一阶线性电路暂态分析的三要素法

当t = 时， uC = 36.8% U uC uC 从初始值按指数规律衰减 快慢由 = R C 决定。 t

同理可推导： iL零输入响应表达式：
iL iL (0 ) e
t
t 0
零输入响应曲线 i I0
时间常数 =L/R
0.368I0 0
i

电路中 uR和uL可根据电阻和电感元件两端的电压电流 关系确定。
5k
C +u C 1 F
6 6mA
6
1H
10 uC ( ) 5 55 5V
6 i L ( ) 6 66 3 mA
(2) 初始值f (0 ) 的计算
uC (0 )、i L (0 ) 1) 由t=0-等效电路求
2) 根据换路定则求出 独立初始值
先画换路前t=0-稳态等效电路 再画换路后t=0+时刻等效电路
2. 零输入响应
放电释能过程。
换路前动态元件已储存能量，换路时，无电源激励，输 入信号为零 。由初始储能引起的的电路响应。 3. 全响应 指电源激励和动态元件的初始储能引起的均不为零时的 电路响应。 即：是零状态响应与零输入响应两者的叠加。
电路的暂态分析
若S在2位置时，在t=0时将开关S合到1的位置。
介绍：用“三要素法”分析暂态过程。
直流一阶电路暂态过程的求解方法：
一阶电路： 描述电路的方程是一阶微分方程，仅含一个储能元件或可 等效为一个储能元件的线性电路。 求解方法： 1. 经典法:根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的 微分方程得出电路的响应(电压和电流)。 初始值 2. 三要素法 求： 稳态值 时间常数
) (t 0)
(t 0)
暂态分量
t
U (U0
稳态值 稳态分量
初始值
f ( t ) f ( ) [ f (0 ) f ( )] e

【结论2】 全响应 = 稳态分量 +暂态分量
三要素法
含源 电阻 网络
动 态 元 件
R0
US
=RC =GL
C
uC (t )
IS
iL (t )
uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
3) 画t=0+时等效电阻电路，求所需非独立初始 u( 0 )或 i (0 ) 值量 注意： 在换路瞬间 t =(0+) 的等效电路中： (1) 若 uC (0 ) U 0 0 ， 电容元件用恒压源代替， 其值等于 U ; 若 u (0 ) 0 ， 电容元件视为短路。
第一章 电路及其分析方法
【例3.1】设：开关S闭合前L元件和C元件均未储能。 试：确定S闭合后电路中各电流与电压的初始值。 S R1 i R3 解：由t=0-的电路得： R2 i 2 + L uC(0-)=0 iC t =0 4 U 4 + + iL(0-) =0 6V u — L
C
由换路定则得： 独立初始值
电路中 uR和uL可根据电阻和电感元件两端的电压电流 伏安特性关系确定。
暂态时间：
uC 0 电路达稳态。 t 、 工程上认为 t (3 ~ 5) ~uC 0 电容放电基本结束。
理论上认为
t
e 随时间而衰减
t
uC
e

t

1 e
2
3
4
5
6
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
y(t ) y(0 )e

t

2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC ,
t

【三要素法】
对于任何形式的直流一阶电路，求解暂态过程中任一电压、 电流的响应 通用表达式： f (，可用 t)
f ( t ) f ( ) [ f (0 ) f ( )] e
稳态值 稳态值
t

初始值
时间常数
在求得 f(0+)、f()和 的基础上,可直接写出 电路的响应(电压或电流) f ( t )
-
t
0
零状态响应曲线
t
[小结]
1）直流一阶电路的零状态响应中，所有支路电压、电流均 从初始值开始按相同的指数规律变化，最后达稳态值。
2）达稳态值的快慢取决于时间常数。（ =RC 或=GL） 3）当直流动态电路达到稳定状态时，电容相当于开路,电感相 当于短路。其等效电路为电阻性电路。 4）零状态线性：当输入增大倍，其零状态响应也增大倍。
0
C

(2) 若
iL (0 ) I0 0, 电感元件用恒流源代替 ，
其值等于I0 ,
若i L (0 ) 0, 电感元件视为开路。
（三要素）
第3章 电路的暂态分析
3.1 储能元件和换路定则
3.2 一阶线性电路暂态分析的三要素法
3.1 储能元件和换路定则
动态元件:是指在电容元件和电感元件的电压和电流约束关系 是通过导数或积分来表达的。 稳态：是指电路的结构和参数一定时，电路中电压、电流恒定 或周期性变化。
换路发生很长时间后重新达到稳态。 换路：指电路接通、断开或结构和参数发生变化。 暂态：电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态所经过的过渡 状态。
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
t t uC U 0e RC U (1 e RC )
(t 0)
【结论1】 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
零输入响应 零状态响应
全响应
uC U0
t e RC
t U ( 1 e RC
t U )e RC
－
C
uL
—
uC(0+)=0 iL (0+) =0
电容元件短路。 电感元件开路
t=0-
则：画出t=0+时的等效电路
第一章 电路及其分析方法 由t=0+的等效电阻电路 求出各独立初始值 +
—
R1
2
i (0+)
iC (0+)
U
6V
R2 i L 4 (0+) + + uC(0+) uL(0+) — — t=0+
第 3章
电路的暂态分析
第一章 讨论电路的基本概念和基本定律 。
如：电路模型、电压和电流的参考方向、基尔霍夫定律、 电源的工作状态及电路中电位的计算等。这些内容是分析与 计算电路的基础。
第二章 介绍几种常用的电路分析方法。
有：支路电流法、节点电位法、实际电源模型的等效变 换、叠加原理、和戴维宁定理。
第三章 讨论直流一阶电路的暂态分析。
R0
L
uC(0 +) iL(0 +)
uC( ) iL( )
状态变量的三要素
设：动态电路中任一支路电压(或电流)为f (t) 则：f (0+) ——待求响应的初始值 f () ——待求响应的稳态值 任意变量f (t )的三要素
——待求响应的时间常数
可以证明：f (t )完全由此三要素决定。 即： f ( t ) f ( ) [ f ( 0 ) f ( )] e
y(t ) y(0 )e

t

二、零输入响应
放电过程 2 t 0 R + uR– S 换路前电路已处于稳态 1 + + uC U iC – u (0 ) U
1. RC 电路零输入响应
C
c
u ( 0 ) U C , 电容 C 经电阻 R 放电 t =0时开关S 1
列 KVL方程：
先讨论暂态过程产生的原因---动态元件、换路定律。
后讨论暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。
3.1 储能元件和换路定则
含有储能元件的电路，在换路瞬间储能元件的能量 不能跃变，即： 电容元件的储能 电感元件的储能
WC 1 2 CuC 2
不能跃变
WL
1 2 LiL 2
不能跃变
换路瞬间：设为 t=0。 换路前终了瞬间：以 t=0–表示。 换路后初始瞬间：以 t=0+表示。 在直流电路换路瞬间，电容电压保持不变，电感电流保持不变。 换路定则： iL(0+)= iL(0–) uC(0+)= uC(0–) 状态变量 iL、uC 独立初始值 iL(0+)、uC(0+)
uC
零状态响应曲线
uc U (1 e1 ) 0.632 U
t
是电压uc增长到稳态值U的63.2％所需的时间。
2.RL 电路的零状态响应 根据KVL t0时电路微分方程为:
di U Ri L dt
1 S
+
i
+
t=0 2
R L
U–
– +
uR
–
uL
通解=特解 +补函数 推导整理得： τ时间常数--S uC零状态响应表达式：
三要素法求解暂态过程的要点
1) 求初始值、稳态值、时间常数； 2) 将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式； 3) 画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。
【例】
终点
f ( t)
f ( )
f (0 )
O

起点

0.632 [ f () f (0 )] f (0 )
t
响应中“三要素”的确定 (1)稳态值 f ( )的计算
Ae pt 形式为： uC
推导整理得：
uC零状态响Βιβλιοθήκη Baidu表达式：
t
1 S
稳态+暂态
i + R uR – + C uC –
t=0 2 +τ时间常数 --S U –
t
uc U Ue

U (1 e )

τ物理意义:
当t =τ时
决定电路暂态过程变化的快慢。 0.632U
u U 0
RL电路
= L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
4. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
3.全响应
全响应: 电源激励和储能元件的初始能量 1 均不为零时，电路中的响应。 t=0
S 2 R1
1. uC 的变化规律 根据叠加定理：
+ U1 –
+ U2 –
C
+ uC –
R3
U 6 i (0 ) ic (0 ) A 1A R1 R2 24
uL (0) R2iC (0 ) 4 1 V 4V
3.2 电路的暂态分析
1. 零状态响应
充电储能过程。
换路前动态元件未储存能量 ，即uc（0-）=0或iL(0-)=0 ， 换路时，由电源激励所产生的电路响应。
1 S + – t=0 2
+ R u –R + L uL –
i
U
若S在1位置时，在t=0时将开关S合到2的位置。 电感初始储能为零，电路响应仅由外加电源引起，为RL电 路的零状态响应。 电路中外加激励为零，电路的响应是由电感的初始储能 引起的，故为RL电路的零输入响应。
一、零状态响应
设:S在2位置时C已放电完毕，在t=0时将开关S合到1的位置。 ⒈RC电路零状态响应
求换路后稳态电路中的电压和电流 。即求解直流电阻 性电路中的电压和电流。 【i c()=0、 u L()=0】 画换路后t=的等效电路（电容C 视为开路,电感L视为短路）。 在t= 的等效电路中，利用两类约束求各稳态值。 i 例： t=0 S 5k L 3 S t =0
+ 10V -
U iL (1 e ) R t
L R
稳态+暂态
iL零状态响应表达式：
U iL (1 e ) R t
1 S + U –
t=0
i 2
+ R uR – + L uL –
i 此时，通过电感的电流iL由初始值I0向稳态值零衰减，其随 U 时间变化表达式为： R i
i I 0e
根据KVL
充电储能过程 S 1
t=0 2
i + R uR – + C uC –
t
≥ 0时电路的微分方程为： +
duC U Ri uC RC uC dt
–
U
+补函数 uC 通解=特解 uC
特解取换路后的稳态值，即 uC uC ( ) U
duC uC 0 的通解 补函数是齐次微分方程 Rc dt
t
当t= 时，iL=36.8%I0 。
U i (1 e ) R 零状态响应曲线

t
i U R 0.632U/R
时间常数 =L/R 0
i I 0e 零输入响应曲线 i
I0 0.368I0 i
t
i
t
0
时间常数 =L/R

t
当t=时，uC=63.2%U。
当t= 时，uC=36.8%U0 。
uR uC 0
duC C C dt duC RC uC 0 dt
一阶线性常系数 齐次微分方程
uR R
代入上式得
推导整理得： uC零输入响应表达式：
t RC
t
uC U e

uC (0 ) e

t 0
零输入响应曲线 u
U 0.368U 0
时间常数 =RC