电路分析基础第7章
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7-5
图7-4 磁通相助同名端标定示意图
图7-5 磁通相助电路模型
2．同名端的实验判定方法 (1)直流法。如图7-6(a)所示，给线圈L1的两个端钮1和2 之间接直流电压源，线圈L2的两个端钮3和4之间接直流检流 计G。当开关S闭合瞬间检流计G正向偏转(右偏)，则1和3为 同名端；若检流计G反向偏转，则1和4 (2)交流法。如图7-6(b)所示，给线圈L1的两个端钮1和2 之间接交流电压源u(t)，用万用表分别测量各接线端的电压 (有效值)U12、U13和U34，若U12=│U13－U34│，则1和3为同名 端；若U12=U13+U34，则1和4
设有相邻放置的两个电感线圈L1、L2，如图7-1所示， 匝数分别为N1和N2，通过的交变电流分别为i1和i2。i1在线圈 L1中产生的自磁通为Φ11，则线圈L1的自磁通链Ψ11=N1Φ11， 同时Φ11的一部分通过线圈L2，称为互磁通Φ21，则线圈L1与 线圈L2的互磁通链Ψ21=N2Φ21。同理有i2在线圈L2中产生的自 磁通为Φ22，自磁通链Ψ22=N2Φ22，与线圈L1的互磁通为Φ12， 互磁通链Ψ12=N1Φ12
L2
di2 dt
M
di1 dt
u'2 u"2
(7-6b)
所以，当两耦合线圈的自磁通与互磁通相消时，线圈电
压等于自感电压u′与互感电压u″
7.1.2 综上所述，耦合电感线圈上的电压等于自感电压与互感
电压的代数和。在上述内容中，分析电压、电流关系时，给 定了两个条件：①规定了电压与电流的参考方向关联；②已 知线圈的绕向，通过安培定则确定磁通的方向。但是在工程 实践中，线圈的绕制方向从外观上无法看出；且无法画出耦 合电感线圈电路模型，很不方便。所以，为了表示线圈的相 对绕向以确定互感电压的极性，常采用标记同名端的方法。
1 如图7-4(a)所示，i1与u1、i2与u2参考方向关联，两个电 感线圈L1、L2磁通相助，所产生的磁通是相互增强的，那么， 两电流同时流入(或流出)的端钮a和c就是同名端，用标记“·” 或“*”表示。当电感线圈L2的绕制方向发生变化时，要使 两线圈的磁通相助，则电压、电流方向应如图7-4(b)所示。 根据上述分析，同名端的定义为自感电压与互感电压极 性相同的端钮。因此，可将图7-4所示的耦合电感线圈用图
对于电感L2，有
u2
d2
dt
L2
di2 dt
M
di1 dt
u'2 u"2
(7-5a) (7-5b)
式(7-5)中第一项是由自感产生的自感电压，第二项是由 耦合产生的互感电压。即两耦合线圈的自磁通与互磁通相助 时，线圈电压等于自感电压u′与互感电压u″
同理，当两耦合线圈的自磁通与互磁通方向相反时，即 在L1中，自磁通Φ11与互磁通Φ12方向相反，则称为磁通相消； 在L2中，自磁通Φ22与互磁通Φ21方向相反，磁通也相消，如 图7-3所示。
图7-3 磁通相消电路图
对于电感L1 Ψ1=Ψ11－Ψ12=L1i1－Mi2
对于电感L2 Ψ2=Ψ22－Ψ21=L2i2－Mi1
如图7-3所示，设i1与u1、i2与u2参考方向关联，根据电
对于电感L1
u1
d1
dt
L1
di1 dt
M
di2 dt
u'1u"1
(7-6a)
对于电感L2，有
u2
d2
dt
第7章 互感与变压器
7.1 互感元件 7.2 互感线圈的串、并联 7.3 理想变压器 7.4 实际变压器 本章小结 阅读材料：涡流现象及其应用 实验11 单相铁芯变压器特性的测试
7.1 互感元件
7.1.1 1．互感的基本概念 两个相邻的载流线圈，当任一线圈中的电流发生变化时，
它所产生的变化磁场，将使位于它附近的另一线圈中的磁通 量发生变化，从而激发起感应电压。这种由一个线圈的交变 电流在另一个线圈中产生感应电压的现象叫做互感现象。由
11
i1
,
L2
22
i2
,M
21
i1
12
i2
对于电感L1
Ψ1=Ψ11+Ψ12=L1i1+Mi2
图7-2 磁通相助电路图
对于电感L2 Ψ2=Ψ22+Ψ21=L2i2+Mi1
如图7-2所示，设i1与u1、i2与u2参考方向关联，根据电
对于电感L1，有
u1
d1
dt
L1
di1 dt
M
di2 dt
u'1u"1
2.耦合电感线圈上的电压、电流关系
当两个耦合电感线圈上都有电流通过时，在L1中，若自 磁通Φ11与互磁通Φ12方向相同，则称为磁通相助；同理，在 L2中，若自磁通Φ22与互磁通Φ21方向相同，磁通也相助。即 两耦合线圈的自磁通与互磁通方向相同，如图7-2所示。
根据自感和互感的定义，有以下关系式
L1
图7-1 互感线圈示意图
我们定义Ψ21与i1的比值为L1对L2的互感系数，用M21 表示，定义Ψ12与i2的比值为L2对L1的互感系数，用M12表示， 即
M 21
21
i1Байду номын сангаас
N 2 21
i1
(7-1)
M 12
Φ12 i2
N112
i2
(7-2)
互感系数简称为互感，其单位与自感的单位相同，都是亨利 (H)，可以证明M21=M12，因此，我们用M表示M21和M12，M
线圈L1和L2在电的方面是相互独立的，它们的相互影响 是靠磁场相互联系起来，称为磁耦合。线圈L1中电流i1产生 的磁通与L2相交链的部分Φ21总是小于或等于产生的自磁通 Φ11，线圈L2中电流i2产生的磁通与L1相交链的部分Φ12总是 小于或等于产生的自磁通Φ22。即互磁通总是小于或等于自 磁通，若自磁通中的一部分不与另一线圈相交链，则该部分
为了表示两线圈耦合的紧密程度，引入了一个新的参 数——耦合系数，用字母k表示，定义为
k 2 1 12 1 1 2 2
(7-3)
由自感系数和互感系数的定义可得
L1
N1 1 1
i1
11
L1i1 N1
L2
N2 22
i2
22
L2i2 N2
M N112 N2 21
i2
i1
代入式(7-3)可得
k M L1L2
(7-4)
所以耦合系数为互感系数与两线圈自感系数几何平均值 的比值，是一个无量纲参数。理想情况下无漏磁通，Φ21 =Φ11，Φ12=Φ22，k=1。所以，一般有
k M 1 L1L2
耦合系数k的大小取决于两个线圈的相对位置及磁介质 的性质。如果两个线圈紧密地缠绕在一起，则k值接近于1； 若两线圈相距较远，或线圈的轴线相互垂直放置，则k值很 小甚至接近于零。当k=0时，说明两线圈之间没有耦合(相隔 很远或相互垂直放置甚至加上磁屏蔽)；当k=1时，说明两线 圈之间为全耦合(双线并绕，甚至放入铁芯)
图7-4 磁通相助同名端标定示意图
图7-5 磁通相助电路模型
2．同名端的实验判定方法 (1)直流法。如图7-6(a)所示，给线圈L1的两个端钮1和2 之间接直流电压源，线圈L2的两个端钮3和4之间接直流检流 计G。当开关S闭合瞬间检流计G正向偏转(右偏)，则1和3为 同名端；若检流计G反向偏转，则1和4 (2)交流法。如图7-6(b)所示，给线圈L1的两个端钮1和2 之间接交流电压源u(t)，用万用表分别测量各接线端的电压 (有效值)U12、U13和U34，若U12=│U13－U34│，则1和3为同名 端；若U12=U13+U34，则1和4
设有相邻放置的两个电感线圈L1、L2，如图7-1所示， 匝数分别为N1和N2，通过的交变电流分别为i1和i2。i1在线圈 L1中产生的自磁通为Φ11，则线圈L1的自磁通链Ψ11=N1Φ11， 同时Φ11的一部分通过线圈L2，称为互磁通Φ21，则线圈L1与 线圈L2的互磁通链Ψ21=N2Φ21。同理有i2在线圈L2中产生的自 磁通为Φ22，自磁通链Ψ22=N2Φ22，与线圈L1的互磁通为Φ12， 互磁通链Ψ12=N1Φ12
L2
di2 dt
M
di1 dt
u'2 u"2
(7-6b)
所以，当两耦合线圈的自磁通与互磁通相消时，线圈电
压等于自感电压u′与互感电压u″
7.1.2 综上所述，耦合电感线圈上的电压等于自感电压与互感
电压的代数和。在上述内容中，分析电压、电流关系时，给 定了两个条件：①规定了电压与电流的参考方向关联；②已 知线圈的绕向，通过安培定则确定磁通的方向。但是在工程 实践中，线圈的绕制方向从外观上无法看出；且无法画出耦 合电感线圈电路模型，很不方便。所以，为了表示线圈的相 对绕向以确定互感电压的极性，常采用标记同名端的方法。
1 如图7-4(a)所示，i1与u1、i2与u2参考方向关联，两个电 感线圈L1、L2磁通相助，所产生的磁通是相互增强的，那么， 两电流同时流入(或流出)的端钮a和c就是同名端，用标记“·” 或“*”表示。当电感线圈L2的绕制方向发生变化时，要使 两线圈的磁通相助，则电压、电流方向应如图7-4(b)所示。 根据上述分析，同名端的定义为自感电压与互感电压极 性相同的端钮。因此，可将图7-4所示的耦合电感线圈用图
对于电感L2，有
u2
d2
dt
L2
di2 dt
M
di1 dt
u'2 u"2
(7-5a) (7-5b)
式(7-5)中第一项是由自感产生的自感电压，第二项是由 耦合产生的互感电压。即两耦合线圈的自磁通与互磁通相助 时，线圈电压等于自感电压u′与互感电压u″
同理，当两耦合线圈的自磁通与互磁通方向相反时，即 在L1中，自磁通Φ11与互磁通Φ12方向相反，则称为磁通相消； 在L2中，自磁通Φ22与互磁通Φ21方向相反，磁通也相消，如 图7-3所示。
图7-3 磁通相消电路图
对于电感L1 Ψ1=Ψ11－Ψ12=L1i1－Mi2
对于电感L2 Ψ2=Ψ22－Ψ21=L2i2－Mi1
如图7-3所示，设i1与u1、i2与u2参考方向关联，根据电
对于电感L1
u1
d1
dt
L1
di1 dt
M
di2 dt
u'1u"1
(7-6a)
对于电感L2，有
u2
d2
dt
第7章 互感与变压器
7.1 互感元件 7.2 互感线圈的串、并联 7.3 理想变压器 7.4 实际变压器 本章小结 阅读材料：涡流现象及其应用 实验11 单相铁芯变压器特性的测试
7.1 互感元件
7.1.1 1．互感的基本概念 两个相邻的载流线圈，当任一线圈中的电流发生变化时，
它所产生的变化磁场，将使位于它附近的另一线圈中的磁通 量发生变化，从而激发起感应电压。这种由一个线圈的交变 电流在另一个线圈中产生感应电压的现象叫做互感现象。由
11
i1
,
L2
22
i2
,M
21
i1
12
i2
对于电感L1
Ψ1=Ψ11+Ψ12=L1i1+Mi2
图7-2 磁通相助电路图
对于电感L2 Ψ2=Ψ22+Ψ21=L2i2+Mi1
如图7-2所示，设i1与u1、i2与u2参考方向关联，根据电
对于电感L1，有
u1
d1
dt
L1
di1 dt
M
di2 dt
u'1u"1
2.耦合电感线圈上的电压、电流关系
当两个耦合电感线圈上都有电流通过时，在L1中，若自 磁通Φ11与互磁通Φ12方向相同，则称为磁通相助；同理，在 L2中，若自磁通Φ22与互磁通Φ21方向相同，磁通也相助。即 两耦合线圈的自磁通与互磁通方向相同，如图7-2所示。
根据自感和互感的定义，有以下关系式
L1
图7-1 互感线圈示意图
我们定义Ψ21与i1的比值为L1对L2的互感系数，用M21 表示，定义Ψ12与i2的比值为L2对L1的互感系数，用M12表示， 即
M 21
21
i1Байду номын сангаас
N 2 21
i1
(7-1)
M 12
Φ12 i2
N112
i2
(7-2)
互感系数简称为互感，其单位与自感的单位相同，都是亨利 (H)，可以证明M21=M12，因此，我们用M表示M21和M12，M
线圈L1和L2在电的方面是相互独立的，它们的相互影响 是靠磁场相互联系起来，称为磁耦合。线圈L1中电流i1产生 的磁通与L2相交链的部分Φ21总是小于或等于产生的自磁通 Φ11，线圈L2中电流i2产生的磁通与L1相交链的部分Φ12总是 小于或等于产生的自磁通Φ22。即互磁通总是小于或等于自 磁通，若自磁通中的一部分不与另一线圈相交链，则该部分
为了表示两线圈耦合的紧密程度，引入了一个新的参 数——耦合系数，用字母k表示，定义为
k 2 1 12 1 1 2 2
(7-3)
由自感系数和互感系数的定义可得
L1
N1 1 1
i1
11
L1i1 N1
L2
N2 22
i2
22
L2i2 N2
M N112 N2 21
i2
i1
代入式(7-3)可得
k M L1L2
(7-4)
所以耦合系数为互感系数与两线圈自感系数几何平均值 的比值，是一个无量纲参数。理想情况下无漏磁通，Φ21 =Φ11，Φ12=Φ22，k=1。所以，一般有
k M 1 L1L2
耦合系数k的大小取决于两个线圈的相对位置及磁介质 的性质。如果两个线圈紧密地缠绕在一起，则k值接近于1； 若两线圈相距较远，或线圈的轴线相互垂直放置，则k值很 小甚至接近于零。当k=0时，说明两线圈之间没有耦合(相隔 很远或相互垂直放置甚至加上磁屏蔽)；当k=1时，说明两线 圈之间为全耦合(双线并绕，甚至放入铁芯)