设计
教材：北师大版小学数学四年级上册93-94页 原题：鼹鼠去菜地旅行
小鼹鼠有多少条不同的线路？
关键属性1：维度
（一） 0维：由“洞”到“点”
抽象 B A C D 符号表示 （变式1） 4点到5点、6点、7点、…、n点. （二）0维——1维：由“点”到“线段”
三、变式教学与变易理论的联系
有效教学 知识结构
灵活性
变式教学 变易理论 适应性 创造性 整体
思想方法
学科能力
概念理解 技能训练 数学任务
部分
学习空间
属性 样例
问题解决
四、基于关键属性的教学设计
拓展学习空间
属性
例子
部分
整体 课堂 教学 设计 与研 究的 工具
扩展思维空间
关键 属性
确定最近发展区 聚焦核心概念
3. 鲍建生,黄荣金,易凌峰 &顾泠沅(2003).变式教学研究.数学教 学,1-3
4. 聂必凯(2004).数学变式教学的探索性研究. 华东师大博士论文 5. Gu L., Huang, R. & Marton, F.(2004). Bianshe Jiaoxue (Teaching with variation): An effective way of mathematics teaching in China. In L. Fan, N. Y. Wong, J. Cai, & S. Li (Eds.),HowChinese learn mathematics: Perspectives from insiders(pp.309-348). Singapore: World Scientific
余数表示 竖式写法 横式写法 属性1：算式
计 算 器
变与不变的四种范式
1. 对比(Contrast). 对比指的是两个事物、 概念或现象在某个维度上不同值或特征的变 化，同时这两个(或多个)事物之间的其他维 度(如形状)保持不变。对比有助于识别特征 。 2.分离(Separation)。分离指的是学习者将注 意集中于事物、概念或现象的某个变易维度 上。学习者所识别的是变化的维度 3.类化(Generalization)。如果想将一个特 定的值从一个事物(或多个事物)中分离出来 ，就必须保持那个值不变，而同时让事物之 间的其他维度发生变化。关注保持不变的方 面叫做类合。 4. 融合(Fusion)。融合指的是让学生注意事 物、概念或现象同时变化的几个方面。它反 映了几个变化的方面之间的关系，以及这些 方面与作为整体的学习内容之间的关系
多维度的 学习空间
构建知识网络
加深数学理解
五、小学课例分析
课题：基于学情分析的变式教学 年级：四年级 主持：朱向阳（特级教师，校长） 地点：浙江省义乌市义亭小学 时间：2014年12月4-5日
课例1：数图形
课题：数图形 教材：北师大版数学上册93-94页 年级：四年级 任教：杨姣萍老师 学校：浙江省义乌市义亭小学 时间：2014年12月4日
（变式2）
A
B
C
D
关键属性1：维度
（三）1维——2维：由“线段”到“图形”
（变式3）
A （变式4） A B C D
B
C
D
（变式5）
关键属性1：维度
（三）1维——2维：由“线段”到“图形”
（变式6）
A B C D
（变式7） A B C D
关键属性1：维度
（三）1维——2维：由“线段”到“图形” E F
本报告主要基于上述的研究
谢谢！
（变式8）
A
B
C
D
（变式9）
（变式10）
关键属性1：维度
（四）2维——3维：由“平面”到“空间”
（变式11） A
B
C
D
（变式12）
（变式13）
关键属性2：情境
（一）故事：鼹鼠旅行 如果小鼹鼠可以往回跑，那么有多少种 （变式14） 不同的路线？
如果前后两个洞之间都相距10米，那 （变式15） 么小鼹鼠所有路线都跑了一次后，总共 跑了多少米？
需要把变式教学变成一个自觉的行为
2. 变式教学的目的是让学生学得聪明一点，但很 多时候变成了单纯的变式训练。
应该通过变式教学，拓展学生的思维
3. 许多老师觉得，变式教学挺好，但不容易设计 有效的变式问题。
寻找变式教学设计的有效工具
二、什么是变易理论？
为了认识某个事物，就必须注意到这个事 物与其他事物之间的不同。为了注意这个 事物与其他事物在某个属性上的不同，这 个属性就必须在某个维度上发生变化。在 所有其他属性都保持不变的情况下，这个 差异才可以被识别出来。 ————F. Marton