第九章拉普斯变换

第九章拉普拉斯变换

（The Laplace transformation）

第一讲

授课题目：§9.1 拉普拉斯变换的概念

§9.2 拉普拉斯变换的性质

教学内容：1、拉普拉斯变换的定义

2、拉普拉斯变换存在条件

3、拉普拉斯变换的性质

学时安排：2学时

教学目标：1、正确理解拉普拉斯变换的定义

2、了解拉普拉斯变换存在条件

3、掌握拉普拉斯变换的性质

教学重点：1、拉普拉斯变换的定义

2、卷积和卷积定理

教学难点：拉普拉斯变换的性质

教学方式：讲授法、图形类比法、演绎法

作业布置：习题九 1-5

板书设计：一、拉普拉斯变换的定义

二、拉普拉斯变换存在条件

三、拉普拉斯变换的性质

主要参考资料：

1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版

社，1987.

2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育

出版2003.

3、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社，

2000.

课后记：1、理解了拉普拉斯积分变换的定义

2、拉普拉斯积分变换存在条件，不能正确掌握

3、掌握了拉普拉斯积分变换的性质

教学过程

§9.1 拉普拉斯变换的概念

(The conception and property of the Laplace transformation)

傅氏变换具有广泛的应用，特别是在信号处理领域，直到今天它仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号分析本质就是傅里叶积分变换.但任何东西都有局限性，傅里叶变换也一样，人们对傅里叶积分变换的局限性做了各种各样的改进.一方面提高它对问题的刻画能力，如窗口傅里叶变换、小波变换等；另一方面，扩大它本身的使用范围，比如本章要介绍的拉普拉斯变换就是.我们知道傅里叶变换对函数有一定的要求，即满足狄利克雷条件，还要求在(,)-∞+∞上绝对可积，才有古典意义下的傅里叶积分变换，而绝对可积是一个很强的条件，即使一些简单函数，有时也不能满足这个条件，引入狄拉克函数后，傅里叶积分变换应用广泛了很多，但对于指数增长的函数仍然不能使用，另外傅里叶积分变换必须在整个实数轴上定义，但在工程实际问题中，许多以时间为自变量的函数，就不能在整个实数上定义，因此傅里叶积分变换在处理这样的问题时，有一定的局限性.19世纪末英国工程师赫维赛德发明了一种算子法，最后发展成了今天的拉普拉斯积分变换，而其数学上的根源还是来自拉普拉斯，所以称其为拉普拉斯积分变换.

一、 拉普拉斯变换的定义（Definition which Rupprath varies ） 定义（Definition ） 设函数()f t 是定义在[0,)+∞上的实值函数，如果对于复参数s j βω

=+，积分

()()st F s f t e dt +∞

-=⎰

在复平面s 的某一域内收敛，则称()F s 为()f t 的拉普拉斯变换，记为()0

[()]()st f t F s f t e dt +∞

-==⎰

L ，称()f t 为()F s 的拉普拉斯逆

变换，记为1()[()].f t F s -=L ，()F s 称为像函数，()f t 称为原像函数.

事实上，我们从下面可以看出傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换的关系:

[()()]()()t t j t f t u t e f t u t e e dt ββω+∞

----∞

=⎰

F ()0

()j t f t e dt βω+∞

-+=⎰

令s j βω=+，则[()()]t f t u t e β-=

F ()0

()st f t e dt F s +∞

-=⎰

=[()]f t L .

由此可以知道，()f t 的拉普拉斯积分变换就是()()t f t u t e β-的傅里叶积分变换，首先通过单位阶跃函数()u t 使函数()f t 在0t <的部分为0，其次对函数()f t 在0t >的部分乘一个衰减的指数函数t e β-以降低其增长速度，这样就有希望使函数()()t f t u t e β-满足傅里叶积分变换的条件，从而对它进行傅里叶积分变换.

例9.1 分别求出单位阶跃函数()u t ，符号函数sgn t ，()1f t =的拉普拉斯积分变换. 解：()0

[()]()st f t F s f t e dt +∞

-==⎰

L 0

1

st e dt s

+∞

-==

⎰，(Re 0)s > 001

[()]()st st u t u t e dt e dt s +∞

+∞

--===

⎰⎰L ，(Re 0)s >

001

[sgn ]sgn st st t te dt e dt s

+∞+∞--===⎰⎰L ，(Re 0)s >

例9.2 求指数函数()kt f t e = 的拉氏变换(k 为实数). 解

：

()()()0

11[()]e e d e

d e

d e

kt st

s k t

s k t

s k t

f t t t t s k

s k

+∞

+∞

+∞

+∞-------====-=

--⎰⎰⎰L 所以1

[e ](Re()).kt s k s k

=

>-L 二、 拉普拉斯积分变换存在条件（Laplasse integral exist

conditions ）

拉氏变换的存在定理（Laplasse the existence of

transformation theorems ）： 若函数()f t 满足:

(1) 在t ³ 0的任一有限区间上分段连续;

(2) 当t →+∞时, ()f t 的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数 M > 0及c ³ 0, 使得

|()|,(0)ct f t Me t ≤≤<+∞

则()f t 的拉氏变换0

()()e d st F s f t t +∞-=⎰

在半平面Re()s c >上一定

存在, 并且在Re()s c >的半平面内, ()F s 为解析函数. 证明 设s j βω=+，则||st t e e β--=，所以

()()0

|||()|st c t F s f t e dt M e dt β+∞

+∞

---=≤⎰

⎰

由Re()s c β=>，可以知道右端积分在上半平面上收敛.

关于解析性的证明省略.

注1:大部分常用函数的拉普拉斯变换都存在(常义下); 注2：存在定理的条件是充分但非必要条件.

对于任意函数来说，其拉普拉斯变换有三种情况，或者不存在，或者在整个复平面上存在，或者在一个半平面内存在.