《函数的极限与连续》PPT课件

x0 x0
x x0 x0 x x0
无穷远点
x
x
x x0 x x0 x x0 x x
无穷远点与有限点的关系
这个运动表明：
当x沿直线趋于负无穷大时，圆 周上对应的点按顺时针方向趋 于顶点
●
●
●
这个运动表明：
当x沿直线趋于正无穷大时，圆 周上对应的点按逆时针方向趋 于顶点
lim f (x)
x
lim f (x) & lim f (x)
x
x
其中
函数极限的种类：
A f (x)
x0
x0 x x0
极限定义举例：
lim f (x) A的定义
x
0, M 0, 使得
当x M (的邻域)时,
| f (x) - A | .
lim f (x) 的定义
定量刻画之一：远近
刻画远近的工具——距离
x与x0的距离是 | x x0 | （ f x）与A的距离是 | （ f x） A |
计算 | a b | 的大小的“精确值” 几乎是不可能也是不可取的
因此，我们选择用| a b | 的 "精确度"来刻画，即若给定
一个精确度， 那么符合这个
精确度要求的数的全体为
● y f (x)
●
A
x0 x
x
情形 1.1：f ( x)在x0处有或无定义.
但 lim f ( x) lim f ( x)存在.
x x0
x x0
y
注意到：
在这种情形下，
lim f (x) A
x x0
存在，因此如果我们重 新定义
f (x)在x0处的值为 f (x0 ) A,
那么这个新的 f (x)在x0处连续.
| a b |
定量刻画之二：越来越近
刻画越来越近——动态刻画
x离 x0 导致 f (x)离A
近 近
| x x0 | 时
有
| （ f x） A |
逻辑刻画
目的：越来越近
任意近的标准ε：
| （ f x） A |
根据：一致性
在某个适当的范围：
| x x0 |
一致地有左边
极限的定义
设函数在x0附近（不包括x0点）有定义，
y
注意到：
在这种情形下，
lim f (x) A
x x0
存在，但是A f (x0 ). 因此如果
我们修改定义f (x)在x0处的值为
●
f (x0 ) A, 那么这个新的f (x)在x0处连续.
这种间断点称为可去间断点.
O
x
● ●
A
x0
哎呀,太高了!够不着，又 有正个好洞，, 我连还上是了掉，下我去和其 他的了点!!!连上了！
第二类间断点
无穷间断点 震荡间断点
情形1.1：f (x)在x0处无定义.
x自由地趋于x0
y
注意到：
在这种情形下，
lim f (x) A
x x0
存在，因此如果我们重 新定义
f (x)在x0处的值为
●
f (x0 ) A,
那么这个新的 f (x)在x0处连续.
这种间断点称为可去间断点.
O
x
哎呀,不好!有个洞, 还没 有支撑， 我掉下去了!!!
函数的极限与连续
兴安盟电视大学 教师：常秀玲
内容： 函数极限的基本内容 典型定义 函数极限之间的关系
函数极限的基本内容
函数的内涵之一是：
f
（量） x y （ f x）（另一量）
运动
x
f
另一Βιβλιοθήκη Baidu动
（ f x）
y
（ f x0）
O
x0
x
典型形式与定义
y
（ f x） A
O
x0
x
x离x0越来越近
f (x)离A越来越近
这种间断点称为可去间断点.
●
●
A
O
x
x0
哎呀,不好!有个洞, 还没 有支正撑好，，我连掉上下了去，了我!和!! 其
他的点连上了！
y f (x)
●
补充定义：
f ( x0 ) lim f ( x)
x x0
lim f (x) A
x x0
x
x
情形1.2：f (x)在x0处有定义. 但f (x0)的值太高了.
x x0 x (0 x x0 x M )
x x0 | x | (0 | x x0 | | x | M )
x x0 x x0 &x x0 x x & x
lim f (x)
x x0
lim f (x) & lim f (x)
x x0
x x0
|f(x)-A|.
即
A f(x) <A.
这样的 也能用,看来有一个 符合要 求,就会有无穷多个 符合要求!
A
哈哈,
找到了!
O
x0 x0
x0
x
x 的运动形态及关系：
固定点
0 | x x0
|
0 0
x x0 x0 x
x
x0
x
x
x0 x0
&x &x
x0
x0
x
x
xx
●
●
演示表明：在直线上无论x是趋于 ，还是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆
时针和顺时针都趋于一个共同的点——顶点！
●
x M
●
●
A
xM
x
x
●
●
演示表明：由于在圆周上看，顶点和A点本质x0上是一样的，(因x0此x0处, x的0 运动)
和无穷远处的运动也是一样。因此
x x0 x (0 x0 x x M )
● y f (x)
修改定义： f (x0) A
x
x
情形1.2：f (x)在x0处有定义. 但f (x0)的值太低了.
y
注意到：
在这种情形下，
lim f (x) A
x x0
存在，但是A f (x0 ). 因此如果 ●
x
A 0, M 0, 使得 当|x | M (的邻域)时, | f (x) | A.
连续的定义：（函数极限的特殊情形）
设函数f (x)在x0附近有定义，若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
则称f ( x)在x0连续.
lim f (x)
x x0
f ( x0 )
1.在x0附近定
义; 2.极限存在
在x0有定义 左右极限存在并相等
1.在x0 及其附近定义;
2.极限存在
左右极限存在并相等
1. f (x)在x0无定义; 或
2. lim f (x)不存在. x x0
第一类间断点
•可去间断点 •跳跃间断点
第二类间断点
•无穷间断点 •震荡间断点
第一类间断点
可去间断点 无定义、值太高、值太低
跳跃间断点
A是一个常数. 如果 0, 0, 当
0 | x x0 | 时, 有 | f (x) A | ,
则称当x趋于x 0时, f (x)以A为极限, 记为
lim
x x0
f (x)
A,
或
f (x)
A( x x0 )
给定 0
y
A
A
y f (x)
目的：对任意的0, 要找0，使得
0|x-x0| 时，有