第二章 矩阵 第2节 矩阵的秩

经一次初等行变换矩阵的秩不变, 即可知经有限次初等行变换矩阵的秩也不变. 设 A 经初等列变换变为 B , 则 AT 经初等行变换变为 BT , 由于 r ( AT ) r ( BT ), 又
r ( A) r ( AT ), r ( B) r ( BT ),
因此
r ( A) r ( B) .
2 3 4 1 例 3 求矩阵 A 1 1 4 2 的秩. 3 4 11 8
1 0 1 2 例 4 (讲义例 3) 求矩阵 A 3 1 1 4 0 1 0 1 的秩. 0 4 5 1
1 2 2 1 1 0 ~ 2 4 8 2 , b , 求矩阵 A 及矩阵 A ( A, b) 的秩. 例 5 (讲义例 4) 设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 0 5 0 3 2 3 2 3 6 1 , 求矩阵 A 的秩, 并求 A 的一个最高非零 例 6 (讲义例 5) 设 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
例题选讲：
1 2 3 例 1 (讲义例 1) 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1
2 1 0 3 例 2 (讲义例 2) 求矩阵 B 0 0 0 0
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0 3 2 1 2 5 的秩. 0 4 3 0 0 0
二、矩阵秩的求法 定理 1 若 A ~ B , 则 r ( A) r ( B) . 定理证明了若 A 经一次初等行变换变为 B , 则 r ( A) r ( B) . 由于 B 亦可经一次初等行变换为 A , 故也有 r ( B) r ( A) . 因此
r ( A) r ( B) .
总之,若 A 经过有限次初等变换变为 B(即A ~ B) ,则
r ( A) r ( B) .
根据上述定理, 我们得到利用初等变换求矩阵的秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成行 阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩. 注: 由矩阵的秩及满秩矩阵的定义, 显然,若一个 n 阶矩阵 A 是满秩的, 则 | A | 0. 因而 非奇异; 反之亦然.
课堂练习
1 3 2 2 1.已知 A 0 2 1 3 , 求该矩阵的秩. 2 0 1 5
3 2.求 的值, 使下面的矩阵 A 有最小的秩: A 1 2
1 1 4 4 10 1 . 7 17 3 2 5 3
k k 注： m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm 个. Cn
设 A 为 m n 矩阵，当 A O 时，它的任何子式都为零. 当 A O 时，它至少有一个元素 不为零, 即它至少有一个一阶子式不为零. 再考察二阶子式, 若 A 中有一个二阶子式不为零. 则往下考察三阶子式, 如此进行下去, 最后必达到 A 中有 r 阶子式不为零, 而再没有比 r 更 高阶的不为零的子式. 这个不为零的子式的最高阶数 r 反映了矩阵 A 内在的重要特征，在矩 阵的理论与应用中都有重要意义. 定义 2 设 A 为 m n 矩阵, 如果存在 A 的 r 阶子式不为零, 而任何 r 1 阶子式(如果存 在的话)皆为零, 则称数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 r ( A) (或 R( A) ). 并规定零矩阵的秩等于零. 显然，矩阵的秩具有下列性质： (1) 若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0, 则 r ( A) s ; (2) 若 A 中所有 t 阶子式全为 0, 则 r ( A) t ; (3) 若 A 为 m n 矩阵, 则 0 r ( A) min{ m, n} ; (4) r ( A) r ( AT ). 当 r ( A) min{ m, n}, 称矩阵 A 为满秩矩阵. 否则称为降秩矩阵. 利用定义计算矩阵的秩， 需要由高阶到低阶考虑矩阵的子式， 当矩阵的行数与列数较高 时,按定义求秩是非常麻烦的. 由于行阶梯形矩阵的秩很容易判断， 而任意矩阵都可以经过初 等变换化为行阶梯形矩阵. 因而可考虑借助初等变换法来求矩阵的秩.
第六节 矩阵的秩 内容分布图示
★ 矩阵的 k 阶子式 ★ 矩阵秩的概念 ★ 例1 ★ 矩阵秩的求法 ★ 例3 ★ 例6 ★ 内容小结 ★ 习题 2-6 ★ 返回
★ 例2 ★ 例4 ★ 例7 ★ 课堂练习 ★ 例5 ★ 例8
内容要点：
一、矩阵的秩 矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到， 矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵， 且行阶梯形矩阵所含非零行的行数 是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中， 我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法. 定义 1 在 m n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列 (1 k m,1 k n) ,位于这些行列交叉处的 k 2 个元素,不改变它们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 称为矩阵 A 的 k 阶子式.
子式. 例 7(讲义例 6) 设 A 为 n 阶非奇异矩阵, B 为 n m 矩阵. 试证: A 与 B 之积的秩等于 B 的 秩, 即 r ( AB) r ( B) .
1 1 1 2 例 8 (讲义例 7) 设 A 3 1 2 , 已知 r ( A) 2, 求 与 的值. 5 3 6