高三数学一轮复习 椭圆知识点总结

高三数学一轮复习

椭圆部分知识点总结

一、定义

平面内到两定点1F 、2F 的距离之和等于常数2a （122a F F >）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距()122F F c =.

（1）()22

2210x y a b a b

+=>>中,a x a b y b -≤≤-≤≤.（2）()22

2210y x a b a b

+=>>中,b x b a y a -≤≤-≤≤.2.对称性

()222210x y a b a b +=>>和()22

2210y x a b a b

+=>>都关于x 轴对称、y 轴对称、原点对称.其中原点也成为椭圆的对称中心.

3.顶点

椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>中，顶点为长轴的左右端点()1,0A a -、()2,0A a 和短轴的两个端点()10,B b -和()20,B b .其中12A A 叫做椭圆的长轴、12B B 叫做椭圆的短轴.椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b .

4.离心率椭圆的离心率c e a

=,01e <<.并且0e →时椭圆越圆，1e →时椭圆越扁.圆的离心率0e =.

（3）椭圆焦点三角形中，利用椭圆定义和余弦定理求12PF PF ⋅，进而求焦点三角形的面积.

六、.椭圆第二定义（课外知识补充）

平面内到定点距离与定直线距离比值等于常数()01e e <<的点的轨迹为椭圆.其中定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的一条准线，常数e 为椭圆的离心率.

由椭圆第二定义可推出以下结论：

（1）椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a c +，最小值为a c -（在长轴端点处取得）.

（2）椭圆上的点到原点距离的最大值为a ，最小值为b （在长轴与短轴端点处取得）.

（3）椭圆短轴的一个端点与长轴的两端点所成角，是椭圆上所有点与长轴两端点所成角中的最大角.

（4）椭圆短轴的一个端点与椭圆两焦点所成角，是椭圆上所有点与两焦点所成角中的最大角.

七、.直线与椭圆位置关系的常规解决方法

联立直线与椭圆方程构成的方程组，消元化简，然后利用韦达定理解决相关问题.

八、弦长公式

.1212

线有两焦点，否则此等式无意义.

2.联立方程组法

通过联立直线与椭圆（双曲线）的方程组得到一元二次方程后，利用韦达定理（即根与系数关系）求解。口诀：遇到弦中点，两式减一减；若要求弦长，韦达来帮忙.

十一、椭圆相关的二级结论

1.若()00,P x y 在椭圆22221x y a b

+=上,则椭圆上过()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=.

2.若()00,P x y 在椭圆22221x y a b

+=外，则过点()00,P x y 作椭圆的两条切线，设切点分别为1P 、2P ，则切点弦12P P 所在的直线方程为00221x x y y a b

+=.3.若()00,P x y 在椭圆22221x y a b

+=内，则过点P 作椭圆的弦，这些弦的中点的轨迹方程为22002222x x y y x y a b a b

+=+.2222x y a b