4-2正态随机变量的线性组合

2
2
解: {活塞能装入气缸}={X<Y}={X-Y<0}
X i N ( i , i ), 定理2 , 则 C i X i N ( C i i , C i i )
2 2 2 i i i
令Z X Y , 则Z N ( E ( Z ), D( Z ))
E ( Z ) E ( X ) E (Y ) 0.1
/ n
N (0, 1) 或 X N ( ,

2
)
n
例1 随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2), Y~N(0,1). 试 求Z=2X-Y+3的概率密度. 解: X~N(1,2), Y~N(0,1)，且X与Y独立
故X和Y的任意线性组合是正态分布.
即 Z~N(E(Z), D(Z)) E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5
f X Y ( t )


fY ( y ) f X ( t y )d y
y 2 2 2


+ -
1 2

e
1 2
e

( t y ) 2
2
dy
1 2

+ -
e
1[ 2
y
2 2

(t y) ]
2
dy

t 2 2 )
（略中间过程，P100）
f X Y ( t )
D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9
Z的概率密度为 : fZ (z)
Z~N(5, 32)
1 3 2
( z 5) 18
2
e
,
(Z R)
例2(类似P101-例1) 活塞的直径(以cm计)X N (22.4, 0.03 ), 气缸的直径Y N (22.5, 0.04 ), 设X , Y 相互独立.任取一活塞,任 取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率.
2
取 C1 C 2 ... C n
1 n
2 n
推论. 设X 1 , X 2 , ..., X n相互独立, 且服从同一分布N ( , ) ( i 1, 2, ..., n), X X
X 是X n
i i 1
1
1
, X 2 , ..., X n的算术平均, 则
}
1 {
1 0.27
} 1 (1.92) 1 0.9726 0.0274
2
(2) Yi N (6, ),
已知 P{Y1 Y2 Y3 19} 0.005
2
Y1 Y2 Y3 N (18, 3 )
P{Y1 Y2 Y3 19} P{
第二节
正态随机变量的线性组合
主要内容（0.5学时）
相互独立的正态随机变量线性组合
引理.
设Y N (0, ), X N (0,1), 且X , Y 相互独立,
2
则 X Y N (0, 1)
2
证 : 设 X , Y , X Y 的 概 率 密 度 分 别 为 f X ( x ), f Y ( y ), f X Y ( t )
n=2时对应二元正态分布的概率密度
2、n维正态分布的主要性质
(1) (X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布 Xi, 服从正态分布.
(2) X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布 对不全为0实数 a1,a2,…,an，a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn服从正态分布.
(3) 若 X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布， Y1,Y2, …，Yk是 Xj（j=1,2,…,n）的线性函数，则(Y1,Y2, …，Yk)也服从 多元正态分布(正态变量的线性变换不变性) (4) 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则 X1,X2, …,Xn相互独立 X1,X2, …,Xn两两不相关。
解: 由TH2推论知, X Y 1
1
X 9
i 1
9
i
N (2,
4 9
)
Y 4
i 1
4
i
N (1,
1 4
)
X Y N (2 1,
X Y 1 25 / 36
4
) N (1, ) 9 4 36
0 1 25 / 36
1
25
P{ X Y } P{ X Y 0} P {
2
X 1
2

Y 2
2
)+1 2
2
X N(, )
X 1 X
Y aX b N (a b, (a ) )

1 2
2
X 1
2
N (0,
1
2 2
2
)
Y 2
2
N (0,1)
2

Y 2
2
N (0, 1
n 2 1 2
exp{
1 2
( X )C ( X )}
1
1
|C |
其中C为( X 1 , X 2 , ..., X n )的协方差矩阵, C 为C的行列式, C
为C的逆矩阵, X 和为n维列向量, X 为X的转置矩阵.则称 n维随机变量( X 1 , X 2 , ..., X n )服从n元正态分布.
2
..., n), 对于任意不全为0的常数C1 , C 2 , ..., C n , 有 U C1 X 1 ... C n X n N (C1 1 ... C n n , C1 1 ... C n n )
2 2 2 2
X N(, )
2
Y aX b N (a b, (a ) )
2
1 2 1
2
e
2 ( 1
即 X Y N (0, 1)
TH 1.
设X N ( 1 , 1 ), Y N ( 2 , 2 ), 且X , Y 相互独立,
2 2
则 X Y N ( 1 2 , 1 2 )
2 2
证: X Y 2 (
即 1 { 1 3 1 3
2 2
Y1 Y2 Y3 18 3
{
2

19 18 3
2
} 0.005
} 0.005 2.576
1 3
2
} 0.995 {2.576}
0.2241
百度文库
例4(P103-例3) 设X 1 , X 2 , ..., X 9相互独立且都服从N (2, 4). Y1 , Y2 , Y3 , Y4相互独立且都服从N (1,1).又设X , Y 相互独立.求 P{ X Y }
D(Y1 Y2 Y3 ) D(Y1 ) D(Y2 ) D(Y3 ) 3* 0.3 0.27
2
故 Y1 Y2 Y3 N (18, 0.27)
P{Y1 Y2 Y3 19} P{
Y1 Y2 Y3 18 0.27

19 18 0.27
}
1 {
1 25 / 36
} 1 (1.2) 0.8849
本节重点总结
相互独立正态随机变量线性组合的分布
n维正态分布简介
1、n维正态分布的定义
X ( X 1 , X 2 , ..., X n )为n维随机变量, 如果其概率密度为 f ( x1 , x2 , ..., xn ) 1 (2 )
解: 记3只电阻器的电阻分别为Y1 , Y2 , Y3 , 且Y1 , Y2 , Y3相互独立
(1) Yi N (6, 0.3 ),
2
所求概率P{Y1 Y2 Y3 19}
E (Y1 Y2 Y3 ) E (Y1 ) E (Y2 ) E (Y3 ) 3* 6 18
即 Z N ( 0.1, 0.05 )
2
D( Z ) D( X ) D(Y ) 0.05
2
P{ X Y } P{ Z 0} P{
{ 0 ( 0.1) 0.05
Z ( 0.1) 0.05

0 ( 0.1) 0.05
}
} (2) 0.9772
例3(P102-例2) 一电路由3只独立工作的电阻器串联而成, 各只额定电阻值均为6欧. (1)已知电阻器的电阻(以欧计) Y N (6, 0.3 ), 求电路的总电阻W 超过19的概率; (2)设电阻器 的电阻Y N (6, ), 若要求电路的总电阻W 超过19的概率小于
2 2
0.005, 问要控制 至多是多少 ?
1
2 2
2
)
X Y N [ 2 * 0 1 2 , 2 (1
2
1
2
2
)] N ( , 2 2 ) 2 1 2 1 2
TH 2.
设X 1 , X 2 , ..., X n相互独立, 且X i N ( i , i )( i 1, 2,