2021届高考数学二轮复习平面向量专题练之平面向量的综合应用(A)

2021届高考数学二轮复习平面向量专题练之平面向量的综合应
用（A ）
1.在ABC 中，有下列命题： ①AB AC BC -=； ②AB BC CA ++=0；
③若0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形. 其中正确的命题有( ) A.①②
B.①③
C.②
D.①②③
2.已知向量a b ，
满足||5||66===-a b a b ，，⋅，则cos +=a a b ，（ ） A.3135-
B.1935
-
C.
1735 D.1935 3.已知向量()1,1=m ，向量n 与向量m 的夹角为3π
4
，且1⋅=-m n ，则n 的值为( )
A.1-
B.1
C.2
D.2-
4.已知,a b 为平面向量，且()()4,323,,18=+=a a b ，则,a b 夹角的余弦值等于( ) A.865
B.865
-
C.
1665
D.1665
-
5.下列命题中是真命题的是( )
①对任意两向量,a b ，均有：-<+a b a b ； ②对任意两向量,,-a b a b 与-b a 是相反向量； ③在ABC 中，AB BC AC +-=0；
④在四边形ABCD 中，()()AB BC CD DA +-+=0； ⑤AB AC BC -=. A.①②③
B.②④⑤
C.②③④
D.②③
6.已知()()3,2,1,0=-=-a b ，若向量λ+a b 与2-a b 垂直，则实数λ的值为( ) A.17
B.17
-
C.
16 D.16
-
7.如图，在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，O 是BE 边的中点，若,AB AC ==a b ，则AO 等于( )
A.1122
+a b B.11
23
+a b C.11
42+a b D.11
24
+a b 8.已知ABC 中，若2
AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则ABC 是( ) A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
9.已知()2,1=a 与()1,2=b ，要使t +a b 最小，则实数t 的值为______________. 10.设非零向量,,a b c 满足,==+=a b c a b c ，则a 与b 的夹角θ为___________. 11.已知向量()()1,2,2,4,5==--=a b c .若()5
2
+=⋅a b c ，则a 与c 的夹角的大小为___________.
12.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点.若AC AE AF λμ=+，其中,λμ∈R ，则λμ+=___________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：AB AC CB BC BC -==-≠，所以①错误.AB BC CA AC CA AC AC ++=+=-=0，所以②正确.0cos ,0AC AB AC AB ⋅>⇒〈〉>，即cos 0A >，所以A 为锐角，但不能确定,B C 的大小，所以不能判定ABC 是否为锐角三角形，所以③错误.故选C. 2.答案：D
解析：由题意，得2()25619⋅+=+⋅=-=a a b a a b ，
2
2
||22512367++⋅+-+a b a a b b ，所以()1919
cos ,||||5735
⋅+〈+〉===+⨯a a b a a b a a b ，故选D. 3.答案：B 解析：由3π2cos 4||||2||
⋅==m n m n n ||1=n ，故选B. 4.答案：C
解析：因为(4,3)=a ，所以2(8,6)=a .又2(3,18)+=a b ，所以(5,12)=-b ，所以203616⋅=-+=a b .又||5,||13,==a b 所以1616
cos ,51365
〈〉=
=
⨯a b . 5.答案：D 解析：①假命题.当0b =时，||||||||,-=+∴a b a b 该命题不成立.
②真命题.
()()()()()()()()-+-=+-++-=+-++-=-+-=0a b b a a b b a a a b b a a b b ，
∴-a b 与-b a 是相反向量.
③真命题.AB BC AC AC AC +-=-=0，
∴命题成立.
④假命题.,AB BC AC CD DA CA +=+=，
()()
AB BC CD DA AC CA AC AC ∴+-+=-=+≠0，
∴该命题不成立.
⑤假命题.AB AC AB CA CB BC =+=≠-，
∴该命题不成立.
6.答案：B
解析：由向量λ+a b 与2-a b 垂直，得()()20λ+⋅-=a b a b .因为(3,2),(1,0)=-=-a b ，所以(31,2)(1,2)0λλ--⋅-=，即3140λλ++=，解得1
7
λ=-.
7.答案：D 解析：在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线， 1
2
AE AC ∴=
， O 是BE 边的中点，1
()2AO AB AE ∴=+，
11111
()22224
AO AB AE AB AE ∴=+=+=+a b .
所以D 选项是正确的. 8.答案：C
解析：由题意得2
AB AB AC BA BC CA CB -⋅=⋅+⋅， ()()AB AB AC BC BA CA ∴⋅-=⋅-，
即,0AB CB BC BC AB BC BC BC ⋅=⋅∴⋅+⋅=， ()0BC AB BC ∴⋅+=，即0BC AC ⋅=，
,BC AC ABC ∴⊥∴是直角三角形，故选C. 9.答案：4
5
-
解析：因为()2,12t t t +=++a b ，所以2
2
2
49
(2)(21)555
t t t t ⎛⎫++++=++ ⎪⎝⎭a b 所以当
4
5
t =-时，t +a b 3510.答案：120°
解析：由==a b c 且+=a b c ，得+=a b b ，平方得
222222++⋅=⇒⋅=-⇒a b a b b a b a 2
12cos cos 1202
θθθ⋅⋅=-⇒=⇒︒-=a b a .
11.答案：120°
解析：易得()1,2,5+=--=a b a 设(),x y =c ，因为5()2+⋅=
a b c ，所以5
22
x y +=-.设a 与c 的夹角为θ，因为2x y ⋅=+a c ，所以5
1
2cos ||||52
θ-
⋅=
==-a c a c .又[0,π]θ∈，所以2π1203
θ==︒.
12.答案：
4
3
解析：设,AB AD ==a b ，则11
,22AE AF =+=+a b a b .又因为AC =+a b ，所以
2()3AC AE AF =+，即23λμ==，所以4
3
λμ+=.。