燕大理学院随机过程_试题解答预

0 y x 1 其它
y 1 时,求 E ( X | Y y ) 。

fY ( y )
f ( x, y )dx
0 y 1
1 24(1 x) ydx y 0
12 y (1 y ) 2 0 其它
0 y 1 其它
(5 分)

（5 分）
一般地， P{N 2 (t )
k 3 k 2 50 k k | N (t ) 50} C50 ( ) ( ) , k 0,1,2,,50 5 5
故平均有女性顾客
E{Nຫໍສະໝຸດ Baidu2 (t ) | N (t ) 50} 50
3 30 人 5
（4 分）
四、（15 分）设一个坛子中装有 4 个球，它们或是红色的，或是黑色的。从坛子中随机地取出一个球，并 换入一个另一种颜色的球，经过 n 次取球置换，令 （1） { X ( n), n
1 (1 y ) 2

1 y
2 x(1 x)dx
1 y 2 y2 3(1 y )
(4 分)
二、（14 分）设离散型随机变量 X 服从几何分布：
P{ X k} (1 p ) k 1 p
试求
k 1,2,
X
的特征函数，并以此求其期望 E ( X ) 与方差 D ( X ) 。
(4 分)

X (t )
X (t )
所以：
X (0)
X (0)
ipe0 p 1 i i 0 2 2 (1 qe ) (1 q ) p
p (1 q ) (1 q )3
(2 分)
(2 分)
1 1 EX X (0) i p EX 2 X (0) (1 q ) p2 (1 q ) 1 q 2 2 2 p p p
当0
y 1 时，
2(1 x) f ( x, y ) 2 ＝ (1 y ) fY ( y ) 0

y x 1 其它
f ( x, y ) dx fY ( y )
(5 分)
E ( X | Y y ) ＝ xf ( x y )dx x

X (n), n 1 表示第 n 次取球后坛中的黑球数。
1} 是否构成马氏链,是否为齐次的，为什么?
（2）试写出其状态空间与一步转移概率矩阵。 解： X ( n), n
1 的参数集为 T {1, 2,3, , n,} ，状态集为 E {0,1, 2,3, 4} ，当 X(n)的取值确定 X (n), n 1 为马氏链，（4 分）
(2 分)
DX EX 2 ( EX ) 2
(2 分
三、（14 分）某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客来商场的 人数分别独立地服从每分钟 2 人与每分钟 3 人的泊松过程。 （1） （2） 试求到某时刻 t 时到达商场的总人数的分布； 在已知 t 时刻以有 50 人到达的条件下， 试求其中恰有 30 位妇女的概率， 平均有多少个女性顾客？
燕山大学 2015-2016 学年秋季考试模拟试卷
理学院 课程名称 随机过程 B 姓名
题号 得分
一、 （14 分）设二维随机变量( X , Y )的联合概率密度函数为：
考试时间 2015.12.2
学号
三 四 五 六 七 总成绩
一
二
24(1 x) y f ( x, y ) 0
试求:在 0 解：
时，X(n+1)的取值完全由 X(n)确定，故
Pij (n) P ( X (n 1) j X (n) i )
1 i 4 1 i 4 0 j 1, i 0 或 j 3, i 4 j i 1,1 i 3
（4 分）
j i 1,1 i 3 其它
解： X (t )
E (eitX ) eitk P ( X k )
k 1

(2 分)
eitk (1 p ) k 1 p
k 1
p itk e (1 p ) k (1 p ) k 1
1

p p (1 p )eit it k [(1 p ) e ] (1 p ) k 1 (1 p ) 1 (1 p )eit peit peit 1 (1 p )eit 1 qeit ipeit (1 qeit ) 2 peit (1 qeit ) (1 qeit )3
k 1
（1） { X ( n), n
1,2,} 的一步转移矩阵为
0.6 0.4 0.6 0.4
转移图为：
（3 分）
（4 分）
0.4
0.6
－1
0.6
1
0.4
(2)
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
由树杈图可得：
P{Y (1) 0, Y (2) 0, Y (3) 0, Y (4) 0}
（2 分）
与 n 无关，故为齐次马氏链。 （2）一步转移概率矩阵为
1 0 0 0 0 0 1/ 4 0 3 / 4 0 0 1/ 2 0 1/ 2 0 0 3 / 4 0 1/ 4 0 0 0 0 1 0
（5 分）
3
五、（15 分）设 { X ( n), n
解：设 N (t ), N1 (t ), N 2 (t ) 分别为（0,t）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。 由已知， N1 (t ) 为强度 1
（1）
2 的泊松过程， N 2 (t ) 为强度 2 3 的泊松过程；
故， N (t ) 为强度
1 2 5 的泊松过程；于是， (5t ) k 5t e k!
＝ (0.4) ＋ (0.4)
4 3
0.6 ×2＋ (0.6)3 0.4 ×2＋ (0.6) 4 ＝0.4048
（8 分）
4
5
6
1,2,} 是独立同分布随机变量序列，其分布律为：
X ( n) 1 1 pi 0.6 0.4
（1）试给出 { X ( n), n
n
n 1，
1,2,} 的一步转移矩阵，并画出概率转移图；
（2）令 Y ( n)
X (k ), n 1 ，计算概率 P{Y (1) 0, Y (2) 0, Y (3) 0, Y (4) 0} 。
k 0,1, 2,
P ( N (t ) k )
（5 分）
（2）
P ( N 2 (t ) 30 N (t ) 50)
P ( N 2 (t ) 30, N (t ) 50) P ( N (t ) 50)
2

P ( N 2 (t ) 30) P ( N1 (t ) 20) (3t )30 e 3t / 30! (2t ) 20 e 2t / 20! P ( N (t ) 50) (5t )50 e 5t / 50! (3t )30 e 3t / 30! (2t ) 20 e 2t / 20! 30 3 30 2 20 C50 ( ) ( ) 50 5t (5t ) e / 50! 5 5