方差分析(二)：双向方差分析
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5
Yi
Y
j
2 ij
32783.4
华中科技大学同济医学院 宇传华制作，2004，9
变异分解
(1) 总变异： 所有观察值之间的变异
(2) 处理间变异：处理因素＋随机误差
(3) 区组间变异：区组因素＋随机误差
(4) 误差变异： 随机误差
SS总 SS处理 SS区组 SS误差
总 处理 区组 误差
结论：按 0.05 水准，不拒绝 H0 ，尚不 能认为三种不同营养素对小鼠所增体重的 总体均数不等。 当a=2时，随机区组设计资料的方差分析与 配对设计资料的t 检验等价，有 t F 。
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第二节 两因素析因设计资料的方差分析
前面内容 回顾
例9-1
按随机区组设计方案，以窝别作为区组标志，
给断奶后小鼠喂以三种不同营养素A、B、C，问营养 素对小鼠所增体重有无差别。
表 8个区组小鼠按随机区组设计的分配结果
1 2 3 4 5 6 7 8 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 随机数 44 11 8 94 85 96 31 74 77 94 43 63 87 10 3 76 5 54 62 55 63 70 55 22 分组 c b a b a c a b c c a b c b a c a b b a c c b a
上一章内容 单向方差分析：处理因素效应+随机效应
本章内容 双向方差分析：处理因素效应+随机效应 +区组效应 （或另一处理因素效应、交互作用等） 随机区组设计的方差分析 析因设计的方差分析 裂区设计的方差分析
华中科技大学同济医学院 宇传华制作，2004，9 1
第一节 随机区组设计 资料的方差分析
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甲药 用 用 64 78 80 28 31 23 乙药 不用 56 44 42 16 25 18
不用
完全随机的两因素2×2析因设计
华中科技大学同济医学院 宇传华制作，2004，9 12
实例2：白血病患儿的淋巴细胞转化率（％），问 ①不同缓解程度、不同化疗时期淋转率是否相同？ ②两者间有无交互作用？
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H0： 1 2 3 ，即三种不同营养素的小鼠所 增体重的总体均数相等 H1：三种不同营养素的小鼠所增体重的总体均数 不全相等 0.05
SS总 Yij2 C 110447.5 1591.12 / 24 4964.21
1.完全随机设计的ANOVA 2.随机区组设计的ANOVA
所关心的问题：
一个处理因素不 同处理水平间的 均数有无差异？
以上第2个设计中，设立单位组（区组）的 目的是控制混杂因素。使混杂因素在各处理水平 间达到均衡，提高检验效率。
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析因设计（factorial design）ANOVA 所关心的问题
区组
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表 9-1 区 组 (j)
三 种 营 养 素 喂 养 四 周 后 各 小 鼠 所 增 体 重 (g) 营 养 素 分 组 (i) 1(A) 2(B) 64.8 66.6 69.5 61.1 91.8 51.8 69.2 48.6 8 523.4 65.3 35459.1 3(C) 76.0 74.5 76.5 86.6 94.7 43.2 61.1 54.4 8 567.0 70.9 42205.0 按区组求 和
i 1 j 1
n
a
n
Βιβλιοθήκη Baidu
SS处理
i 1
a
( Yij )
j 1
2
n
n
1 C (500.7 2 523.42 567.02 ) 1591.12 / 24 283.83 8
( Yij )
i 1 a 2
SS区组
j 1
a
1 C (197.82 196.12 208.12 222.22 3
自由度 2 7 14 23 均方 MS 141.92 49.29
离均差平方和 SS 283.83 3990.31 690.07 4964.21
F
2.88
P
0.0897 0.0000
570.04 11.56
(a-1)(n-1)
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查界值表，得 F0.05(2，14)=3.74， 今F＝2.88<F0.05(2, 14)，故P>0.05。
nj
3 3 3 3 3 3 3 3 24
Y
i ij
1 2 3 4 5 6 7 8
57.0 55.0 62.1 74.5 86.7 42.0 71.9 51.5 8
ij
197.8 196.1 208.1 222.2 273.2 137.0 202.2 154.5
ni
Y
j
500.7 62.6
1591.1 66.3 110447.5
1. 两个或以上处理因素 的各处理水平间的均数有
无差异？即主效应有无统计学意义？
2. 两个或以上处理因素之间有无交互作用？
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11
析因设计的4个实例
实例1：甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效（胆固 醇降低值mg％），问①甲乙两药是否有降低胆固 醇的作用（主效应）？②两种药间有无交互作用
273.22 137.02 202.22 154.52 ) 1591.12 / 24 3990.31
SS误差 4964.21 283.83 3990.31 690.07
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表9-2
变异来源 处理 区组 误差 总
例9-1资料的方差分析表
2
随机区组设计 randomized block design
又称为配伍组设计，是配对设计的扩 展。具体做法是：先按影响试验结果的非 处理因素（如性别、体重、年龄、职业、 病情、病程、动物窝别等）将受试对象配 成区组(block)，再分别将各区组内的受试 对象随机分配到各处理或对照组。
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Yi
Y
j
2 ij
32783.4
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变异分解
(1) 总变异： 所有观察值之间的变异
(2) 处理间变异：处理因素＋随机误差
(3) 区组间变异：区组因素＋随机误差
(4) 误差变异： 随机误差
SS总 SS处理 SS区组 SS误差
总 处理 区组 误差
结论：按 0.05 水准，不拒绝 H0 ，尚不 能认为三种不同营养素对小鼠所增体重的 总体均数不等。 当a=2时，随机区组设计资料的方差分析与 配对设计资料的t 检验等价，有 t F 。
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第二节 两因素析因设计资料的方差分析
前面内容 回顾
例9-1
按随机区组设计方案，以窝别作为区组标志，
给断奶后小鼠喂以三种不同营养素A、B、C，问营养 素对小鼠所增体重有无差别。
表 8个区组小鼠按随机区组设计的分配结果
1 2 3 4 5 6 7 8 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 随机数 44 11 8 94 85 96 31 74 77 94 43 63 87 10 3 76 5 54 62 55 63 70 55 22 分组 c b a b a c a b c c a b c b a c a b b a c c b a
上一章内容 单向方差分析：处理因素效应+随机效应
本章内容 双向方差分析：处理因素效应+随机效应 +区组效应 （或另一处理因素效应、交互作用等） 随机区组设计的方差分析 析因设计的方差分析 裂区设计的方差分析
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第一节 随机区组设计 资料的方差分析
华中科技大学同济医学院 宇传华制作，2004，9
甲药 用 用 64 78 80 28 31 23 乙药 不用 56 44 42 16 25 18
不用
完全随机的两因素2×2析因设计
华中科技大学同济医学院 宇传华制作，2004，9 12
实例2：白血病患儿的淋巴细胞转化率（％），问 ①不同缓解程度、不同化疗时期淋转率是否相同？ ②两者间有无交互作用？
华中科技大学同济医学院 宇传华制作，2004，9 6
H0： 1 2 3 ，即三种不同营养素的小鼠所 增体重的总体均数相等 H1：三种不同营养素的小鼠所增体重的总体均数 不全相等 0.05
SS总 Yij2 C 110447.5 1591.12 / 24 4964.21
1.完全随机设计的ANOVA 2.随机区组设计的ANOVA
所关心的问题：
一个处理因素不 同处理水平间的 均数有无差异？
以上第2个设计中，设立单位组（区组）的 目的是控制混杂因素。使混杂因素在各处理水平 间达到均衡，提高检验效率。
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析因设计（factorial design）ANOVA 所关心的问题
区组
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表 9-1 区 组 (j)
三 种 营 养 素 喂 养 四 周 后 各 小 鼠 所 增 体 重 (g) 营 养 素 分 组 (i) 1(A) 2(B) 64.8 66.6 69.5 61.1 91.8 51.8 69.2 48.6 8 523.4 65.3 35459.1 3(C) 76.0 74.5 76.5 86.6 94.7 43.2 61.1 54.4 8 567.0 70.9 42205.0 按区组求 和
i 1 j 1
n
a
n
Βιβλιοθήκη Baidu
SS处理
i 1
a
( Yij )
j 1
2
n
n
1 C (500.7 2 523.42 567.02 ) 1591.12 / 24 283.83 8
( Yij )
i 1 a 2
SS区组
j 1
a
1 C (197.82 196.12 208.12 222.22 3
自由度 2 7 14 23 均方 MS 141.92 49.29
离均差平方和 SS 283.83 3990.31 690.07 4964.21
F
2.88
P
0.0897 0.0000
570.04 11.56
(a-1)(n-1)
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查界值表，得 F0.05(2，14)=3.74， 今F＝2.88<F0.05(2, 14)，故P>0.05。
nj
3 3 3 3 3 3 3 3 24
Y
i ij
1 2 3 4 5 6 7 8
57.0 55.0 62.1 74.5 86.7 42.0 71.9 51.5 8
ij
197.8 196.1 208.1 222.2 273.2 137.0 202.2 154.5
ni
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j
500.7 62.6
1591.1 66.3 110447.5
1. 两个或以上处理因素 的各处理水平间的均数有
无差异？即主效应有无统计学意义？
2. 两个或以上处理因素之间有无交互作用？
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11
析因设计的4个实例
实例1：甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效（胆固 醇降低值mg％），问①甲乙两药是否有降低胆固 醇的作用（主效应）？②两种药间有无交互作用
273.22 137.02 202.22 154.52 ) 1591.12 / 24 3990.31
SS误差 4964.21 283.83 3990.31 690.07
华中科技大学同济医学院 宇传华制作，2004，9 7
表9-2
变异来源 处理 区组 误差 总
例9-1资料的方差分析表
2
随机区组设计 randomized block design
又称为配伍组设计，是配对设计的扩 展。具体做法是：先按影响试验结果的非 处理因素（如性别、体重、年龄、职业、 病情、病程、动物窝别等）将受试对象配 成区组(block)，再分别将各区组内的受试 对象随机分配到各处理或对照组。
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