第三章多维随机向量及其概率分布

5) 边缘密度函数 f X (x), fY ( y).
28
解 1)
1
f
(x,
y)dxdy
(1
A x2 )(1
y2
dxdy )
1
A 1
x2
1
( (1
y
2
dy )
)dx
Aarctan
x
arctan
y
A 2
1
A
2
29
xy
2) F(x, y) f (u,v)dudv
3
定义 3.1.2 设 X ,Y 是二维随机变量，对任意实
数 x, y ，称二元函数
Fx, y PX x Y y ˆ PX x,Y y 为二维随机变量 X ,Y 的分布函数或 X 与 Y 的联合分
布函数．
4
分布函数的几何意义
Y
(x, y)
F(x, y)可视为随机点
(X ,Y)落在以(x, y) 为顶点的
X Y y1 y2
x1 0.1 a
x2 b 0.4
已知
P( X
x2
|Y
y2 )
2. 3
试求常数a,b的值. 。
解由
0.1 a b 0.4 1
以及
P{X
x2
|Y
y2}
P{X x2,Y P{Y y2}
y2}
0.4 a 0.4
2 3
解得
a 0.2, b 0.3
21
§3.3 二维连续型随机变量
22
联合概率密度的基本性质:
1) f (x, y) 0;
2) f (x, y)dxdy 1
23
概率密度还有如下性质:
1)设D为任意平面区域, 有
P{(X ,Y ) D} f (x, y)dxdy D
2) 在 f (x, y)的连续点(x, y)处,有
2F(x, y) f (x, y)
F x2, y2 F x2, y1 F x1, y2 F x1, y1 0
7
边缘分布函数
由于X与Y本身也是一个随机变量,因此也有各自的 分布函数,并且
FX (x) P{X x} P{X x,Y } F(x, ) FY (y) P{Y y} P{X ,Y y} F(, y)
定理 3.1.1 二维联合分布函数 F(x, y) 具有如下的性质：
（1）右连续性 Fx, y关于变量 x 或 y 都是右连续的．
（2）有界性 对任意的 x 和 y，有 0 Fx, y 1，且
lim Fx, y 0 lim Fx, y 0
x
y
lim Fx, y 1
x y
（3）非负性 对于任意 x1 x2 , y1 y2 有
第三章 多维随机向量及其概率分布
1
在前一章中,所讨论的随机现象只涉及到一个随 机变量，但是在很多随机现象中，每一次试验的结果 仅用一个随机变量来描述是不够的，而是要用多个随 机变量来描述.例如,射击的弹着点要用横坐标和纵坐 标两个变量来描述；对于钢的成份，需要同时研究它 的含碳量，含硫量，含磷量；等等．这样，对应每一 个基本结果（样本点），试验的结果需要用 n 个随机 变量 X1 , X 2 ,, X n 来表示．我们不但要知道每个随 机变量 Xi (i 1, 2, , n) 的概率分布，而且更重要的是 要掌握它们间的相互关系，即要掌握随机向量 ( X1, X 2, , X n ) 整体的概率性质和统计性质。
p00
P{X1
0,
X2
0}
P{X1
0}P{X 2
0
|
X1
0}
2 5
1 4
1 10
类似的,可求得其它的 pij,最后可得 (X1, X 2 )的联合分 布律与边缘分布律如下表:
X2 X1
0
0
1 10
1
3 10
p j
2 5
1
pi
3 10
2 5
3 10
3 5
3 5
注:两种情形的边缘分布律是相同的!
20
例3.2.3 设二维随机变量(X ,Y)的分布律为
2
3
1) 求常数A,B,C的值;
2)求(X ,Y )的概率密度 f (x, y) ;
3)求边缘概率密度 f X (x).
解 1) 由于 1 F (, ) A B C
2 2
0 F (, ) A B C
2 2 解得:
A
1
2
0 F (,) A B C
利用上面所给公式，容易求得 X ,Y 关于随机变量
X 和Y 的边缘分布函数分别为
1 ex , x 0
FX (x) F (x, )
0,
x0
1 e y , y 0
FY ( y) F (, y)
0,
y0
9
注意 边缘分布与参数 无关！这
说明研究多维随机变量,仅仅研究边 缘分布是不够,而必须将他们作为一 个整体来研究.
2 2
BC 34 2
2) 由性质,得
2F(x, y) 1 1/ 2
1/ 3
f (x, y)
xy
2
1
x
/
22
1
y
/
32
6
2 (4 x2 )(9 y2 )
3)
1
6
fX (x) f (x, y)dy 2 (4 x2 )(9 y2 ) dy
2
2 (4
x
2
)
P{X xi} P{X xi , (Y y j )}
j 1
P ( X xi ,Y y j ) P{X xi ,Y y j}
j1
j1
故关于X的边缘分布律为:
pi P{X xi} pij j 1
同理关于Y的边缘分布律为
p j P{Y y j } pij
i 1
整体大于部分之和!
10
§3.2 二维离散型随机变量
定义3.2.1 如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或 可列无穷多对值,则 称(X,Y)为二维离散型随机变量.
假设二维随机变量 X,Y 的所有可能取值为
(xi , y j ),i, j 1, 2, ，并且 P{X xi ,Y y j} pij i, j 1,2,
OO
X 左下方的无穷矩形的概率.
5
Y
(x1, y2 )
(x2, y2 )
(x1, y1)
(x2 , y1)
O
X
图2
设 x1 x2, y1 y2 ,则有
P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2) F(x2, y1) F(x1, y2) F(x1, y1)
6
二元函数能否成为某二维随机变量分布 函数的充分必要条件.
则称上式为(X,Y)的联合分布律.
11
联合分布律的基本性质
（1）非负性 0 pij 1 i, j 1,2,
（2）规范性 pij 1
ij
12
联合分布律也常写成如下表格的形式:
X Y
y1 y2
yj
x1
x2 xi
p11 p21
p12 p22
pi1
pi 2
p1 j p2 j pij
本章将介绍多维随机变量的概念，重点放在二维 随机变量．
2
§3.1 二维随机向量及其联合分布函数
定义 3.1.1 设随机变量 X,Y 定义在同一样本空间 S 上，称由它们构成的二维向量(X,Y)为二维随机向量， 亦称为二维随机变量．
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X和Y各自的性质 有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此必须把 它们作为一个整体来研究.为了描述二维随机变量整 体的统计规律性,我们引入联合分布函数的概念.
P{Y X } P{(X ,Y )G} y
f (x, y) d x d y
YX
G
2e(2x y) d x d y
0
y
O
x
1. 3
G
26
由于
x
x
FX (x) F(x,) ( f (u,v)dv)du fX (u)du
所以,关于X的边缘概率密度为: f X (x) f (x, y)dy
xy
3)若平面区域D的面积为0,则 P{( X ,Y ) D} 0
24
例3.3.1 设二维随机变量 (X , Y ) 具有概率密度
2e(2x y) , x 0, y 0,
f (x, y) 0,
其它.
(1) 求分布函数 F(x, y); (2) 求概率 P{Y X}.
解
x
(1) F(x, y)
2 4 2 8
31
y
4) 设D为如图所示的单位正 1
(1,1)
方形区域,则所求的概率为
D
O
1x
1 11
1
P{(X ,Y ) D} 2 0 0 (1 x2 )(1 y2 ) dxdy
1 arctanx 1 arctan y 1 1
2
0
0 16
32
5)
fX
(x)
f
(x,
y)dy
1
13
例3.2.1 设随机变量 X 在 1, 2,3, 4 四个整数中等可能地 取值, 另一个随机变量 Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布列及P( X Y ).
解 { X i,Y j}的取值情况是 : i 1,2,3,4,
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
同理,关于Y 的边缘概率密度为:
fY ( y) f (x, y)dx
27
例3.3.2 设(X,Y)的概率密度为
f
(x,
y)
(1
x2
A )(1
y2
)
求:1) 常数 A ;
2)联合分布函数 F(x, y) ;
3)P(X 1,Y 0)
4)(X,Y)落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正 方形内的概率;
xy
(1
u
2
A )(1
v
2
)
dudv
Aarc
tanu
x
arc
tanv
y
1
2
arctanx
2
arctan y
2
30
0
3) P{X 1,Y 0} f (x, y)dxdy
1
1
2
0
1 (1
1 x2 )(1
y
2
dxdy )
1
2
ar
c
tan
x
1
arctan
y
0
1 1
解 (1)有放回的情形.此时
p00
P{X1 0, X 2
0}
22 4 5 5 25
18
类似的,可求得其它的 pij,最后可得 (X1, X 2 )的联合分 布律与边缘分布律如下表:
X2 X1
0
0
4 25
1
6 25
p j
2 5
1
pi
6 25
2 5
9 25
3 5
3 5
19
(2)无放回的情形.此时
2
(1
1 x2 )(1
y2)
dy
1 2 (1
x2)
arctan
y
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1 (1
x2)
同理
1
fY ( y) (1 y2 )
注意:在本例中,有 f (x, y) fX (x) fY ( y) 33
例3.3.3 设随机变量(X,Y)的分布函数为
F (x, y) A B arctan x C arctan y
解 (1) 因为
f x, ydx dy 1
分别称 FX (x) 和 FY ( y) 为 (X ,Y ) 关于 X 和 Y 的边 际分布函数，简称边际分布或边缘分布．
8
例 3.1.1 假设二维随机变量 X ,Y 的联合分布函
数为
1 ex e y exyxy
F x, y
0
x 0, y 0 其它
称这分布为二维指数分布，其中参数 0．
y
f (u, v) d v d u
x 0
y 2e(2uv) d v d u, x 0, y 0,
0
0,
其他.
得 F
(x,
y)
(1
e2 x 0,
)(1
e
y
),
x
0, y 其他.
0.
25
(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标, 即有 {Y X } {(X ,Y )G},
16
联合分布律与边缘分布律的表格形式
X Y y1 y j
pi
x1 p11 p1 j p1
xi pi1
pij
pi
p j
p1
p j
17
例3.2.2 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从
中取两次,每次取一件,记 1, 第i次取到正品
Xi 0, 第i次取到次品 i 1,2 分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的 联合分布律和边缘分布律.
3.3.1 联合概率密度 定义3.3.1 设 F(x, y)是二维随机变量 (X ,Y )的联合分布
函数,如果存在一个非负函数 f (x, y) ,使得
xy
F (x, y) f (u, v)dudv
则称(X ,Y )是二维连续型随机变量,称 f (x, y) 为(X ,Y )的概 率密度,或者称为 X与 Y 的联合概率密度.
P{ X
i,Y
j}
P{Y
jX
i}P{X
i}
1 i
1 4
,
i 1,2,3,4, j i.
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
14
X Y
1
1
1
4
2
0
3
0
4
0
2 34
1
11
8 12 16
1
11
8 12 16
11
0 12 16
1
0
0 16
P( X
Y)
p11
p22
p33
p44
25 48
15
由于
1
d
y y
/ /
3 32
2 2(4
x2)
arctany
/
3
2 (4
x2)
35
例 3.3.4 已知二维随机变量 X ,Y 的联合密度函数为
f
x,
y
A
x ey
0
0 x y 其它
求 (1) 常 数 A ； (2) PX Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
fX x , fY y ．