矩阵的秩在线性代数中的应用

为,0 1 0 0 0 0T 而导出组的基础解系为
0
0
2
0
1
1
,
2
0
,故原方程组的通解为
0
k1 2
k2 2
.
0
3
0
1
6.矩阵的秩在向量组的线性相关性问题中的应用
7. 用矩阵的秩判定二次型正定问题
设二次型
，其中
的正惯性指数与秩都等于
正定
的负惯性指数与秩都等于 正定
的正惯性指数与秩相等 半正定
2
2
4.矩阵的秩在判断线性方程组是否有解中的应用
线性方程组包括其次线性方程组和非其次线性方程组.
a11 a12 a1n
a11
a12
a1n
1.令 A
a21
a22 Βιβλιοθήκη am1 am2 a2n
,
amn
，则其次线性方程组，只有 1
a21
,2
a22
,
n
a2n
am1
c1r
c2r
c11c22c33
crr
0
crr
即，r(B) r .
例 求矩阵A的秩
1 0 2
1
0
A
7 0 2
1 5 1
14 1 1
7 4 10
1
6 2
1 0 2 1 0 1 0 2 1 0
解
A
0
0 0
1 5 1
0 1 3
0 4 12
1
6 2
0 0 0
1 0 0
0 1 3
am2
amn
零解r(A)=n
a11x1 a12x2 a1n xn 0
2.齐次线性方程组
a21x1
a22 x2
a2n xn
0，有非零解（或无穷多个解）
am1x1 am2x2 amnxn 0
r(A) n
a11 a12
3.令 A
a21
a22
am1 am2
例：求线性方程组2x1 x2 2x3 2x4 6x5 2 的通解.
3x1 2x2 4x3 3x4 9x5 3
解：对增广矩阵 k1, k2, k3, ks 施行初等行变换
1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1
A 2 1 2 2 6 3 0 3 6 0 0 0
3 2 4 3 9 3 0 1 2 6 18 0
0 4 12
1 13
1 0 2 1 0
0 0
1 0
0 1
0 4
1 1
0 0 0 0 0
因此r(A) 3 .
3.矩阵的秩在讨论方阵是否可逆中的作用
定理1： 设 A 为n阶方阵，若A 可逆，当且仅当r(A) n.
1 2 3 4
例:判断方阵
A
2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6 7
介绍一种难度比较小的方法来求矩阵的秩，把任意一个矩 阵A变为阶梯型的矩阵.
c11
c12
0 c22
B 0 0
0
0
0
0
c1r c2 r
crr 0
0
c1n
c2n
crn
0
0
其中，cii 0 ，i 1,2,3, ,r ，r(B) r(C) .C 的左上角r 阶子式
c11 c12 0 c22 0 0
a1n
a2n
,
amn
a11 a12 a1n b1
1
a21
,2
a22
,n
a2n
,
b
b2
am1 am2 amn bm
则非其次线性方程
a11x1 a12x2 a1nxn b1
组 a21x1 a22x2 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
，我们有以下结论
正负惯性指数即二次型的标准形中系数为正负的个数
小结
矩阵的秩作为线性代数的重要工具，已经渗透到 各章内容之中，它把线性代数各章节贯穿成为一个整 体，而矩阵的秩贯穿于矩阵理论的始终，是矩阵的一 个本质的属性，在判求方程组是否有解以及解的结构 、判定向量组的线性相关性、判断方阵是否可逆，用 矩阵的秩来求伴随矩阵的秩、矩阵的秩在二次型问题 中的应用。文章利用矩阵的秩的相关定理及结论，总 结了矩阵的秩在线性代数中的应用.
1.矩阵秩的定义及性质
定义:
一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这 个向量组的秩。所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩， 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。矩阵的行秩等于矩 阵的列秩，并统称为矩阵的秩。另外矩阵的秩等于它的不 为零的子式的最高阶数，这是矩阵的秩的行列式定义。
2.矩阵秩的计算
1 1 2 1 0 3 6 0
3 1 1 1 2 1 0 0 0 1 2 0
3 1 0 0
0 0 0 6 18 0 0 0 0 6 18 0
1 0 0 1 3 1 1 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0
0
0
0
1
3
0
0
0
0
1 3 0
因为r(A) r(A~) 3 5 ，故方程组有无穷多个解，取方程组的一个特解
是否可逆.
解：
1 2 3 4 1 2 3 4
A
2 3
3 4
4 5
5 6
0 0
1 2
2 4
3 6
4 5 6 7 0 3 6 9
1 2 3 4
0 0 0
1 0 0
2 0 0
3
2 0
0
2
不
2 2 这个阶梯形矩阵有 4 个非零行，故 r(A) 4 .所以矩阵 A 是可逆的.
有解 r(A) r(A )
a11x1 a12x2 a1n xn b1
4非其次线性方程组a21x1
a22
x2
a2n xn
b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
无解
r( A) r( A)
5.秩在研究线性方程组解的结构时的应用
x1 x2 2x3 x4 3x5 1