数学思想方法一整体思想(解析)(自己整理)

数学思想方法一

整体思想

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想

例1.已知

114a b -=，则2227a ab b a b ab

---+的值等于 （ ） A.6 B.6- C.

125 D.2

7

-

分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11

a b

-的形式，再整体代入求解．

解：112

242b 6112272(4)72()7a ab b a a b ab b a

------===-+⨯-+-+

说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解．

例2．已知代数式25342

()

2x ax bx cx x dx

++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为

解：因为当1x =时，值为3，所以231a b c d +++=+，即11a b c

d

++=+，从而，当1x =-时，原式()

21211a b c d

-++=

+=-+=+

例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式

222a b c ab bc ac ++---的值．

分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到

222a b c ab bc ac ++---2221()()()2

a b b c c a ⎡⎤=

-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．

解：由已知得，1a b b c -=-=-，2c a -=，所以， 原式2221

(1)(1)232

⎡⎤=

-+-+=⎣⎦ 说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想

例4．已知241

22x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩

，且03x y <+<，则k 的取值范围是

分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的．

解：将方程组的两式相加，得：3()53x y k +=+，所以5

13

x y k +=

+，从而50133k <+<，解得3655

k -<<

例5． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨

+=⎩的解为5

6

x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y

的二元一次方程组3()()5

()11

x y a x y x y b x y +--=⎧⎨

++-=⎩的解为为

分析：如果把56x y =⎧⎨

=⎩代入35

11

x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b 的值，再代入

3(

)()()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨

++-=

⎩进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐． 若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨

++-=⎩中令x y m

x y n

+=⎧⎨-=⎩，则此方程组变

形为3511m an m bn -=⎧⎨

+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而5

6

x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方

程组的解为112

12

x y ⎧

=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作．

解：11212

x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．

例6．解方程 2

25

23423x x x x

+-=

+

分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．

解：设223x x y +=，则原方程变形为5

4y y

-=

，即2450y y --=，解得15y =，21y =-，所以2235x x +=或2231x x +=-，从而解得152x =-，21x =，31

2

x =-，

41x =-，经检验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解．

说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为5

4

y y =

+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如22

315

122x x x x -+=-这样的方程，只要设2

1x y x =-，从而将方程变形为15

322

y y +=，再转化为一元二次方程来求解． 例7． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？

分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决．

解：设购甲、乙、丙各1件分别需x 元、y 元、z 元．

依题意，得37315410420x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩..，即2331533420()().()().x y x y z x y x y z ++++=++++=⎧⎨⎩

解关于x y +3，x y z ++的二元一次方程组，可得x y z ++=105.（元） 答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元．