线性系统理论试题

江 西 理 工 大 学 考 试 试 卷

试卷编号：1112021120B

一、（15分）考虑如图1的质量弹簧系统。其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。

图1

二、（20分）考虑如图2所示系统：

图2

（a ） 给出这个系统状态变量的实现； （b ） 判断系统的能控性

班级 学号 姓名

三、（15分）矩阵A 是22⨯的常数矩阵，关于系统的状态方程式= x

Ax ，有 1(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时，22t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x ；2(0)1⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦x 时，2t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦

x 。

试确定状态转移矩阵(,0)t Φ和矩阵A 。

四、（15分）试求下列系统的能观性分解

⎢⎢

⎢⎣⎡=∙

101x 412- bu Ax u x +=⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥

⎥⎥⎦⎤-100301 [1=y 1- ]cx x =1

五、(20分）（1）利用Lyapunov 第一方法判断系统平衡点0x =的稳定性（10分）

111222124sin 331x x

x x x x

x e x =+-=-++

（2）取Q I =，通过求解Lyapunov 方程判断系统平衡点0x =的稳定性（10分）

1153x x ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦

六、有两个能控能观的单输入—单输出系统： 1S ：111104310u x x ⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-=∙

[]1112x y = 2S ：2222U x x +-=∙

22x y =

（1）按图把1S 、2S 串联，针对[]12x x x =推导状态方程。 （2）判断以上系统的能控性和能观性。

（3）把串联系统的连接顺序颠倒过来，再推算系统的状态方程及能控、能观性。

（4）求1S 、2S 及串联系统的传递函数矩阵，并对（2）和（3）讨论。

五、（10分）取Q I =，通过求解Lyapunov 方程判断系统平衡点0x =的稳定性：

1153x x ⎡⎤

=⎢⎥--⎣⎦

六、（15分）给定单输入连续时间线性时不变受控系统：

u x x ⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡--=∙

11102000

020*********

分别判断是否存在状态反馈阵k ，(说明理由)使闭环特征值配置到下列期望位置：

21

*-=λ

,22*-=λ,23*

-=λ,

24

*-=λ

七、（10分）给定线性定常系统为：

x

y u x x ]01[100010=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∙

试确定全维观测器，且规定其特征值为4,221-=-=*

*λλ.