用活力舞动生命,让课堂焕发活力

用活力舞动生命，让课堂焕发活力

发表时间：2012-06-28T15:25:54.653Z 来源：《中小学教育》2012年9月总第110期供稿作者：郭冰

[导读] 说明：解题时要充分利用全等三角形的性质，排除不必要的干扰，直接切入问题的本质。

——新课标下全等三角形的学习

郭冰广东省东莞市望牛墩中学523200

摘要：全等三角形是学生学习的重点、难点，也是中考的考点，本文归纳概括了它在学习整个平面几何中的重要意义，并说明了学习中遇到的问题，试图找出相应的解决途径。

关键词：教育价值难点策略

全等三角形是平面几何中的经典教学内容，对这一内容，我们应该做一番理性思考，重新认识其教育价值。

一、全等三角形是平面几何教学的基础知识

全等三角形包含丰富的基础知识，其性质和判定是研究三角形、四边形的性质和判定以及线段的垂直平分线等内容的基本方法，判定两个三角形全等是解三角形的早期准备，又为解斜三角形有非唯一解的讨论奠定了基础。全等三角形是相似三角形的特殊情况，成为相似三角形判定的重要基础。

二、全等三角形是学习几何证明的最好素材

学习平面几何是培养逻辑思维能力，而几何证明又是培养逻辑思维能力的基本途径。几何证明的必要性、证明思路的灵活性、书写格式的规范化都是初学几何证明难以把握的，然而，若以全等三角形作为素材，便于学生模仿。这是因为，判定两个三角形全等，条件明确，思路单一，书写规范，有章可循，等证明套路熟悉以后，可增强证明的灵活性。

三、全等三角形是几何变换思想的丰富资源

两个三角形全等，实质是其中一个三角形在合同变换（保距和保角）下变成另一个三角形，对一般三角形全等的四种判定方法的理解和掌握，是通过大量变式练习来实现的，包括平移、对称、旋转三种基本变换或它们的组合，在这些基础上总结，可提升几何变换知识，思路顺畅自然。

四、全等三角形是培养学生几何直观的特殊内容

几何是以培养学生的逻辑思维能力为重点，但几何证明的过程往往是在逻辑的指导下运用直观，又在直观的引导下演绎逻辑的过程。我们在分析某一几何证明时，总是运用平面图形的直观效果，先猜想再从已知找判定方法。三角形是最基本的几何图形，具有稳定性，既包含最基本的线段和角，又是研究四边形、多边形的基本单位，具有很好的直观效果。

既然全等三角形的内容如此重要，那么学生在学习全等三角形的内容时，遇到的难点主要有哪些，又该如何解决呢?

1.对定义、性质、判定方法等概念理解不透，特别是重点词“对应”

透彻理解基本概念是学好、用好全等三角形的前提条件，全等的符号是≌,∽代表形状相同，=代表大小相等，这有利于跟后面的相似∽相互联系、区别。性质中“对应边，对应角”相等，就要求书写两个三角形全等时要把对应顶点写在对应位置上，这有利于从中找到对应边、对应角来利用相关性质或者找条件（已知、未知）来证明两个三角形全等。判定方法有四个公理和一个推论（SSS,AAS,SAS,ASA,HL），其适用性有所不同，要特别注意没有SSA、AAA的判定方法并理解缘由。

例1、已知：如图(1)，△ABC≌△DAC,则∠B的对应角是＿＿＿＿。

分析：从图(1)中容易看出∠B的对应角为∠D，但从全等三角形对应顶点写在对应位置来看应为∠DAC，而不是∠D。

说明：在全等三角形的对应边、对应角方面有这样一些规律：全等三角形对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角，两对应边所夹的角是对应角，两对应角所夹的边是对应边，有公共边（角）的是对应边（角），对顶角是对应角，两个全等三角形中最长边（最大角）是对应边（角）。全等三角形的四个判定公理和一个推论都强调了边、角的“对应”相等，“对应”两个字举足轻重，切不可粗心大意。因此在应用两个三角形全等时，一定要把对应顶点写在对应位置上。

2.判定方法的运用，探索思路不够灵活，隐含条件挖掘不深

对于全等三角形的判定有SSS、AAS、SAS、ASA、HL，实际应用时可以把已知条件写成类似的字母表示，在所写的字母前后、中间添加另一字母构成判定方法中的某一种，最后从题中找出关键条件（或直接，或间接），以构成可行的判定法则，从而解决问题。

总结为：已知需找

例2、如图(2)，AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB，垂足为E、F,AE=BF。证明：∠A=∠B。

分析：欲证∠A=∠B，需证△ADF≌△BCE。由已知CE⊥AB、DF⊥AB，得△ADF和△BCE都是直角三角形，利用直角三角形的判定法则，由斜边AD=BC，只需找另一直角边相等即可。又由AE=BF,知AE+EF=BF+EF,即AF=BE，所以Rt△ADF≌Rt△BCE，原题得证。

说明：探索三角形全等的条件时，要仔细观察图形，善于挖掘隐含条件，如公共边、公共角、对顶角以及等线段加（减）同线段或等线段的和（差）相等……

3.遇到综合难题，不知如何构造全等三角形

例３、如图(3)，在△ABC中，∠BAC=90°, AC=AB, BD是AC边上的中线，AE⊥BD交BD于F，延长AF交BC于E。求证：

∠ADF=∠CDE。

分析：（证法一）因结论中的两个角分属的两个三角形不全等，故需作辅助线。因为∠BAC=90°,AE⊥BD，则有∠ABD=∠DAF。又AB=AC，故可以∠DAF为一内角、以AC为一直角边构造一个与△ABD全等的直角三角形。为此，过C作CG⊥AC交AE的延长线于G，得到△ABD≌△CAG，从而∠ADB=∠AGC。对照结论，需证△CGE≌△CDE。由CG=AD=CD，∠ECG=∠ECD=45°,CE=CE，结论成立，证明从

略。

（证法二）如图(4),△ABC为等腰直角三角形，出现了45°，也可以从这个角度出发，作∠BAC的平分线AG交BD于G，由∠A =90°，AE⊥BD,知∠ABD=∠DAF；由AC=AB, 知∠C=∠BAG=45°，故△ABG≌△CAE，从而AG=CE。又由AD=CD, ∠DAG=∠C=45°,得

△GAD≌△EBD，故∠ADG=∠BDE，原题得证。

4.实际应用能力不强

搞清了全等三角形的证明思路后，还要注意一些解题方法和技巧，并且要重视实际应用问题。常用的思想方法有构造思想、转化思想、数形结合思想及建模思想。

例4、如图(5)是某城市部分街道示意图：AB=BC=AC，CD=CE=DE，A、B、C、D、E、F、G、H为公共汽车停靠站点。公共汽车甲从A站出发，按照A→H→G→D→E→C→F的顺序到达F站；公共汽车乙从B站出发，按照B→F→H→E→D→C→G的顺序到达G站。如果甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，在各站点停靠的时间相同，两车的行驶速度也一样，试问：哪一辆公共汽车先到达指定站点？为什

么？

分析：本题是一道有实际背景、结合学生比较熟悉的生活实际而创设的情境性题目，思考方法是分别将甲、乙两公共汽车所行使的路程用图中的线段表示出来并加以比较，从而发现问题的本质。甲公共汽车的行程为AD+DE+EC+CF，乙公共汽车的行程为