1-3.3(矩阵可逆的充要条件)
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否则 B最后一行元均为零, BX=O有非零解, 矛盾! 于是B可经一系列初等行变换化为行简化阶梯形I
§1.3 逆矩阵
1. 2. 3. 4. 3→4:
A是可逆的； AX = O只有零解； A与I 行等价； A可表为有限个初等矩阵的乘积. 由条件，A可经行初等变换得I. 故存在初等矩阵 E1 ,..., Ek 使得
§1.3 逆矩阵
Ek E1 A I
A E11 Ek 1I E11 Ek 1
4→: 显然(why?)
§1.3 逆矩阵
推论 设A为n阶矩阵，则AX = b有唯一解的充要条件 是A可逆. 证 充分性: A可逆，则AX=b有唯一解 X A1b 必要性: 反证 设AX = b有唯一解X0 , 但A不可逆. A不可逆 AX = 0有非零解Z. 令Y=X0+Z, 则Y为AX = b的解，矛盾! [结束]
三. 矩阵可逆的充要条件
定理2 设A为n阶矩阵，则如下命题等价: 1. A是可逆的； 2. AX = O只有零解； 3. A与I 行等价； 4. A可表为有限个初等矩阵的乘积. 证 1→2: 2→3: 显然(why?) 设A经一系列初等行变换化为行阶梯形B 断言: B的对角元均非零
则BX = 0只有零解.