量子输运格林函数方法

0
0
间趋于 +∞ 时，系统仍然回到初始时刻的基态，而且只相差一个相位，用公式可
以表示为[1]
∞ = S (+∞, −∞) = eiL
0
0
（2.1）
图 2.1 Contour C
在非平衡状态下，系统并不能保证其基态 在经过 S (+∞, −∞) 作用后不变。 0
人们通过将时间轴扩展到复平面上（如图 2.1 所示），引入了时间回路的概念。这 样系统就可以从 t0 = −∞ 出发沿着 t 轴演化到 t1' = +∞ （上支），然后从 t1' = +∞ 沿着 t 轴演化回到 t0 = −∞ （下支）。这样系统通过时间演化又回到了最初的基态，与平 衡态很类似，所以在这种情形下，在平衡态格林函数基础上发展起来的各种理论 仍然可以方便的使用。此时， S 算符的形式变为 SC = S (−∞, +∞)S (+∞, −∞) 。引入 回路 C 上的非平衡格林函数[2]：
t2
图 2.3 图 2.2 中的回路 C 变形为两个时间回路
其中回路 C1 在时间轴上支，回路 C2 在时间轴的下支。则式子（2.4）变为
∫ C(t1, t2 ) = dtA(t1, t)B(t, t2 ) C
∫ ∫ = dt[ A(t1+ , t)B< (t, t2− ) + dtA< (t1+ , t)B(t, t2− )]
Meir和Wingreen推导出了相互作用区域与理想电极相连时的电流公式 [6,7]。随 后人们沿着Meir的思路和步骤对电流公式进行了推广。孙庆丰等人给出了量子点 多电极（可以是正常电极也可以是超导电极）体系的电流表达式[8]。最近，李 保文等人将非平衡格林函数推广到铁磁电极-正常金属-超导电极构成的异质结 中，并且得到了Landauer-Büttiker型的电流普遍公式[9]。利用他们得出的这个公 式，我们可以用同一套理论来研究自旋相关的电流和Andreev反射电流等输运问
等人提出的截断近似[3,4]。
2.2 电流的普遍表达式
当无相互作用的中间区域与两端理想电极相连时，利用传统的Landauer -Büttiker公式，电流可表示成透射几率T (ε) 和费米分布函数 fα （α = L, R ）的积
∫ 分 形 式 ， 即 I = (2e / h) T (ε)[ fL (ε) − fR (ε)]dε ， 则 线 性 电 导 为 ： G = (2e2 / h)∫T (ε )(−∂f / ∂ε )dε [5]。在1992与1994年，利用非平衡格林函数方法，
2.1.2 Lengreth 定理
由上节得知，非平衡态格林函数是定义在复编时回路上的，但是我们通常用 到的物理可观察量是用实时的格林函数表示的。下面我们来介绍连接复编时格林 函数和实时格林函数的 Lengreth 定理（解析延拓规则）。
如果复编时的格林函数 C(t1, t2 ) 在积分回路 C （图 2.2）上满足：
i
jω
可能出现更高阶的格林函数。所以为了方程闭合，我们一般要对高阶格林函数做
截断近似。截断近似后我们就得到了一组耦合的方程组，通过求解方程组就能得
到推迟格林函数的具体形式。通常在相对高温（大于近藤温度）时，我们采取
Hartree-Fock 平均场截断近似[2]；在低温（小于近藤温度）时，一般采用 Y. Meir
∂t i
j
i
j
i
j
对上式作傅里叶变换，则在ω 空间中推迟格林函数的运动方程为
( ) { } [ ] ω + i0+
ai
a
+ j
r
=
ω
ai
,
a
+ j
+
ai , H
a
+ j
r ω
（2.14）
如果 [ai , H ] = ai ，方程（2.14）自然闭合，推迟格林函数可直接得出。而通常方
程（2.18）中右端的第二项 [a , H ] a+ r 是新的高阶格林函数，对其求运动方程仍
（2.11）
具体推导过程见附录 A。
2.1.3 求解格林函数的运动方程方法
由上节内容可知，如果我们有了推迟格林函数的具体形式，超前格林函数就
可以通过对推迟格林函数求共轭得到，然后带入到 Keldysh 方程中，小于和大于
பைடு நூலகம்
格林函数就可求得。通常我们用运动方程方法来求解推迟格林函数。
( ) ( ) { ( )} 将推迟格林函数 Girj t,t' = −iθ t − t'
[ai
(t
)
,
H
(
t
)]
,
a
+ j
t'
( ) ( ) ( ) { ( )} 引入符号
( ) ai
t
a
+ j
t'
r = Girj t, t' = −iθ t − t'
ai
(t
)
,
a
+ j
t'
:
( ) i ∂ ( ) a (t ) a+ t' r = δ t − t' {a (t ) , a+ (t' )} + {[a (t ) , H (t )] a+ (t' )} r （2.13）
是可以严格求解得到的。
0
{ } 引入 S 矩阵的定义 S = Tˆ
∫ exp ⎡⎣−i
H +∞ '
−∞
I
(
t
)
dt
⎤ ⎦
，在相互作用绘景中 t 时刻的态就可
以表示为 t = S(t, 0) 0 。那么在 0 时刻哈密顿 H 对应的基态 0 就可以表示成基 I
态 的时间演化，即 0 = S(0, −∞) 。平衡态理论中的一个重要假设是：当时
∞
∫ Cr (t1, t2 ) = dt[ Ar (t1,t)Br (t, t2 )] −∞
∞
∫ Ca (t1, t2 ) = dt[ Aa (t1, t)Ba (t,t2 )] −∞
（2.9）
同理可以得到常用到的 Lengreth 公式：如果 C(τ ,τ1) = A(τ ,τ1)B(τ1,τ ) ，则有
Ar BrC r 。
t
如果复编时的格林函t 数满足 Dyson 方程：
∫ G(t,t' ) = g(t,t' ) + dt1dt2 g(t,t1)Σ(t1, t2 )G(t2 , t') C
（2.10）
由 Lengreth 定理就可以得到实时小于格林函数的 Keldysh 方程：
G< = Gr (gr )−1 g< (ga )−1 + GrΣ<Ga
∞
∫ C< (t1,t2 ) = dt[ Ar (t1,t)B< (t, t2 ) + A< (t1, t)Ba (t, t2 )] −∞
（2.8）
类似地我们可以得到：
∞
∫ C> (t1, t2 ) = dt[ Ar (t1, t)B> (t, t2 ) + A> (t1, t)Ba (t, t2 )] −∞
铁磁电极
量子点
超导电极
题。下面我们以量子点为例来推导电流普遍公式。
图2.4 模型示意图 ：与左端铁磁电极和右端超导电极相连的单量子点。
考虑一个与左端铁磁电极和右端超导电极相连的量子点系统（图2.4所示），
∑ 总哈密顿量为 H = H F + H S + H D + HT 。铁磁电极的哈密顿为 HF =
G(t1, t2 ) = −i
TC [cλ (t1)cλ† (t1)]
≡
⎛ ⎜ ⎝
G++ G−+
G+− G−−
⎞ ⎟ ⎠
（2.2）
其中TC 是回路 C 上的复编时算符，它的作用是将回路 C 上的时间较早的算符排在
右边。+(−) 表示的是时间回路 C 的上（下）支。式（2.1）中 G++ (t1, t2 ) 和 G−− (t1, t2 )
2.1.1 非平衡格林函数的定义
非平衡格林函数是一种处理非平衡问题的有效方法，它是由平衡态格林函数
推广得到的。首先我们先简单介绍下平衡态理论。平衡态理论中所用到的时间是
定义在实时间轴上的。若系统的哈密顿量可以写为 H = H0 + H ' ，其中 H ' 是相互作
用部分，可以看成是微扰。在薛定谔绘景中 H 0 的基态
为时序格林函数，定义为： G++ (t1, t2 ) = −i TP[cλ (t1)cλ† (t2 )] G−− (t1, t2 ) = −i TP[cλ (t1)cλ† (t2 )]
其中TP 和TP 分别是时序算符和反时序算符，其定义为：
Tp [ A(t1 ) , B (t2 )] ≡ θ (t1 − t2 ) A(t1 ) B (t2 ) ±θ (t2 − t1 ) B (t2 ) A(t1 )
ai
(
t
)
,
a
+ j
t'
对时间进行求导，并且利
用海森堡运动方程可得：
( ) { { } } ( ) ( ) i
∂ ∂t
Girj
t,t'
=i ∂ ∂t
−iθ
t −t'
ai
(t
)
,
a
+ j
t'
（2.12）
( ) ( ) { } { } ( ) ( ) = δ t − t'
ai
(t
)
,
a
+ j
t'
− iθ t − t'
εkσ
f
† kσ
fkσ
。
kσ
超 导 电 极 用 标 准 的 BCS 哈 密 顿 量 描 述 ，
∑ ∑ HS = εpσ s†pσ spσ + [Δ∗s†p↑s−† p↓ + Δsp↑s− p↓ ] ，其中序参量 Δ 是超导电极的能隙。
pσ
p
∑ HC = εnσ cn†σ cnσ + Hint ({cn†σ },{cnσ }) 为中间量子点的哈密顿量，其中 H int 表示中间
第二章 量子输运的非平衡格林函数方法
本章中主要介绍处理量子输运问题中经常用到的非平衡格林函数方法。首先 我们给出了非平衡格林函数的定义及其满足的 Lengreth 定理，并且简单介绍了求 解非平衡格林函数的运动方程方法。然后利用非平衡格林函数方法我们推导出了 电流、热流和发热量的一般表达式。
2.1 非平衡格林函数
Gr − Ga = G> − G< ， G++ + G−− = G> + G<
( ) ( ) ( ) ( ) ⎡⎣Gr(a) t1, t2 ⎤⎦+ = Ga(r) t2 , t1 ， ⎡⎣G<(>) t1, t2 ⎤⎦+ = −G<(>) t2 , t1 （2.3）
可以看出其中只有三个格林函数是独立的。
+∞
∫= dtAr (t1+ , t)B< (t, t2− ) −∞
同理，（2.5）中第二项变为
（2.6）
+∞
∫ ∫ dtA< (t1+ ,t)B(t, t2− ) = dtA< (t1+ , t)Ba (t, t2− )
C2
−∞
（2.7）
将（2.6）式和（2.7）式代入（2.5）式，那么在实时间轴上有：
C1
C2
其中第一项展开为
（2.5）
∫ dtA(t1+ , t)B< (t, t2− )
C1
t1
−∞
∫ ∫ = dtA> (t1+ , t)B< (t,t2− ) + dtA< (t1+ , t)B< (t, t2− )
−∞
t1
+∞
∫= dtθ (t1+ − t) A> (t1+ , t)B< (t, t2− ) −θ (t1+ − t) A< (t1+ , t)B< (t, t2− ) −∞
nσ
量子点内的各种相互作用，可以含有电子-声子相互作用、电子间的库仑相互作
G−+ ≡ G> (t1,t2 ) = i cλ (t1)cλ† (t2 )
常用到的实时格林函数还有推迟格林函数 Gr 和超前格林函数 Ga Gr (t1,t2 ) = −iθ (t1 − t2 ) [cλ (t1), cλ† (t2 )]±
Ga (t1,t2 ) = iθ (t1 − t2 ) [cλ (t1), cλ† (t2 )]± 以上定义的六个格林函数之间满足以下的几个关系式
C r (t1, t2 ) = Ar (t1, t2 )B< (t2 , t1) + A< (t1, t2 )Ba (t2 , t1) ， C< (t1, t2 ) = A< (t1, t2 )B> (t2 , t1) 。当
∫ ∫ ∫ D = ABC ，则有 D< = c
⎡⎣ Ar BrC< + Ar B<C a + A< BaC a ⎤⎦ ， Dr =
Tp [ A(t1 ) , B (t2 )] ≡ θ (t2 − t1 ) A(t1 ) B (t2 ) ±θ (t1 − t2 ) B (t2 ) A(t1 )
+(−) 分别对应玻色子和费米子。式（2.1）中 G+− (t1, t2 ) 和 G−+ (t1, t2 ) 分别是小于
和大于格林函数： G+− ≡ G< (t1,t2 ) = i cλ† (t2 )cλ (t1)
∫ C(t1,t2 ) = dτ A(t1,τ )B(τ ,t2 ) C
（2.4）
t1 t
C
t2
图 2.2 回路 C
其中 t1在时间轴的上支，而 t2 在时间轴的下支。可以看出 C(t1, t2 ) 在实时间轴上是 小 于格林函数。我们将积分回路 C 变形为如图 2.3 中所示的路径：
C1
t1
t
C2