矩阵分析试题A参考答案及评分标准样本

重庆邮电大学 级研究生(矩阵分析)考卷( A 卷)

参考答案及评分细则

一 、 已知 1(1,2,1,0)T α=, 2(1,1,1,1)T α=-, 1(2,1,0,1)T β=-, 2(1,1,3,7)T β=-

求12{,}span αα与12{,}span ββ的和与交的基和维数。( 10分) 解: 因为

12{,}span αα+12{,}span ββ=1212{,,,}span ααββ (2分)

由于秩1212{,,,}ααββ=3, 且121,,ααβ是向量组1212,,,ααββ的一个极大相信无关组, 因此和空间的维数是3, 基为121,,ααβ。 (2分) 设{}1212{,},span span ξααββ∈

于是由交空间定义可知11221122k k l l ξααββ=+=+ 此即

121211212111

011030117k k l l -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

解之得1122122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数） (2分) 于是

11222[5,2,3,4]T k k l ξαα=+=-, 1122l l ξββ=+（很显然）

因此交空间的维数为1, 基为T [-5,2，3，4] (2分)

二、 证明: Jordan 块 10()0100a J a a a ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

相似于矩阵 0000a a a εε⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

, 这里0ε≠为任意实数。( 10分) 证明: 由于容易求出两个λ-矩阵的不变因子均为31,1,()a λ-, 从而这两个λ-矩阵相似,

于是矩阵10()0100a J a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与0000a a a εε⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

相似.

三、 求矩阵101120403A -⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

的

(1)Jordan 标准型; ( 2) 变换矩阵P ; ( 3) 计算100A 。( 10分)

解 ( 1) Jordan 标准型为

110010002J ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

(3分)

（2） 相似变换矩阵为

100111210P ⎛⎫ ⎪

=-- ⎪ ⎪⎝⎭

(3分)

（3） 由于1P AP J -=, 因此1n n A PJ P -=, 容易计算

100

1001001001990100

2012210124000

201A -⎛⎫

⎪

=--+ ⎪ ⎪-⎝

⎭ (4分) 四、 验证矩阵0110000i A i -⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭是正规阵, 并求酉矩阵U , 使H U A U 为对角矩阵。 (10分)

解:

20001,01H H AA A A i A i ⎛⎫

⎪

==-∴ ⎪ ⎪⎝⎭

是正规矩阵, (2分)

2110(2)0i

E A i λλλλλλ--=-=+-,令0E A λ-= 得特征根:

1230,,λλλ=== (2分)

当10λ=时, 解得特征向量为:1(0,,1)T i α=

当2λ=时, 解得特征向量为

:2,1)T i α=-

当3λ=时, 解得特征向量为

:2,1)T i α=- (3分) 显然123,,ααα正交, 将它们分别单位化得:

1v =

, 21,)22i v =-

, 31,)22

i v =-

令0221122i

i U ⎛ =- ⎪

⎪

- ⎪⎝⎭ 得

00

00

00

0H U AU ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪

-⎝⎭

(3分)

五、 已知A 是Hermit 矩阵, 且0k A = ( k 为自然数) , 试证: 0A

＝。 ( 10分) 证明: 因为A 是Hermit 矩阵, 因此存在酉矩阵U 使得

12

00000H n UAU λλλ⎛⎫

⎪ ⎪

=

⎪

⎪⎝⎭

, (其中i λ为A 的特征根, 且为实数) (3分) 于是

12000000H n A U U λλλ⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

(2分) 从而

120000000k k k H k n A U U λλλ⎛⎫

⎪ ⎪

== ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

(2分)

因此

120n λλλ====

故 0A = (3分)

六、 验证矩阵 0241

02211042

A ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

为单纯矩阵, 并求A 的谱分解。( 10分) 解: 因为3224

1

232(1)(2)2114

2

A E λλλλλλλλ

--=

-=-++=-+-- 因此得特征要分别为: 1,231,2λλ=-= (3分) 当1λ=-时, 求得线性无关的特征向量分别为

12(2,1,0),(4,0,1)T T αα=-=-, (1分) 当2λ=时, 求得线性无关的特征向量分别为

3(4,2,1)α= (1分) 因此

123244(,,)1

0201

1P ααα--⎛⎫

⎪== ⎪ ⎪⎝

⎭

11

2211

1633

612121

12211()12

633661112

21126

333

3T

T P β-⎛⎫⎛⎫----

⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

因此