第一章 线性系统的数学描述

称为状态向量或状态，为时间的函数。 状态空间——以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交 线性空间，称为状态空间。系统在任一时刻的状态由状态空间 中一点表示。
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1.1
状态空间表达式
1.1.1 状态、状态变量和状态空间 状态轨迹——初始时刻 t 0 的状态x(t0 )在状态空间中为一初始点， 随着时间推移，系统状态发生变化，在状态空间中绘出的一条 轨迹。 状态方程——状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系 的数学表达式。 注意：（1）状态方程是一阶微分或差分方程。
g1 x 1 g C T x x0u0 g q x1
输出向量
m p 维
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3、线性定常系统的输出方程
y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1 p u p y2 c21 x1 c22 x2 c2 n xn d 21u1 d 22u2 d 2 p u p yq cq1 x1 cq 2 x2 cqn xn d q1u1 d q 2u2 d qp u p
y(s) n1S n1 n2 S n2 1S 0 G( s ) u ( s) S n n1S n1 1S 0
输入单位脉冲函数时系统输出响应，即单位脉冲响应
g (t , )
。
y(t ) g (t , )u( )d
0
联立方程组，解得
0 f ( x0 , u0 ) 0 x y0 g ( x0 , u0 ) 0
其中 ( x0 , u0 ) 即为平衡点，将在 ( x0 , u0 ) 附近展开 成泰勒级数并略去二次及以上各项。
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泰勒级数展开式（一维泰勒展开式）：
1 '' 1 '' 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x) x f ( x) (x) f ( x) (x) n x0 x0 x0 2 n! 非线性系统中，x,u均为向量，则可以将一维泰勒展开 式求导部分变成求偏导形式。
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1.1.4 动态方程
总结： （1）MIMO动态方程一般形式为：
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x y(t ) Cx (t ) Du(t )
式中：x为n×1向量，u为p×1向量,y为q×1向量，A为n 阶方阵，B为n×p矩阵，C为q×n矩阵,D为q×p矩阵. 由于A、B、C、D完整表征了系统动态性能，故有时把一 个指定的系统简称为系统（A、B、C、D ）。
其向量－矩阵形式为
f ( x, u) x
x R, u R
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X为n维列向量，u为p维列向量。
线性定常连续系统的状态方程一般表达式为
1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1 p u p x 2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u2 b2 p u p x n an1 x1 an 2 x2 Baidu Nhomakorabea ann xn bn1u1 bn 2u2 bnp u p x
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向量矩阵形式为
y(t ) Cx (t ) Du(t )
c11 c 21 C cq1 d11 d 21 D d q1 c12 c22 cq 2 d12 d 22 dq2 c1n c2 n cqn d1 p d2 p d qp
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输出方程的一般形式为:
y1 g1 ( x1 , x2 ,, xn ; u1 , u2 ,, u p ) y2 g 2 ( x1 , x2 ,, xn ; u1 , u2 ,, u p ) yq g q ( x1 , x2 ,, xn ; u1 , u2 ,, u p )
'
在非线性进行线性化处理过程中，令
x 相当于实际系统离平衡点的距离，即在x0的一个
小范围内。
x x0 x u u0 u
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f f 0 x f ( x0 , u0 ) [ T ] x x [ T ] u x x 0 , u0 u x 0 , u0
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann b1 p b2 p bnp
n n 维的系数矩阵
b11 b12 b b22 21 B bn1 bn 2
n p 维的系数矩阵
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若系统为单输入，其状态方程为
1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u x 2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2u x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bnu x
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1.1.4 动态方程
总结： （2）SISO动态方程一般形式为：
(t ) Ax(t ) bu(t ) x y(t ) cx(t ) du(t )
式中：x为n×1向量，u为标量,y为标量，A为n阶方阵，b 为n×1列向量，c为1×n行向量,d为标量（有时为0）.
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其中 a11 ~ ann 均为系数，若各项 与时间无关，则称为线性时不 变系统，反之称为线性时变系统。
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向量矩阵形式为
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x
A为系数矩阵（系统矩阵、状态阵） n n B为输入矩阵（控制系数矩阵） n p
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a11 a 21 A an1
上式即为线性化动态方程，在方程中，各部分含义如下：
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f1 f1 x x 1 n f A T x x0u0 f n f n xn x1
f1 f1 u u 1 p f B T u x0u0 f n f n u1 x u p p
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向量矩阵形式为
y(t ) g( x(t ), u(t ))
y1 (t ) y (t ) 2 y (t ) yq (t )
g1 () g () 2 g () g q ()
（2）状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。
（3）具有非唯一性。 （4）状态方程中不含输入变量的导数。
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1.1
1.1.2 状态方程
状态空间表达式
一般（含P个输入变量）形式的状态方程为
1 f1 ( x1 , x2 xn , u1 , u2 u p ) x x n f n ( x1 , x2 xn , u1 , u2 u p )
g g y0 y g ( x0 , u0 ) [ T ] x [ T ] u x x0 , u0 u x0 , u0
根据 得
0 f ( x0 , u0 ) 0 x
y0 g ( x0 , u0 ) 0
f f [ T ] x x [ T ] u Ax Bu x x 0 , u0 u x 0 , u0
第1 章 线性系统的数学描述
L/O/G/O
主要内容：
一 二 三 四 五 引言 系统状态空间表达式 由传递函数或高阶微分方程建 立系统动态方程 系统状态空间描述的等价变换 组合系统的数学描述
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引言
本课程的任务是系统分析和系统 设计。而不论是系统分析还是系统设 计，本课程所研究的内容是基于系统 的数学模型来进行的。因此，本章首 先介绍控制系统的数学模型。
状态方程和输出方程的向量－矩阵形式为:
f ( x, u) x
y g ( x, u)
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非线性系统
?
线性系统
? ! ?
在工作点或平衡点附近做线性化处理， 此方法为一种局部线性化的处理办法。 如何选择平衡点？
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令
f [ x(t ), u (t )] 0 x y g[ x(t ), u (t )] 0
1.1.5 动态方程的线性化
实际的物理系统通常含有非线性因素，其一阶微分方程 组的一般形式为:
1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1 p u p x 2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u2 b2 p u p x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u2 bnp u p x
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u1 u2

up
x1 , x 2 , x3 x n
y1 y2

yq
系统输入为u，输出为y，x为表征系统内部状况的变量。 若系统只有一个输入一个输出，则称为SISO；若系统有两个以
上输入输出时，称为MIMO。
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系统描述
1.外部描述
描述输入变量与输出变量之间的关系，即传递函数G ( s ) 。
向量矩阵形式为
(t ) Ax(t ) bu(t ) x
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a11 a 21 A an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
n n 维的系数矩阵
b1 b b 2 bn
g g y [ T ] x [ T ] u Cx Du x x0 , u0 u x0 , u0
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f f [ T ] x x [ T ] u Ax Bu x x 0 , u0 u x 0 , u0
g g y [ T ] x [ T ] u Cx Du x x0 , u0 u x0 , u0
列向量
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1.1.3 输出方程
1、输出方程的定义
所谓输出方程，就是描述系统输出量与状态和输入量之 间相互关系的代数方程组。
2、输出方程的标准形式
y1 g1 ( x1 , x2 ,, xn ; u1 , u2 ,, u p ) y2 g 2 ( x1 , x2 ,, xn ; u1 , u2 ,, u p ) yq g q ( x1 , x2 ,, xn ; u1 , u2 ,, u p )
t
2.内部描述 内部变量x，输入变量u，与输出变量y之间的数学描述， 即时域内的一阶微分方程。
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1.1
状态空间表达式
1.1.1 状态、状态变量和状态空间 状态——系统中能够完全描述系统行为的最小的一组内部变量。 这些变量称为状态变量，一般用 x1 , x 2 , x3 x n 表示。
T [ x , x , x x ] 状态向量——将状态变量的 n 1 列向量x= 1 2 3 n
qn
维的输出矩阵
q p
维的直接传递（前馈）矩阵
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1.1.4 动态方程
1.动态方程的定义 状态方程、输出方程的组合。 2.动态方程的特性 （1）动态方程用状态方程、输出方程来表达输入－输出关 系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。 （2）是状态空间分析法的基本数学方程。 （3）具有非唯一性