矩阵的秩在现实中的应用

矩阵的秩的应用
(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用
矩阵的秩对研究向量组间是否线性相关有重要的意义, 咱们可以通过把向量组转换成矩阵的形式，通过判断矩阵的秩的情况来间接判定向量组是相关还是无关的。

那么我们首先从向量组之间的关系着手。

1.向量组间的关系 (1).定义[4]：若向量组A 中每个向量都可以由向量组B 线性表示，则称向量组A 组能由向量组B 线性表出。

两个向量组若能互相线性表出，则称这两个向量组等价。

向量组中任何一个最大的线性无关组所含有的向量数称为这个向量组的秩。

(2).有关定理
①[4]若向量组A 能由向量组B 线性表示，则知秩A ≤秩B ； ②[4]等价的向量组必等秩,但是其逆不真；
③[4]矩阵中行向量组的秩和列向量组的秩都等于其非零子式的最高阶数,所以矩阵的秩既等于其行秩(即其行向量组的秩),又等于其列秩(即其列向量组的秩)。

④[4]一个向量组中，其任何两个极大线性无关组都是等价的。

2.判定向量组是否线性相关
利用矩阵的秩来判断向量组的线性相关性,通常用来判断有m 个n 维向量的向量组。

令12,(,,)m A =∂∂∂，当()R A m =，此向量组1,2,,m ∂∂∂是线性无关的，当
()R A m <，此向量组是线性相关的。

例: 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)T T T
t ∂=∂=∂=。

（1）问t 的值取多少时，该向量组线性相关？ （2）问t 的值取多少时，该向量组线性无关？
解: 1,2,3111111()12301213021A t t ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=∂∂∂=→ ⎪ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
从最后一个矩阵可知：
（1）t ≠5时，()3R A =,向量组线性无关；
（2）t=5时，()2R A =,向量组线性相关。

3.根据矩阵的秩判断向量组线性相关性
利用矩阵的秩证明向量组的线性相关性，就是把向量组中每一个向量用矩阵形式表示出来，根据矩阵秩的性质，分析向量组间相关性。

通常用于证明具有两对向量的向量组。

例: 设向量组123,,∂∂∂是线性无关的，根据矩阵的秩的有关性质试证：
122331,,∂+∂∂+∂∂+∂也是线性无关的。

证明 令 112223331,,,βααβααβαα=+=+=+
则 123123101(,,)(,,)110011βββααα⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
因矩阵 101110011⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
可逆，故123123(,,)(,,)3R R βββααα==
所以123,,βββ即122331,,∂+∂∂+∂∂+∂线性无关。

（二）、矩阵的秩在线性方程组方面的应用
1.矩阵的秩和非齐次线性方程组
矩阵的秩在判断线性方程组解情况中，有很重要作用，能够快速确定方程组解的个数。

接下来我们从定理的证明入手，来探究矩阵的秩与线性方程组之间的关系。

定理[4] ：对于非齐次线性方程组
1111221121122222
1122n n n n r r rn n r
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩ 此方程组有解的充分必要条件即为方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。

例: 分析以下方程组，探究λ分别取什么值时，方程组的解是什么样子?
12312312
3022
x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪
++=-⎨⎪++=⎩ 解: 其系数矩阵
111111A λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
增广矩阵
11011
2112B λλλ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝
⎭
若要方程组有解则需rankA rankB =.
221111111101101111011002A λλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2211011211211201140114112011200224B λλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由此可以看出
当1λ=时 ()1R A = ()3R B = 方程组无解。

当2λ=-时 ()()2R A R B == 方程组含无穷多个解。

当1λ≠,且2λ≠-时 ()()3R A R B == 方程组有唯一解。

总结：
对于非齐次线性方程组，我们设A 为其系数矩阵，B 为其增广矩阵。

当0A ≠且()()R A R B =时，方程组有唯一的解。

当0A =，方程组有无穷多个解。

当()()R A R B ≠时，方程组无解。

由上可以看出，矩阵的秩和线性方程组的解之间是紧密的相连的，从矩阵的秩入手，不仅可以简单判断出非齐次线性方程组是否有解，而且可以判断出齐次线性方程组解的情况。

2.矩阵的秩与齐次线性方程组
定理2错误!未定义书签。

:对于齐次线性方程组
111122121122221122000
n n n n
r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩ 在齐次线性方程组有非零解时，它有基础解系，并且基础解系所含有解的个数等于n r -，这里r 表示系数矩阵的秩。

例
123123123000
x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ （1） 解: 方程组的系数矩阵为A ，
111111A λλλ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
计算系数矩阵的行列式,
211
11(1)(2)11A λλλλλ
==--+
1λ=时，0A =方程组有非零解，
111111111000111000A ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2λ=-时，
21
1101121011112000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
综上可得，当1λ=时，()1R A =,此时方程组有两个非零解。

此时方程组可化简为
1230x x x ++= （2） 方程组(1)与(2)同解，且为
132330x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩和12223
x x x x x =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩ 由于12110,110αα--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
两个向量组线性无关，故为方程组的基础解系，令X 表
示方程组的通解。

因此，方程组的通解为1122,X k k αα=+ 其中.k R ∈ 当2λ=-时，()R A ＝2,此时方程组有一个非零的解 方程组化简为
13230
0x x x x -=⎧⎨
-+=⎩ （3） 方程组(1)与方程组(3)同解
13233
3x x x x x x
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩ 由于111α⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
线性无关，故而可以作为方程组的一个基础解系， 所以，此方程组的通解为,X k α= 其中.k R ∈
当1λ≠且2λ≠-时，0A ≠,此时方程组只有零解。

(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用
通过以上对矩阵秩的相关定理和结论的证明，我们还将矩阵的秩推广到解析几何中，来判断空间几何中两条直线的位置关系。

主要用直线的方程构造方程组，运用上面介绍矩和方程组的关系，分析方程组系数矩阵与它的增广矩阵的秩的情况，就能够确定方程组的解的情况，进而判断空间中两条直线的位置关系，下面详细阐述有关解法。

给定以下两条直线的方程
111112222
0:0a x b y c z d L a x b y c z d +++=⎧⎨+++=⎩ ；
3
333244440
:0
a x
b y
c z
d L a x b y c z d +++=⎧⎨+++=⎩ ； 那么这两条直线之间的位置关系取决于方程组
11112222
333344440000
a x
b y
c z
d a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d +++=⎧⎪+++=⎪⎨
+++=⎪⎪+++=⎩ 解的情况，那么由上面结果我们可以知道，此方程组解的情况又由其系数矩阵的秩与其增广矩阵的秩决定。

各个方程都表示着一个平面，那么线性方程组则表示这两个平面的交线。

因此有2()3,2()4R A R B ≤≤≤≤
,A B 分别表示该方程组的系数矩阵和它的增广矩阵。

当()()R A R B =时，那么该方程组有解，即说明两条直线存在交点。

特别地，若()()2R A R B ==，此方程组的解是无穷多的，即代表两直线完全一样。

当()()3R A R B ==时,此时方程组的解仅有一个，代表两条直线相交。

当()()R A R B ≠此时方程组无解，那么两条直线没有交点。

在空间几何里，这两条直线为平行或者异面。

(四)矩阵的秩在特征值方面的应用
矩阵的秩与特征值之间的关系讨论中，着重研究特殊情况，即当矩阵的秩为1的时候时，特征值得取值如何。

引理错误!未定义书签。

：设()ij A a =是3阶矩阵，那么它的特征多项式为
32112233()E A a a a s A λλλλ-=-+++-，其中
111322
231112313332
332122a a a a a a s a a a a a a ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，特别地，若秩()1R A =，那么特征多项式为
3
22
(
)()ii ii E A a a λλλλλ-=-=-∑∑，则矩阵A 的特征值是
3
3121
,0ii i a λλλ====∑
例: 根据矩阵的秩求下列行列式的值。

x z z z z z x z z z z
z x z z
z z z x z z
z
z
z
x
解
0000000000000
0000x z
z z z z z z z z x z z x z z z z z z z z x z z z x z z z z z z z x z z
z
z
x z z
z z
z z x z
z z z z x z z z z z x z ---=
+--
(1) (2)
从上易直观看出，矩阵(1)的秩是1,因此其特征值是123,n nz λλλλ====。

矩阵(2)的秩为n,因此其特征值为12n x z λλλ====-。

所以，原矩阵的特征值为12,n nz x z x z λλλ=+-===-。

综上可得
x z z z z z x z z z z
z x z z
z z z x z z
z
z
z
x
＝112
()()n n nz x z x z λλλ-=+--
(五)矩阵的秩在其他方面的应用
1.矩阵的秩在多项式方面的应用
矩阵的秩在多项式中的应用,主要体现在互素的多项式中，通过运用多项式互素的有关性质，确定多项式秩之间的数量关系来解题。

(1).(),()f x g x 是多项式，且次数均大于1,若(),()f x g x 互素，且()()0f x g x =，则(())(())R f A R g A n +=。

(2).设()[],1,2,3i f x P x i m ∈=,()n A M P ∈，若()()()12,,...,m f x f x f x 互素,且
()()()12...0m f A f A f A =, 则()()()()()()()12...1m n r f A r f A r f A m n ≤+++≤-。

(3).设()[],1,2,3i f x P x i m ∈=,()n A M P ∈，若()()()12,,...,m f x f x f x 两
两互素，()()0i i f A f A =，,,1,2,
i j i j m ≠=则()()()()()()12...m R f A R f A R f A n
+++=。

2.矩阵的秩判定二次型正定问题
设二次型1,2(,)T n f x x x x Ax =,其中T A A =,可以有以下结论:
(1).()f x 的正惯性指数与秩都等于n ⇔正定。

(2).()f x 的负惯性指数与秩都等于n ⇔正定。

(3).()f x 的正惯性指数与秩相等⇔半正定。

例：设A 是n 阶半正定矩阵，B 为n 阶正定矩阵，证明A B B +≥，等号成立当并且只当0A =。

证： 由题目知A B +正定，()A B B +-半正定，B 正定，由矩阵的正定的结论知
A B B +≥。

当0A =时，A B B +=,
当0A ≠时，秩1A ≥，B 正定， 所以必有实可逆矩阵P ，有 'P BP E =
''()P A B P P AP E C E +=+=+
其中'C P AP =，所以秩 1C ≥
设C n 个特征值为1,,n λλ，而秩1C ≥，由C 半正定，因此最少有个0i λ>，不妨设10λ>。

那么C E +的n 个特征值为11,,1n λλ++， 故有2
1(1)(1)n C E P A B λλ+=++=•+
所以2
1A B P
+>
，故2
1B P
=，即证得A B B +>。

3．用矩阵的秩解决线性空间问题
在n 维线性空间里，n 个线性无关的向量12,,,n εεε称为空间一组基，设α为任一向量，那么α=1122n n a a a εεε+++，其中系数是唯一的，这组数即为α在一组基下的坐标，可以看出线性空间的维数和它的一组基中含有的向量是相等的。

这样就把解决维数问题简化成分析向量的个数问题，就是来分析向量组的秩。

参考文献：
[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 编 王萼芳,石生明 修订 高等代数-3版. [M]北京:高等教育出版社，2003，9。

[2] 黄光谷,黄东,李杨,蔡晓英 编 高等代数辅导与习题解答[M]华中科技大学出版社， 2005，3。

[3] 周泰文,王家宝,贺伟奇 编 线性代数全程导学 湖南科学技术出版社 ，2002，11。

[4] 陈志杰 编 高等代数与解析几何(上册) [M] 北京：高等教育出版社，2008.12。

[5] 冯锡刚 编 解析几何中矩阵秩的应用[J] 教学管理与研究社，
[6] 邹晓光 编 互素多项式与矩阵的秩的一个简单结论及其应用[J] 金华职业技术学院学报， 2006年第6卷第1期。