信息论基础-练习与思考5
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6．解： 接收是由错误的。 错误至少有一位。该码能纠正这个错误。 因为，所以译码器的输出为1100101。
题目
1． 一个（7，1）重复码，求其生成矩阵和监督矩阵以及码的最小距 离。
2． 一个线性分组码的监督矩阵为，求其生成矩阵以及码的最小距 离。
3． 设一个（15，4）循环码的生成多项式。 （1） 求此码的监督多项式h(x)； （2） 求此码的生成矩阵（非系统码和系统码形式）； （3） 求此码的监督矩阵变化为，所以；；。由生成矩阵可知，最小距离。
3.设一个（15，4）循环码的生成多项式。 （1） 求此码的监督多项式h(x)； （2） 求此码的生成矩阵（非系统码和系统码形式）； （3） 求此码的监督矩阵。
3．解： （1） 循环码（15，4）用去除得 （2） 非系统码的生成矩阵；
4．解： （1） 等价的系统生成矩阵为 （2） 监督矩阵
假设发送的信号是，则经编码后输出为，其中 所以：，也就是
（3） 错误图样 对应关系如下： （4）
可靠的纠正1个误码。 （5）对应码字为 (6) 该码是（7，4）汉明码的对偶码
5.已知一个（6，3）线性分组码的全部码字为001011，110011，
是除所得余式 系统码生成矩阵： （3） 监督矩阵：
4.一个（7，3）线性分组码的生成矩阵为 （1） 构造一个等价的系统码生成矩阵； （2） 求其监督矩阵； （3） 构造所有可能的伴随式S的表，并求其所对应的最大可能 错误图样 （4） 求，并说明它能可靠地纠几个错？ （5） 若信息位,求对应的码字； （6） 它与（7，4）汉明码的关系如何？
4． 一个（7，3）线性分组码的生成矩阵为 （1） 构造一个等价的系统码生成矩阵； （2） 求其监督矩阵； （3） 构造所有可能的伴随式S的表，并求其所对应的最大可能 错误图样 （4） 求，并说明它能可靠地纠几个错？ （5） 若信息位,求对应的码字； （6） 它与（7，4）汉明码的关系如何？
5． 已知一个（6，3）线性分组码的全部码字为001011，110011， 010110，101110，100101，111000，011101，000000。求该码的 输出矩阵与监督矩阵，并讨论其纠错能力。
6． 设一个（7，4）循环码的生成多项式，当接收矢量为时，试问接 收是否有错？如果有错，至少有几个错？该码能否纠这些错？并 求译码器的码字。
答案
一个（7，1）重复码，求其生成矩阵和监督矩阵以及码的最小 距离。 1． 对于（7，1）重复码有，两种形式，可以看出它的生成矩阵是， 又由于C1=C0;C2=C0;C3=C0;C4=C0;C5=C0;C6=C0,可知其监督矩 阵为(求解方法：先对生成矩阵转置，然后在其后面加上一单位 矩阵即可) ， 2． 一个线性分组码的监督矩阵为，求其生成矩阵以及码的最小距 离。
010110，101110，100101，111000，011101，000000。求该码的输出矩 阵与监督矩阵，并讨论其纠错能力。 5．解： 任意选取3个线性关系的码字作为生成矩阵，其生成矩阵为： 其监督矩阵为： 因为，即能纠一位错误。
6.设一个（7，4）循环码的生成多项式，当接收矢量为时，试问接收是 否有错？如果有错，至少有几个错？该码能否纠这些错？并求译码器的 码字。
题目
1． 一个（7，1）重复码，求其生成矩阵和监督矩阵以及码的最小距 离。
2． 一个线性分组码的监督矩阵为，求其生成矩阵以及码的最小距 离。
3． 设一个（15，4）循环码的生成多项式。 （1） 求此码的监督多项式h(x)； （2） 求此码的生成矩阵（非系统码和系统码形式）； （3） 求此码的监督矩阵变化为，所以；；。由生成矩阵可知，最小距离。
3.设一个（15，4）循环码的生成多项式。 （1） 求此码的监督多项式h(x)； （2） 求此码的生成矩阵（非系统码和系统码形式）； （3） 求此码的监督矩阵。
3．解： （1） 循环码（15，4）用去除得 （2） 非系统码的生成矩阵；
4．解： （1） 等价的系统生成矩阵为 （2） 监督矩阵
假设发送的信号是，则经编码后输出为，其中 所以：，也就是
（3） 错误图样 对应关系如下： （4）
可靠的纠正1个误码。 （5）对应码字为 (6) 该码是（7，4）汉明码的对偶码
5.已知一个（6，3）线性分组码的全部码字为001011，110011，
是除所得余式 系统码生成矩阵： （3） 监督矩阵：
4.一个（7，3）线性分组码的生成矩阵为 （1） 构造一个等价的系统码生成矩阵； （2） 求其监督矩阵； （3） 构造所有可能的伴随式S的表，并求其所对应的最大可能 错误图样 （4） 求，并说明它能可靠地纠几个错？ （5） 若信息位,求对应的码字； （6） 它与（7，4）汉明码的关系如何？
4． 一个（7，3）线性分组码的生成矩阵为 （1） 构造一个等价的系统码生成矩阵； （2） 求其监督矩阵； （3） 构造所有可能的伴随式S的表，并求其所对应的最大可能 错误图样 （4） 求，并说明它能可靠地纠几个错？ （5） 若信息位,求对应的码字； （6） 它与（7，4）汉明码的关系如何？
5． 已知一个（6，3）线性分组码的全部码字为001011，110011， 010110，101110，100101，111000，011101，000000。求该码的 输出矩阵与监督矩阵，并讨论其纠错能力。
6． 设一个（7，4）循环码的生成多项式，当接收矢量为时，试问接 收是否有错？如果有错，至少有几个错？该码能否纠这些错？并 求译码器的码字。
答案
一个（7，1）重复码，求其生成矩阵和监督矩阵以及码的最小 距离。 1． 对于（7，1）重复码有，两种形式，可以看出它的生成矩阵是， 又由于C1=C0;C2=C0;C3=C0;C4=C0;C5=C0;C6=C0,可知其监督矩 阵为(求解方法：先对生成矩阵转置，然后在其后面加上一单位 矩阵即可) ， 2． 一个线性分组码的监督矩阵为，求其生成矩阵以及码的最小距 离。
010110，101110，100101，111000，011101，000000。求该码的输出矩 阵与监督矩阵，并讨论其纠错能力。 5．解： 任意选取3个线性关系的码字作为生成矩阵，其生成矩阵为： 其监督矩阵为： 因为，即能纠一位错误。
6.设一个（7，4）循环码的生成多项式，当接收矢量为时，试问接收是 否有错？如果有错，至少有几个错？该码能否纠这些错？并求译码器的 码字。