一、近似计算.
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4 1 1 49 1 1 4914 1 ) | r2 |= 3( 1 52 2! 38 53 3! 312 54 4! 316
于是
5
4 1 [1 1 ( 1 )2 ] 1 3 1 . 2 8 5 2! 3 81 81 20000 .9926,. 240 3(1- 1 1 ) 22 .9926 4 5 3
1 1 1 1 ) | r4 |= 2( 1 1 9 39 11 311 13 313 1 ( 1 )2 ] 1 2 [ 1 . 11 3 9 9 700000 1 1 1 1 1 1 1 ) 0.6931 ln 2 2 ( 于是 . 3 5 7 3 3 3 5 3 7 3
ln1 x = ln( 1 x) - ln( 1- x) = 2(x 1 x3 1 x5 ) (-1 x 1) . 1- x 3 5
提示: 这个幂级数收敛速度较慢, 用于求ln2较困难. 因此需要寻找收敛速度较快的幂级数.
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1 x3 例 3 sin x x 例 3 利用 求 sin9 的近似值, 并估计误差. 3!
解 9 = p 9 = p (弧度). 180 20Βιβλιοθήκη Baidu
p = , 得 在 sin x 的幂级数展开式中令 x 20 sin p = p - 1 ( p )3 1 ( p )5 - 1 ( p )7 . 20 20 3! 20 5! 20 7! 20 取前两项得
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例2 计算ln2的近似值, 要求误差不超过0.0001. 解 已知
2 3 4 n 1 x x x x n ln( 1 x) = x - - (-1) (-1 x 1) , 2 3 4 n 1 2 3 4 x x x ln( 1- x) = -x - - - - (1 x 1) , 2 3 4 两式相减得
前四项的和作为近似值, 其误差为 | r4 | 1 8 1 1 , p 2 94! 90000 所以
2
p
1 2 e- x 2 dx 0
1 (1- 1 1 - 1 ) 0.5295 . 2 4 6 2 3 2 52! 2 73! p
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例 5 求积分
1 sin x
x 解 展开被积函数, 有
0
10-4 ). dx 的近似值(误差不超
sin x =1- x2 x4 - x6 (- x ) . x 3! 5! 7! 在区间[0, 1]上逐项积分, 得
1 1 - 1 . dx = 1 0 x 33! 55! 7 7! 因为第四项 1 1 , 7 7! 30000 所以取前三项的和作为积分的近似值:
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例2 计算ln2的近似值, 要求误差不超过0.0001. 解 已知
ln1 x = ln( 1 x) - ln( 1- x) = 2(x 1 x3 1 x5 ) (-1 x 1) . 1- x 3 5 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 x = ln 2 = 2 ( 以 代入得 . 3 5 7 3 3 3 3 5 3 7 3 如果取前四项作为ln2的近似值, 则误差为
§11.5 函数的幂级数展开式的应用
一、近似计算 二、欧拉公式
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一、近似计算
例1 计算 5 240 的近似值, 要求误差不超过 0. 0001. 解 5 240 = 5 243 - 3 = 3(1- 1 )1/ 5 34 1 4 1 - 1 49 1 - ) = 3(1- 1 1 . 4 2 8 3 12 5 3 5 2! 3 5 3! 3 如果取前二项作为所求值的近似值, 则误差为
sin p p - 1 ( p )3 0.15643. 20 20 3! 20 其误差为
| r2 | 1 ( p )5 1 (0.2)5 1 . 5! 20 120 300000
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例 4 求积分
p 解 将被积函数换成其幂级数展开式得
2
2
1 2 e- x 2 dx 0
10 -4 ). 的近似值(误差不超
p
1 2 e- x 2 dx = 0
2
p
1 2[ (-1)n 0 n =0
x2n ]dx n!
1 1 - 1 ) = 1 (1- 2 . 4 6 2 3 2 5 2! 2 7 3! p
1sin x
0
1sin x
dx 1- 1 1 = 0.9461. x 33! 55!
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二、欧拉公式
复数项级数 设有复数项级数∑(univn), 其中un, vn(n=1, 2, 3, )为实 常数或实函数. 如果实部所成的级数∑un收敛于和u, 并且虚部所成的级 数∑vn收敛于和v, 就说复数项级数收敛且和为uiv. 绝对收敛 如果级∑(univn)的各项的模所构成的级数∑|univn|收敛, 则称级数∑(univn)绝对收敛.
于是
5
4 1 [1 1 ( 1 )2 ] 1 3 1 . 2 8 5 2! 3 81 81 20000 .9926,. 240 3(1- 1 1 ) 22 .9926 4 5 3
1 1 1 1 ) | r4 |= 2( 1 1 9 39 11 311 13 313 1 ( 1 )2 ] 1 2 [ 1 . 11 3 9 9 700000 1 1 1 1 1 1 1 ) 0.6931 ln 2 2 ( 于是 . 3 5 7 3 3 3 5 3 7 3
ln1 x = ln( 1 x) - ln( 1- x) = 2(x 1 x3 1 x5 ) (-1 x 1) . 1- x 3 5
提示: 这个幂级数收敛速度较慢, 用于求ln2较困难. 因此需要寻找收敛速度较快的幂级数.
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1 x3 例 3 sin x x 例 3 利用 求 sin9 的近似值, 并估计误差. 3!
解 9 = p 9 = p (弧度). 180 20Βιβλιοθήκη Baidu
p = , 得 在 sin x 的幂级数展开式中令 x 20 sin p = p - 1 ( p )3 1 ( p )5 - 1 ( p )7 . 20 20 3! 20 5! 20 7! 20 取前两项得
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例2 计算ln2的近似值, 要求误差不超过0.0001. 解 已知
2 3 4 n 1 x x x x n ln( 1 x) = x - - (-1) (-1 x 1) , 2 3 4 n 1 2 3 4 x x x ln( 1- x) = -x - - - - (1 x 1) , 2 3 4 两式相减得
前四项的和作为近似值, 其误差为 | r4 | 1 8 1 1 , p 2 94! 90000 所以
2
p
1 2 e- x 2 dx 0
1 (1- 1 1 - 1 ) 0.5295 . 2 4 6 2 3 2 52! 2 73! p
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例 5 求积分
1 sin x
x 解 展开被积函数, 有
0
10-4 ). dx 的近似值(误差不超
sin x =1- x2 x4 - x6 (- x ) . x 3! 5! 7! 在区间[0, 1]上逐项积分, 得
1 1 - 1 . dx = 1 0 x 33! 55! 7 7! 因为第四项 1 1 , 7 7! 30000 所以取前三项的和作为积分的近似值:
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例2 计算ln2的近似值, 要求误差不超过0.0001. 解 已知
ln1 x = ln( 1 x) - ln( 1- x) = 2(x 1 x3 1 x5 ) (-1 x 1) . 1- x 3 5 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 x = ln 2 = 2 ( 以 代入得 . 3 5 7 3 3 3 3 5 3 7 3 如果取前四项作为ln2的近似值, 则误差为
§11.5 函数的幂级数展开式的应用
一、近似计算 二、欧拉公式
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一、近似计算
例1 计算 5 240 的近似值, 要求误差不超过 0. 0001. 解 5 240 = 5 243 - 3 = 3(1- 1 )1/ 5 34 1 4 1 - 1 49 1 - ) = 3(1- 1 1 . 4 2 8 3 12 5 3 5 2! 3 5 3! 3 如果取前二项作为所求值的近似值, 则误差为
sin p p - 1 ( p )3 0.15643. 20 20 3! 20 其误差为
| r2 | 1 ( p )5 1 (0.2)5 1 . 5! 20 120 300000
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例 4 求积分
p 解 将被积函数换成其幂级数展开式得
2
2
1 2 e- x 2 dx 0
10 -4 ). 的近似值(误差不超
p
1 2 e- x 2 dx = 0
2
p
1 2[ (-1)n 0 n =0
x2n ]dx n!
1 1 - 1 ) = 1 (1- 2 . 4 6 2 3 2 5 2! 2 7 3! p
1sin x
0
1sin x
dx 1- 1 1 = 0.9461. x 33! 55!
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二、欧拉公式
复数项级数 设有复数项级数∑(univn), 其中un, vn(n=1, 2, 3, )为实 常数或实函数. 如果实部所成的级数∑un收敛于和u, 并且虚部所成的级 数∑vn收敛于和v, 就说复数项级数收敛且和为uiv. 绝对收敛 如果级∑(univn)的各项的模所构成的级数∑|univn|收敛, 则称级数∑(univn)绝对收敛.