数系的扩充和复数的概念

四、当堂检测
1.以3i 2 的虚部为实部，以3i 2 3i 的实部为虚部的复 数是 （B ） A. -2+3i B. 3-3i C. -3+3i D. 3+3i
2 2.若复数(a 3a 2) (a 1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为 ( 2 )
2 4 3 a a i与复数a 2 4ai 相等，则实数 a 的值为 3.复数 ( 4 )。
整数
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自然数
2、复数代数形式
z
a
b i a, b R
虚部
实部
虚数 单位
注：对于复数 z a bi 以后不作特殊说明， 都有 a, b R
Baidu Nhomakorabea
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2 i,
3i, 2 3i, 0 3i
2 3i,
3
3 0i
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观察下列复数，你有什么发现？
五、课堂小结
虚数的引入 复 数 z = a + bi (a,b∈R)
复数的分类
当b=0时z为实数; 当b0时z为虚数；
当b0且a =0时z为纯虚数.
复数的相等
a+bi=c+di (a, b,c,dR) a=c
b=d
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六、课后作业
课本P52：1、2、3
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2 3i,
3
a bi
3 0i
2、这些数的形式有什么共同点？你能用一个 式子来表示这些数吗？
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1、复数的概念
定义：把形如a+bi的数叫做复数（a,b 是实数）
其中i叫做虚数单位
复数全体组成的集合叫复数集，记作C
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数 系 的 扩 充
虚数
无理数
？ 复数
实数
分数
负整数
有理数
注：虚数单位i是瑞士数学家欧拉最早引用的，它取自 imaginary(想象的，假想的)一词的词头.
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实际应用
由它所创造的复变函数理论，成为解决电磁理 论，航空理论，原子能及核物理等尖端科学的数学工 具.
说一说
1、下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算？
2 i,
3i, 2 3i, 0 3i
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想一想
复数集与实数集、虚数集、纯虚数集
之间有什么关系？
虚数集 复
数 实数集 纯虚数集 集
由上可知，实数集R时复数集C的真子集。
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4、复数相等
▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那
么我们就说这两个复数相等.即
a bi c di
( a , b, c , d R )
1 3i
0
0
0
1 4 i 2 3
1 2 4 3
2i
i
2
实部 虚部 分类
1
0 2
纯虚数
-1
-3
0
实数
虚数 实数
虚数
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例2、实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
解：（1）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是实数． （2）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z是虚数． （3）当 m 1 0 ，且 m 1 0 ，即 m 1 时，复 数 z 是纯虚数．
a c b d
注：两个虚数不能比较大小，只能由定义判断它们 相等或不相等。
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即时训练：
1.若2-3i=a-3i,求实数a的值； 2.若8+5i=8+bi,求实数b的值；
3.若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。
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三、典例分析，巩固提升
例1、完成下列表格（分类一栏填实数、虚数 或纯虚数）
当b≠0时，z是虚数；
i不存在 i要存在 只有i
当a=0且b≠0时，z是纯虚数；
当a=0且b=0时，z是0
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实数(b 0) 纯虚数(a 0，b 0) 2、复数z=a+bi 虚数(b 0) 非纯虚数(a 0，b 0)
3、即时训练 若m+(m-1)i为实数，则m=（ ） 若x+(2x-1)i为纯虚数，则x=（ ）
二、合情推理，类比扩充
思考？
x 1
2
上述方程在实数中无解，联系从自然数系到 实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这 个方程有解？
问题解决:
为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个
新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
2 i (1) 1 ；
(2)实数可以与i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律 和分配律)仍然成立.
一、创设情景，探究问题
x 1, x ?
2
联系从自然数系到实数系的扩充过程，你 能设想一种方法，使这个方程有解吗？
回忆数的扩充
3 4 ?
无理数
分数
实数
有理数
负整数
整数
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自然数
想一想：数系为什么要扩充？在扩充过程 中什么是保持不变的？
1、在原有数集中某种运算不能进行
2、原数集中的运算规则在新数集中 得到了保留
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例3、已知 ( x y) x 2 y i (2x 5) (3x y)i ，
x, y R
x y
其中
,
求
与
.
解：根据复数相等的定义，得方程组
x y 2x 5 x 2 y 3x y
得
x 3 y 2
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实数
0 , 3,
2, 0.2,

1 , 2
i
2
= -1
虚数 1 i, 2
1 1 3 2i, 3i, 1 i, 2 4i, 1 3i 2 3
2i,
(1 5)i, 3i,
3i, ( 7 1)i,
纯虚数
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3、复数的分类
1、复数z=a+bi
当b=0时，z是实数；