第4章 时域响应及误差分析

第4章 时域响应及误差分析
4.1 引言
对控制系统的性能作理论分析和研究的第一步便是建立数学模型。

一旦建立起系统的数学模型，便可以用不同的方法分析系统的性能。

在古典控制理论中，常用的分析方法有时域分析法、频率响应法和根轨迹法。

时域分析法亦称时间（域）响应分析，在数学上是指，在确定线性定常系统的传递函数)()()(s X s Y s G =后，假设)(s X 为一些标准的复数域信号（由时域信号求出）
，以拉普拉斯反变换的方法，求解线性定常系统的微分方程，即系统的输出信号)]()([)(1
s X s G L t y -=随时间变化的表达式或响应曲线，以分析和评价系统的性能，如快速性、稳定性和精确性等。

典型线性定常系统的时域响应与典型时域输入信号之间存在一定的关系，为对实验结果作出必要预测并验证理论的正确性，在此之前作出必要的理论或解析分析是必要的。

时域响应是指在典型输入信号作用下系统的输出量或信号，从零初始状态到稳态的整个响应历程。

评价这一历程长短的指标是过渡时间或稳态响应时间s t 。

在s t t <之前的响应通常称瞬态响应或过渡响应，在s t t >之后的响应称稳态响应。

或者简言之，时域响应包括瞬态响应和稳态响应两部分。

对系统常加的输入信号通常一些典型时域信号，如脉冲信号、阶跃信号、斜坡信号，系统相应的响应称脉冲响应、阶跃响应和斜坡响应。

本章的重要任务之一是对一阶、二阶及高阶系统的时域响应进行理论分析，以得出系统的时域响应指标（如上升时间r t ，第一峰值时间p t ，过渡时间s t ，超调量p M ）与系统参数之间的关系，重点研究二阶系统的时间响应。

实验表明，高阶系统的时域响应通常可以用二阶系统的时间响应来近似。

稳定性和精确性是系统的重要特性和评价指标。

由于实际物理系统存在储能元件和惯性，当输入量作用系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，并在达到稳态之前通常表现为瞬态阻尼振荡过程。

如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，则称系统存在稳态误差。

这个误差表示了系统的精确度。

这也是本章的重要内容之一。

4.2一阶系统的时间响应
在图4-1所示的弹簧—阻尼机械系统中，)(t x 为输入，)(t y 为输出，其运动微分方程为
)()()()()()(t x t y t y T t kx t ky t y
B =+⇒=+ （4.2-1） 其传递函数为
1
1
)()()
(+=
Ts s X s Y s G （4.2-2） 其中k B T =为时间常数，B 为阻尼系数，k 为弹簧刚度。

式（4.2-2）的方块图如图4-2所示，现在讨论它的单位阶跃响应、单位斜坡响应和单位脉冲响应，即在输入1)(=t x ，t ，)t (δ时的系统的输出)(t y 。

4.2.1 一阶系统的单位阶跃响应
当1)(=t x 时，s s X 1)(=，将s s X 1)(=代入式（4.2-2），求出)()()(s X s G s Y =，并将)(s Y 展成部分分式，得到
T
s s Ts T s s Ts s X s G s Y /11
111111)()()(+-
=+-=⋅+=
= （4.2-3） 对（4.2-3）作拉普拉斯反变换，得到
T t e s Y L t y /11)]([)(---==（t ≥0）
（4.2-4） 式（4.2-4）即是一阶系统的时域响应，它有两部分组成，右边第一项是单位阶跃响应的稳态分量，即1)(lim )(==∞∞
→t y y t ，第二项式瞬态分量，当t →∞时，瞬态分量T
t e
/-→0。

)
(t y 随时间变化曲线如图4-3(a )所示，这是一条按指数规律单调上升的曲线。

应当指出，时间常
数T 越小，系统的响应就越快，即趋向稳态值的时间越短，如图4-3(b )所示，该响应曲线的重要特点是在0=t 那一点上，切线斜率等于1/T 。

因为
T
e T
t
y t T t
t 1
1d d 0
=
==-= （4.2-5） （1）时间常数T
由图4-3可以看出，系统的惯性越小，即T 越小，系统的响应就越快，反之，系统的惯性越大，即T 越大，系统的响应就越慢。

为得到满意的响应速度，应调整系统的结构参数，使T 变小。

（2）调整时间s T
从响应开始到进入稳态的时间称调整时间（过渡时间）。

从理论上讲，系统结束瞬态过程而进入稳态过程，要求t →∞。

在工程上，对t →∞要有一个量的概念，这与系统的精度要求有关。

在工程上一般认为输出量达到稳态值的95%以上（误差δ≤%5）可以认为调整过程结束而进入稳态。

由式（4.2-4）可以确定一阶系统的调整时间s t 为
T t s 4=（误差%2=δ）或T t s 3=（误差%5=δ） （4.2-6）
4.2.2一阶系统的单位斜坡响
单位斜坡函数t x =（t ≥0）的拉普拉斯变换为2
1)(s s X =。

将2
1)(s s X =代入式（4.2-3）并展成部分分式，得到
1
1)()(2
22++
+-==Ts T s s T s s G s Y （4.2-7） 对式（4.2-7）作拉普拉斯反变换，得出
T
t
Te
T t s Y L t y -
-+-==)]([)(1 (t ≥0) （4.2-8）
于是误差信号)(t e 为
)1()()()(T
t e
T t y t x t e -
-=-= (t ≥0) （4.2-9）
当t →∞时，T
t e
-→0，因而误差信号趋近于T ，即
T e =∞)(
（4.2-10） 图4-4为一阶系统的单位斜坡输入量和输出量。

当t 充分大时，系统跟踪单位斜坡输入信号的误差等于T 。

显然，T 越小，误差越小。

4.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲信号)()(t t x δ=的拉普拉斯变换1)(=s X 。

将)(s X 代入式（4.2-3），直接作拉普拉斯反变换可求
T t
e T
s G L s Y L t y -
--===1)]
([)]([)(11 (t ≥0)
（4.2-11）
由式（4.2-11）作出的响应曲线见图4-5。

由图4-5可知，一阶系统的单位脉冲响应是单调
下降的指数曲线，T 越小，响应越快，趋向稳态值0)(=∞y 的时间(T T t s 4,3=)越短。

4.2.4 响应之间的关系
比较一阶系统的三种单位输入信号的响应可以发现；单位斜坡的响应对时间的微分为单位阶跃响应，单位阶跃的响应对时间的微分等于单位脉冲响应，反过来则构成积分关系。

这种对应表明，系统对输入信号导数的响应可以通过把系统对原信号响应进行微分而得出，系统对原信号积分的响应等于系统对原响应的积分，而积分常数可由零输出初始条件确定。

这是线性定常系统的特性。

线性时变系统或非线性系统不具备这种特性。

4.3 二阶系统的时域响应
4.3.1 引言
凡是能够用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。

在工程实践中，虽然控制系统多为高
阶系统，但在一定 精确度条件下，可以忽略某些次要因素，近似地用一个二阶系统来表示。

因而，对二阶系统时域响应特性的研究具有重要意义。

从物理上讲，二阶系统总含有两个独立的储能元件，能量在两个元件之间交换，使系统具有往复振荡趋势。

当阻尼不够充分时，系统呈现振荡特性，所以二阶系统也称二阶振荡环节（或振荡环节）。

二阶系统的运动微分方程可规范化为
)()(2)()(22
t y t y t y
t x n n n ωξωω++= （4.3-1） 或者
)()(2)(2t y t y T y
T t x ++= ξ （4.3-2） 其中)(t x 为输入信号， )(t y 为输出信号，n ω为无阻尼固有（自然）频率(rad/s)，)(1s T n ω=为时间常数，ξ为阻尼比。

在零初始条件下，对式（4.3-1）作拉普拉斯变换，可得二阶系统的传递)(s Φ为
121
2)(2
2222++=++=ΦTs s T s s s n
n n ξωξωω （4.3-3） 传递函数的结构方块图有开环和闭环两种，如图4-6所示。

由式（4.3-3）可得二阶系统的闭环特征方程)(s F 为
2
22)(n n s s s F ωξω++= （4.3-4）
由式（4.3-4）可求二阶系统的两个特征根（或闭环极点）为
122,1-±-=ξωξωn n s （4.3-5）
这样，二阶系统的动态特性就可以用ξ，n ω这两个参数形式描述(ξ、n ω决定于系统的结构参数）。

根据ξ的大小不同，极点分布(或位置)具有以下5种情况：
（1）当0<ξ时，称为负阻尼，二阶系统的极点位于S 平面的右部，此时二阶系统对于任何形式的信号的响应都是发散的。

，或者说系统不稳定的，不是所讨论的。

（2）当0=ξ时，二阶系统称为零阻尼系统，这时n j s ω±=，表明二阶系统有一对位于虚轴上的极点，其时域响应是持续振荡的。

（3）当10<<ξ时，二阶系统称欠阻尼系统，这时2
2,11ξωξω-±-=n n s ，表明二阶系统有一对共轭复数极点，其时域响应是震荡和衰减的。

（4）当1=ξ时，二阶系统称为临界阻尼系统，这时二阶系统有两个相等的负实数极点，其时域响应无振荡现象。

（5）当1>ξ时，二阶系统称为过阻尼系统。

这时二阶系统有两个不相等的负极点，其时域响应与1=ξ时类似，但响应速度比它缓慢。

由于0=ξ时的时域响应可以直接从10<<ξ的欠阻尼状态下得出，故讨论时分为欠阻尼，临界阻尼和过阻尼三种情况。

4.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的瞬态（时域）指标是在典型的输入信号—单位阶跃输入信号下评价的，并且在以后内容中也可以看到，高阶系统的响应特性也可以用二阶系统来近似，因而，对二阶系统的单位阶跃输入下的响应特性的研究尤其有重要意义。

1.欠阻尼情况10<<ξ
当输入信号为单位阶跃信号（1)((=t x ，t ≥0，s s X 1)(=）时，
2
2222
2222)()(1
221
12)()()(d
n n d n n n
n n n n n s s s s s s s s s s s s X s s Y ωξωξωωξωξωωξωξωωξωω++-+++-=+++-=⋅++=Φ= （4.3-6）
式中 d ω—阻尼（振荡）频率，2
1ξωω-=n d ，10<<ξ。

对式（4.3-6）两边作拉普拉斯反变换，可得
1 )sin cos 1(11 )
sin 1(cos 1)(222
ωξωξξωξ
ξωξωξω-
=+---=-+-=--t t e t t e t y d d t d d t n n （4.3-7） 式中 ϕ—相角，)1arctan(2
ξξϕ-=。

式（4.3-7）也可以从拉普拉斯变换表中直接查到。

由式（4.3-7）可以看出，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成，等号右边第一项为响应的稳态分量，第二项为响应的瞬态分量，它是一个幅值按指数规律衰减的阻尼正弦振荡曲线，其振荡频率为d ω，振荡周期
d d T ω1=。

瞬态分量衰减的快慢程度，取决于包络线211ξξω-±-t
n e 的收敛快慢程度，当
阻尼比ξ一定时，包络线的收敛速率又决定于指数函数t n e ξω-的幂，故n ξωσ=又称衰减系数。

2.零阻尼情况)0(=ξ
当阻尼比0=ξ时，单位阶跃输入信号1)((=t x ，t ≥0，s s X 1)(=的系统的输出量的拉普拉斯变换为
2
222211)()()(n
n n s s
s s s s X s s Y ωωω+-=⋅+=Φ= （4.3-8） 故可求时域响应)(t y 为
t s Y L t y n ωcos 1)]([)(1-==-)0(≥t （4.3-9）
式（4.3-9）也可由式（4.3-7）令)0(=ξ直接求出。

或者说式（4.3-7）包含了)0(=ξ情况。

式（4.3-9）表明系统的瞬态分量是一条平均幅值为1条余弦振荡曲线。

3.临界阻尼情况)1(=ξ
当阻尼比1=ξ时，系统输出量的拉普拉斯变换为
2
22)(11)()()()(n n n n s s
s s s s s X s s Y ωωωω+-
+-=+=Φ= （4.3-10） 故系统的时域响应为
)1(1)(t s e t y n t n ωω+-=- (t ≥0) （4.3-11）
式（4.3-11）表明，当1=ξ时，系统的响应曲线是非周期上升的、稳态值趋向于1的曲线，与一阶系统的单位阶跃响应类似。

式（4.3-11）也可利用式（4.3-7）在ε→1条件下求极限而得出。

注意到
t t n n t ξωξ
ξωξ
=--→2
2
1
11sin lim （4.3-12）
即可得知式（4.3-11），可见式（4.3-7）概括了二阶系统非过阻尼条件下的单位阶跃响应，可
以认为是二阶系统单位阶跃响应一般表达式。

4.过阻尼情况)1(>ξ
在过阻尼条件下，系统的闭环特征方程有两个相等的负实根（系统有两个不相等的负极点）
122,1-±-=ξωξωn n s （4.3-13）
因此系统的单位阶跃的拉普拉斯变换可写成
1
1 )
)(()
)(()()()(2322
1212
1212
-+++
--++=
--=
--=Φ=ξωξωξωξωωn n n n n s A s A s A s s s s s s s s s s s s s X s s Y （4.3-14）
其中 11=A ，)
1(121
2
2
2---=ξξξA ，)
1(121
2
2
3-+-=
ξξξA 。

对式（4.3-14）两边取拉普拉斯反变换，得出
)
1(12)
1(121)(2
2
)1(2
2
)1(22-+-+
----
=----+-ξξξξξξωξξωξξt
t
n n e
e
t y （t ≥0）
（4.3-15） 式（4.3-15）表明，系统的单位阶跃响应包括两个单调衰减的指数项，当t →∞，它们均趋向于零，系统的稳态值趋向于1。

由于1>ξ，特别在1>>ξ时，系统的响应可近似为
t
n e t y ωξξ)1(21)(--
--= （t ≥0） （4.3-16）
四种情况下的单位阶跃响应曲线如图4-7所示。

图4-7 二阶系统的单位阶跃响应曲线
4.3.3 二阶系统的瞬态响应性能指标
在实际控制系统中，它所需要的性能指标常以时域量的形式给出。

控制系统的时域响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成，相应的性能指标也由瞬态响应指标和稳态性能指标构成。

稳态性能指标主要指稳态误差问题，而瞬态响应指标内容较多，因而性能指标主要指瞬态性能指标。

为使控制系统的瞬态响应性能指标具有可比性，通常采用如下规范约定：
① 控制系统为二阶欠阻尼系统10<<ξ； ② 输入量为电位阶跃信号；
③ 标准初始条件，即系统初始处于静止状态，输出量和输入量的初始值及它们对时间的 一阶导数都等于零。

参看图4-8，为评价二阶系统得瞬态响应特性通常采用如下性能指标：
图4-8 表示性能指标的单位阶跃响应曲线
1.上升时间r t
响应曲线从稳态值的10%上升到90%，或者从稳态的5%上升到稳态值的95%，或从0%上升到100%所用的时间都称为上升时间r t 。

对于二阶欠阻尼系统，通常采用响应曲线从稳态值的0%上升到100%的时间作为上升时间r t 。

根据如上定义，当r t t =时，1%100)(=⨯∞=y y ，则由式（4.3-7）知)(r t y 可表示为
1)()sin(11)(2
=∞=+--
=-y t e t y r d t r r n ϕωξ
ξω （4.3-17）
即有
0)sin(12
=+--ϕωξ
ξωr d t t e r n （4.3-18）
由于10<<ξ，012
>-ξ
，0>-r n t e ξω必有
0)sin(=+ϕωr d t （4.3-19）
解之得
πϕωk t r d =+ ),2,1,0( ±±=k （4.3-20）
由于r t 为第一次到达稳态值的时间，故1=k ，则有
d
r t ωϕ
π-=
（4.3-21） 其中2
1ξωω-=n d ，ξξ
ϕ2
1arctan -=，)10(<<ξ。

r t 较小时，意味着响应速度快，反之，响应速度慢。

由式（4.3-21）知，当阻尼比ξ一定时，增大固有频率n ω，可使响应时间r t 变短；当n ω一定时，阻尼比ξ增大，使r t 增大，即
上升时间变长。

2.峰值时间P t
峰值时间P t 定义为响应曲线达到第一峰值所需的时间。

根据定义，max )(y t y P =，其数
学条件为0d d )(===P
t t P t
y
t y。

对式（4.3-7）两边同时求导，则有
)
cos 1sin ()sin 1(cos d d 22t t e t t e t y d d d d t d d t n n n ωξ
ξωωωωξξ
ωξωξωξω-++-+=--
（4.3-22）
对式（4.3-22）进行整理，并代入0)(=p t y
条件，则有 0sin 1d d )(2
=-=
=-=p d t n
t t p t e
t
y
t y
p
n p
ωξ
ωξω （4.3-23）
由于10<<ξ，2
1ξ
-，0≠-r
n t e
ξω，则必须有
0sin =p d t ω （4.3-24）
故有
,3,2,,0πππω=p d t )0(>P t （4.3-25）
按定义，峰值时间P t 为)(t y 的第一峰值时间，所以πω=p d t ，因此
21ξ
ωπ
ωπ-=
=
n d P t （4.3-26） 由式（4.3-26）知，增大自然频率n ω或减小阻尼比ξ，都可使峰值时间P t 变短。

可见n ω和ξ对r t 和P t 的影响是一致的。

3.最大超（过）调量P M （或%P M ）
最大百分比超调量P M 定义将响应曲线的第一峰值)(P t y 减去响应的稳态值)(∞y 差值与稳态值)(∞y 之比，即
)
()
()((%)∞∞-=
y y t y M p p （4.3-27）
当1)(=∞y 时，P M 的百分比形式与P M 的差值形式是一致的。

根据定义，并且,1)(=∞y 将)1(2
ξωπ-=n P t 代入式（4.3-27），则有
2
12
)sin 1(cos 1)(ξξπ
ωπ
ξωπξ
ξ
π--
-=-+
-=-=e
e
t y M d
n P P （4.3-28）
由式（4.3-28）知，超调量P M 仅与系统的阻尼比ξ有关，而与系统的固有频率n ω无关，所以P M 是系统阻尼特性的描述。

当阻尼比ξ给定时，可求相应的P M ；反之，当P M 给定时，可确定相应的阻尼比。

当阻尼比ξ变大时，P M 变小；反之，当ξ变小时，P M 变大。

当P M 较小时，系统的平稳性较好，但上升时间r t 变长，既响应变慢；反之，当P M 较大时，系统的平稳性差（波动较大），但上升时间变短，既响应变快，因而两者是矛盾的。

通常进行折衷考虑。

在控制工程中，通常取阻尼比8.0~4.0=ξ，以获得较好的平稳性
（)%5.1~4.25(=P M ）和理想的快速性。

4.调整时间s t
在系统响应的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取2%或5%）作为一个允许的误差范围，响应曲线达到并且永远保持在这一允许误差范围所需的时间称调整（过渡）时间s t 。

调整时间与控制系统的最大时间常数（阻尼频率d ω的倒数）有关。

允许误差百分数的选取决定于系统的设计目标。

由前分析知，二阶欠阻尼系统的响应曲线（见式4.3-7）的包络线为211ξξω-±-t
n e 如图
4-9所示。

包络线的衰减系数为n ξω，时间常数为n 1。

从调整时间s t 的定义看，用)(t y 表
达s t 是困难的。

s t 可从)(t y 的包络线中近似得出。

图4-9二阶欠阻尼系统的单位阶路响应曲线的包络线
参看图4-9，取上包络线，允许误差为∆，则有
∆+=-+
-1112
ξ
ξωs n t e （4.3-29）
或者
21ξξω-∆=-s n t e （4.3-30）
对式（4.3-30）两边取对数，则有
)11
ln 1(ln
1
2ξ
ξω-+∆=
n
s t （4.3-31）
当8.00<<ξ时，若取%5=∆，则2
1ln ξ--可忽略，则有
n
s t ξω3
≈
%)5(=∆ （4.3-32）
同样，若取%2=∆，则有
n
s t ξω4
≈
%)2(=∆ （4.3-33）
5.振荡次数N
振荡次数N 是指响应曲线)(t y 进入稳态时穿越稳态值)(∞y 的次数。

阻尼振荡频率
21ξωω-=n d ，周期d d T ωπ2=，故振荡次数N 为
π
ξω212-==n s
d s
t t t N （4.3-34） 由式（4.3-31）知，N 与s t 或误差精度∆有关。

如果有%5=∆，则有
πξ
ξ2
15.1-=
N （4.3-35）
若%2=∆，则有
πξ
ξ2
12-=
N （4.3-36）
4.3.4 二阶系统计算例
例4-1 单位反馈的二阶系统如图4-10所示，其中，阻 尼比6.0=ξ，固有频率s rad 5=n ω。

当)(t x 为单位阶跃 信号时，求系统的性能指标r t 、P t 、s t 、P M 和振荡次数
N 的数值。

解 根据给定的ξ和n ω值，可求412=-=ξωωn d 和
3=n ξω及
rad 93.0)1arctan(2=-=ξξϕ。

则可求
⑴上升时间r t
)s (55.04
93
.014.3=-=-=
d r t ωϕπ ⑵峰值时间P t
(s)785.04
14.3===
d P t ωπ ⑶最大超调量P M
%5.9095.014.3)3()
1(2====⨯---e e M P ξξπ
⑷调整时间s t
(s)13
3
3
==
=
n
s t ξω %)5(=∆
(s)33.13
4
4
==
=
n
s t ξω %)2(=∆ ⑸振荡次数N
8.06
.014.38
.02122
=⨯⨯=
-=
πξ
ξN %)2(=∆
6.06
.014.38
.05.115.12
=⨯⨯=
-=
πξ
ξN %)5(=∆
例4-2 速度反馈控制系统如图4-11所示，要求性能指标为%20=P M ，1s =P t 。

试确定系统的K 值和h K 值，并计算性能指标r t ，s t 。

解 ⑴根据要求%20=P M 计算相应的阻尼比ξ值
)
1(22.0ξξπ--==e
M P
两边取对数
61.15ln 2
.01
ln
12
===-ξπξ
解之得 456.0=ξ
⑵根据s 1=P t 及求得的456.0=ξ确定固有频率n ω，由
1465
.0114
.312
2
=-=
-=
n n P t ωξ
ωπ
解得
)s rad (53.3=n ω
⑶求二阶系统的传递函数并规范化，求K 和h K 值。

由图4-11可求
2
2
2
22)1()()()(n n n
h s s K s K K s K s X s Y s G ωξωω++=+⋅++== 比较两边数据有
K n =2ω，)1(2h n KK +=ξω
故可求
5.12)53.3(22
===n K ω
178.05
.121
53.3456.0212=-⨯⨯=-=
K K n h ξω ⑷计算r t ，s t 值
)rad (1.1456
.0456.01arctan 1arctan
2
2
=-=-=ξ
ξϕ
)s (65.0456
.0153.31.114.312
2
=--=
--=
ξ
ωϕπn r t
(s)86.13
==
n
s t ξω %)5(=∆
(s)48.24
==
n
s t ξω %)2(=∆
例4-3 机械系统如图4-12)(a 所示，当对质量m 施加N 9.8)(=t f 的阶跃力后，其位移响应曲线)(t x 如图4-12)(b 所示，试求系统的质量m ，弹簧刚度k 和黏性阻尼系数B 的数值。

解 ⑴系统的传递函数由牛顿第二定律，可列系统的运动微分方程为
)(t f kx x B x
m =++ 在零初始条件下作拉普拉斯变换，求传递函数
m
k m Bs s m
k k k Bs ms k s F s X s G ++⋅=++==
2
21)()()(
将查函数规范化为
2
2
2
21
)()()(n n n s s k s F s X s G ωξωω++⋅== 故有
m k n =
2ω，m
B n =ξω2 ⑵由稳态值)(∞x 确定弹簧刚度
当N 9.8)(=t f 时，9.8)(=s X 。

由终值定理
03.09
.81lim )(lim )(200=⋅++⋅==∞→→s k Bs ms s s sX x s s
可求得
)m N (297=k
⑶由百分比超调量p M 求阻尼比
03
.00029
.0)
()()(2
1=
=∞∞-=
--
ξξπ
e x x t x M p p 解得
6.0=ξ
⑷由第一峰值时间2s =P t 求自然频率n ω
)s (212
=-=
ξ
ωπn P t
解得
)rad (96.1=n ω
⑸确定m 、B 值
)kg (3.772
==
n
k
m ω
)N (8.1812==m B n ξω
4.3.5 二阶欠阻尼系统的非零初始条件下的响应
在分析二阶系统响应时，一直假定系统的初始条件为零。

但是，有时系统的初始条件并不一定为零。

例如电动机转速控制系统，如果控制信号作用于系统之前，曾发生过电动机负载波动，而当控制信号作用于系统的瞬间，负载波动的影响尚未完全消失，则分析系统响应过程时，需要考虑初始条件的影响。

就方法而言，求系统的响应，不论初始条件是否为零，都是用拉普拉斯变换的方法求解系统的运动微分方程。

设二阶欠阻尼系统的规范化运动微分方程为
)()()(2)(22t x t y t y t y
n n n ωωξω=++ 初始条件为0=t ，)0(0y y =，)0(0y y
=。

考虑初始条件作拉普拉斯变换，得 )()())0()((2)0()0()(2
22s X s Y y s sY y y
s s Y s n n n ωωξω=+-+-- 即有
2
22222)0()2)(0()(2)(n
n n n n n s s y
s y s X s s s Y ωξωξωωξωω+++++++= （4.3-36） 式（4.3-36）等号右边的第二项反映初始条件)0(y
，)0(y 对系统响应的影响。

对式（4.3-34）取拉普拉斯反变换，便得到初始条件不为零时的系统的响应
)()()(21t y t y t y +=
其中，)(1t y 就是前面讨论的零初始条件响应分量；)(2t y 称为（非零）初始条件响应分量，又称零输入响应分量。

sin 1)0()0(cos )0( 2)0()2)(0()(2
22
1
2ωξωξωωωξωξωξωξω=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-++
=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++++=---t
d n n d t
n n n e t y
y t y e
s s y s y L t y n n （4.3-37）
式中 )
0()0(1arctan
2y y
n n +
-=ξωξωϕ 10<<ξ
当阻尼比0=ξ时，则有
)0()0(arctan sin()0()0()(2
22y y t y y t y n
n n ωωω+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=（t ≥0） （4.3-38） 由上述讨论可知，非零初始条件响应分量完全由系统的瞬态分量组成，各运动模态的系数和相位与初始条件有关，关于)(2t y 的各项结论与分析)(1t y 所得的相应结论是一致的。

因此，若仅限于对系统固有特性的研究，可以不考虑非零初始条件对瞬态响应过程的影响。

4.3.6 二阶系统的单位脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数时)1)(),()((==s X t t x δ，二阶系统的输出信号)(t y 称单位脉冲响应。

令)()(t t x δ=，则1)(=s X ，由式（4.3-3）可得二阶系统的复数域响应)(s Y 为
2
2
2
2)()()(n
n n s s s X s s Y ωξωω++=⋅Φ= （4.3-39） 对式（4.3-39）取拉普拉斯反变换，或对二阶系统在不同阻尼条件下的单位阶跃响应信号对时间t 求导，均可确定二阶系统的单位脉冲响应。

当阻尼比0=ξ时，无阻尼二阶系统的单位脉冲响应为
t t y n n ωωsin )(=
（t ≥0） （4.3-40） 当阻尼比10<<ξ，欠阻尼二阶系统的单位脉冲响应为
t e t y n t n n 22
1sin 1)(ξωξωξω--=
-
（t ≥0） （4.3-41） 当阻尼比1=ξ时，临界阻尼二阶系统的单位脉冲响应为
t n n te t y ωω-=2
)(
（t ≥0） （4.3-42） 当阻尼比1>ξ时，过阻尼二阶系统的单位脉冲响应为
⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡--=
-+
---
-t
t
n
n n e e t y ωξξωξξξω)1()1(22212)( （t ≥0） （4.3-43）
由式（4.3-41）可以确定单位脉冲响应的最大过调量时间t 为
ξ
ξω2
1arctan
1
-⋅=
d
t 10<<ξ （4.3-44）
并且最大超调量
)1arctan
1exp()(2
2
ξ
ξξ
ξ
ω---
=n p t y 10<<ξ （4.3-45）
对于欠阻尼系统，由于单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，所示单位脉冲响应曲线第一次穿越时间轴时的交点所对应的时间必然是峰值时间d p t π=，并且从时间0到p t 这一段
)(t y 曲线与时间轴所包围的面积（见图4-13）等于)1(p M +，其中p M 单位阶跃的最大超调
量。

4.3.7 二阶欠阻尼系统的单位斜坡响应
当输入信号为单位斜坡信号时)1)(,)((2
s s X t t x ==，二阶欠阻尼系统的复数域内的响应为
2
2221
2)()()(s
s s s X s s Y n n n ⋅++=Φ=ωξωω （4.3-46） 将上式（4.3-46）展成部分分式，然后进行拉普拉斯反变换，可求
)2sin(12)(2
ϕωξ
ωωξ
ξω+⋅-+
-
=-t e t t y d n t
n
n （t ≥0） （4.3-47）
式中)1arctan(2
ξξ
ϕ-=。

式（4.3-47）也可通过对单位阶跃响应的积分并代入零初始条件求出。

由式（4.3-47）看出，二阶欠阻尼系统的单位斜坡响应由两部分组成，一部分是稳态分量
n
ss t y ωξ
2-
= （4.3-48）
另一部分为瞬态分量
)2sin(12
ϕωξ
ωξω+⋅-=
-t e y d n t
t n
（4.3-49） 系统的误差为
)2sin(12)()()()(2
ϕωξ
ωωξ
ξω+⋅--
=
-=-=-t e t y t t y t x t e d n t
n
n
（4.3-50） 当t →∞时，稳态误差为
n
d n t
n
t ss t e e e n ωξ
ϕωξ
ωωξ
ξω2))2sin(12(
lim )(2
=
+⋅--
=∞=-→ （4.3-51）
图4-14为二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应曲线。

由图可以看出，稳态输出是一个与输入等斜的斜坡函数，但有一个位置误差n ωξ2。

这一误差只能通过改变系统结构误差调整，而
不能消除。

增大n ω和减小ξ对系统的平衡性不利。

可采用引入附加控制信号来满足系统的性
能要求。

4.4 高阶系统的时域响应分析
在控制工程中，习惯把三阶或三阶以上的系统称为高阶系统。

除最简单的三阶系统可作出理论分析外，一般来说，对高阶系统的理论分析是困难的。

对具体的高阶系统可进行计算机仿真分析。

本节主要高阶系统的时域响应的确定方法及其性能的分析方法。

4.4.1 高阶系统的数学模型
研究图4-15所示的系统，其闭环传递函数为
)()(1)
()()(s G s H s G s H s +=
Φ （4.4-1）在一般情况下)()(s G s H 为s 的多项式之比形式，)(s Φ一般可写成如下形式
n
n n n m
m m m a s a s a s a b s b s b s b s X s Y s ++++++++==Φ----11101110)()()( （n ≥m ） （4.4-2）
将式（4.4-2）的分子和分母分解因式则又可写成
y (
102
∏∏==--=
------==Φn
j j
m
i i n m p
s z s K p s p s p s z s z s z s K s X s Y s 1
1
2121)
()
()
())(()
())(()()()( （4.4-3）
式中 K —常数，00a b K =；
i z —闭环传递函数的零点),,2,1(m i =； j p —闭环传递函数的极点),,2,1(n j =。

4.4.2 高阶系统的单位阶跃响应
假定闭环传递函数)(s Φ所有的零点和极点互不相同（在实际控制系统中，通常都是如此）；再假定极点中有实数极点和共轭复数极点。

当输入信号为单位阶跃时)1)((s s X =，输出量的拉普拉斯变换（或响应的象函数）可以写成
∏∏∏===++--=
q j r
k k k k j n
i i s s p s s z s K s Y 1
1
2
21
)
2()()
()(ωωξ∑∑==++++-+=r
k k k k k
k
q j j j s s C s B p s A s A 12
2102)(ωωξ （4.4-4） 式中 q —实极点个数，),,2,1(q j =； r —共轭复数急电对数，),,2,1(r k =； n —极点总数，r q n 2+=。

式（4.4-4）中的0A 是)(s Y 在输入极点s 处的留，可按下式计算
n
m
s a b s Y s A =
⋅=→)(lim 0
0 （4.4-5） 即留数0A 为式（4.4-2）中的常数项比值。

式（4.4-4）中的i A 是)(s Y 在闭环实极点i p 处的留数，可按下式计算
)()lim(s Y p s A j p s j j
⋅-=→ ),,2,1(q j = （4.4-6）
式（4.4-4）中的k B 和k C 则是)(s Y 在闭环复数极点2
1k k k k k j p ξωωξ-±-=处的留数有关的常系数。

对式（4.4-4）进行拉普拉斯反变换，可求高阶系统在零初始条件下的单位阶跃响应
t e B e
A A t y r
k k k t k t
p q
j j k k j ∑∑=-=-⋅⋅+⋅+=1
2
1
0)1cos()(ξωωξ （t ≥0）
或者
103
t e B e
A A t y k k r
k t k t
P q
j j k k j )1cos()(2
1
1
0ξωωξ-++=∑∑=-=
t e B C r
k k k t k k k
k k k k k ∑
=----+1
2
2
)1sin(1ξωξωωξωξ（t ≥0） （4.4-7）
由式（4.4-7）可以看出，高阶系统的单位阶跃响应是由一些简单的函数项组成，这些简单的函数包括一阶系统和二阶系统的响应。

如果所有的闭环极点都具有负实部，即所有闭环极点位于S 平面的左半部，则随着时间t 的增大，式（4.4-7）中的指数项和阻尼正弦（余弦）项都将趋向于零，其稳态输出值0)(A y =∞，而且闭环极点的负实部的绝对值越大（离虚轴越远），对应的响应分量衰减越快；反之，则衰减越慢。

另外，高阶系统响应的类型决定于闭环极点的性质和大小。

如果高阶系统没有共轭复数极点，或者说它的闭环极点均为负实数，则瞬态响应是非振荡的（见图4-16）；反之，如果有一对以上的共轭极点，则响应呈阻尼振荡状态（见图4-17）。

两种情况下，响应曲线的形状则主要决定于闭环的零点。

闭环零点影响留数的大小和符号。

如果高阶系统的零点合击点相邻甚近，
甚至几乎重合，构成偶极子，则该极点对应的留数甚小，对瞬态响应几乎无影响。

对高阶系统的时域响应特性的影响去主要作用的极点称闭环主导极点，其它极点称普通极点。

闭环极点经常以共轭复数的形式出现。

闭环主导极点要满以下两个条件：
① 在S 平面上，距虚轴距离比较近，切附近没有其他零点和极点；
② 其实部与其他极点实部的比值大于5。

在这种情况下其他极点的影响可以忽略。

为使高阶系统具有一对共轭复数闭环极点，通常要对其增益作出调整。

如果找到一对共轭复数极点，则高阶系统可以近似地作为欠阻尼二阶系统来分析，其相应的时域性能指标也可以按二阶系统近似计算。

这也是人们如此重视二阶欠阻尼系统时域分析的原因。

4.5 控制系统时域响应的计算和分析
本节简单介绍利用MATLAB 软件分析控制系统时域响应的方法。

MATLAB 是MATrix
LABratory 的缩写，它是基于矩阵数学与工程极端的系统，它的软件中的Control
104
Systems Toolbox 是控制系统分析和设计的强有力的工具，
其中用于计算连续系统时域响应的主要函数如表4-1所示。

当不带输入变量时，函数可在当前窗口中得到系统的时域响应曲线；当带有输出变量引用时，可得系统的时域响应数据。

表4-1 连续系统时域响应函数
例4-4 已知某高阶系统的传递函数为
100
2503052108020100
302)(2
3456
2++++++++=s s s s s s s s s G 试求该系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应、单位速度响应和单位加速度响应。

解 ⑴ MA TLAB 计算程序 num=[2 30 100];
den=[1 20 80 210 305 250 100]; t= (0:0.1:20); figure(1);
impulse(num,den,t);%Impulse Response; figure(2);
step(num,den,t);%Step Response figure(3);
u1=t; % Ramp Iuput; hold on; plot(t,u1);
lsim(num,den,u1,t) ; % Ramp Respone gtext('t');
105
figure(4);
u2=t.*t/2; % Acce Iuput; hold on; plot(t,u2);
lsim(num,den,u2,t) ; % Acce Respone gtext('t*t/2');
⑵计算结果如图4-18所示。

图4-18 例4-4的计算结果
4.6 线性控制系统的稳定性
4.6.1 概述
稳定性是控制系统的重要性能，也是系统能够正常工作的首要或前提条件。

一般来说，稳定性成为区分有用或无用系统的标志。

从工程观点，只有稳定的系统才有实际意义。

因而分析控制系统的稳定并得出控制系统的稳定的工作条件是控制理论的基本任务和重要内容之一。

控制理论对于判别控制系统的稳定性提供了多种方法。

1884年，Routh J E ⋅⋅（劳斯）提出了基。