医学高等数学习题解答
第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)
一、判断题题解
1. 正确。设h (x )=f (x )+f (?x ), 则h (?x )= f (?x )+f (x )= h (x )。故为偶函数。
2. 错。y =2ln x 的定义域(0,+?), y =ln x 2的定义域(??,0)∪(0,+?)。定义域不同。
3. 错。+∞=→20
1
lim
x
x 。故无界。 4. 错。在x 0点极限存在不一定连续。 5. 错。01
lim =-
+∞
→x
x 逐渐增大。 6. 正确。设A x f x x =→)(lim 0
，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有εε+<<-A x f A )(。
7. 正确。反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x )?f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而g (x )在x =x 0处也连续，与已知条件矛盾。 8. 正确。是复合函数的连续性定理。
二、选择题题解
1. ()
)( 22)]([,2)(,)(22
2D x f x x x f x x x ====??
2. y =x (C )
3. 01
sin
lim 0=→x
x x (A )
4. 0cos 1sin
lim
0=→x
x x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 1
1
1
1
1
f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++--
Θ (B ) 6. 3092
-x x (D )
7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是?10。 (A )
8. 设1)(4
--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。 (D )
三、填空题题解
1. 210≤-≤x ?31≤≤x
2. )arctan(3
x y =是奇函数，关于原点对称。 3. 31=
ω,πω
π62==T 。 4. y x -=,可以写成x y -=。
5. 设6
t x =，1,1→→t x ，3
2
11lim 11lim 213
21=+++=--→→t t t t t t t 6. 2
arctan π
≤
x 有界，01
lim
=∞→x
x ，故极限为0。 7. 42
)
2sin(2
lim )2sin(4lim
222=--+=--→→x x x x x x x 8. c x c x c x x b ax x ++-=+--=++)1())(1(2
2
?)1(,+-==c a c b ,而5)(lim 1
=+-→c x x ，得c =6, 从而
b =6, a=?7。
9. 1sin sin 10
10
)
sin 1(lim )sin 1(lim --?-→→=-=-e x x x
x
x x x
x
10. 5
2
522cos 15sin 522sin lim 5sin 2cos 2sin lim 5sin 2tan lim
000=???=?=→→→x x x x x x x x x x x x x
11. 设u =e x ?1，1ln 1
)1ln(1lim )1ln(lim 100==+=+→→e
u u u u
u u 12. 由0=x 处连续定义，1lim )(lim 0
===+-+→→x
x x e a x a ，得：a =1。
四、解答题题解 1. 求定义域
(1) ???≥-≥???
?≥-
≥0
)1(000
x x x x x x , 定义域为),1[+∞和x=0 (2) ??
?
??≥-≤-025151
2x x ????≤≤-≤≤-5564x x ?定义域为]5,4[-
(3) 设圆柱底半径为r ，高为h ，则v=?r 2h , 2r v h π=
，则罐头筒的全面积??? ?
?+=+=r v r rh r S 22
222πππ，
其定义域为(0,+?)。
(4) 经过一天细菌数为)1(0001r N r N N N +=+=，经过两天细菌数为2
01112)1()1(r N r N r N N N +=+=+=,故
经过x 天的细菌数为x
r N N )1(0+=，其定义域为[0,+?)。
2. 12)(+-=
x x x f ，41222)2(-=+---=
-f ，)1( 1
2
)(-≠+++-+=+b a b a b a b a f 。 3. u
e y =,x
t t v v u 1,sin ,3
=
==。 4. 证明：)1()()1ln(ln )1(ln )]1([++=++=+=+x f x f x x x x x x f 。
5. 令x +1=t , 则x=t ?1。???≤<-≤≤-=???≤-<-≤-≤-==+32 , )1(22
1 , )1(211 , )1(2110 , )1()()1(22t t t t t t t t t f x f ，所以：
?
??≤<-≤≤-=32 , )1(22
1 , )1()(2x x x x x f 。
6. 求函数的极限
(1) 原式=34
3
/1131
12/1121
1lim 11
=----
++→∞n n n 。
(2) 原式=??
??????? ??+-++??? ??-+??? ??-
∞
→111
3121211lim n n n Λ=1111lim =???
??+-→∞n n 。 (3) 原式=3
211)1(3lim x x x x -++-→=
112lim )1)(1()2)(1(lim 2121=+++=++-+-→→x x x
x x x x x x x 。 (4) 原式=313233
22lim =+??
? ??+??? ??∞
→n n
n 。
(5) 原式=20sin 2sin 2lim
x x x x →=4sin 22sin 4lim 0=??→x x
x x x 。
（P289常见三角公式提示） (6) 原式=x x x x x arctan arcsin lim 210?→，令t x =arcsin ，则x t =sin ，1sin lim arcsin lim
00==→→t t
x
x t x 令t x =arctan ，则x t =tan ，1cos sin lim tan lim arctan lim
000=?==→→→t t t t t x x t t x ，原式=2
1
。 (7) 原式=(
)
3
tan 31
2
2tan 31lim ?→+x
x x
=()3
tan 31
2
02tan 31lim ??
? ??+→x x x = e 3。 (8) 原式=122
1
21221lim -?+→∞
??
?
??
++
x x x =2
21
21221lim ??
??
?
????? ??+++∞→x x x ?11221lim -→∞??? ??
++x x = e 2。
(9) 原式=)1sin 1(2
sin 2sin lim 20++→x x x x
x x =11
sin 11
2sin 2sin lim
22
0=++?
????? ??→x x x x x x x 。
(10) 令a x t -=，则t a x +=，原式=a t a t e t
e e =-→)
1(lim
0(填空题11)。 7. 221233sin 21a a a S =?=
π，242233sin 2221a a a S =??=π，262232
3
3sin 2221a a a S =??=π，?， 2211233sin 2221a a a S n n n n =??=--π, ??? ??+++=n a S 4141
41322Λ=)(334
1141141322∞→→-?
??
??-n a a n
8. 指出下列各题的无穷大量和无穷小量
(1) 0cos 1sin lim
0=+→x x
x ，为无穷小量。
(2) 01arctan lim 2
=+→∞x x
x ，为无穷小量。
(3) 0sin lim =?-∞
→x e x
x ，为无穷小量。
(4) ∞=+→x
x x sin 1
lim
0，为无穷大量。
9. 比较下列无穷小量的阶
3111lim
31=--→x x x ，1)1(2
11lim 21=--→x x x ，当x ?1时，1?x 与1?x 3是同阶无穷小。1?x 与)1(212x -是等阶无穷小。 10. 当x ?0
时，x 2是无穷小量，当
x ??时，x 2是无穷大量；当
x ?±1时，321x x -是无穷小量，当x ?0时，3
21
x
x -是无穷大量；当x ?+?时，e ?x 是无穷小量，当x ???时，e ?x 是无穷大量。 11. 16319)112()132()1()3(2
2
=-=+?-+?=-=?f f y 。 12. 1sin lim 0
=-
→x x x ，b b x x x =??
?
??++→1sin lim 0，?b =1，2)0(+=a f =1，?a=?1
13. []22
11
11
2
1
)1(1lim lim e x x
x x x x =??? ??-+=-→-→，2 , )1()(lim 21=?=∴=→k e e f x f k x Θ 14. 设2)(-=x
e x
f ，01)0(<-=f ，02)2(2
>-=e f ，由介质定理推论知：在(0,2)上至少存在一点x 0
使得0)(0=x f ，即02=-x
e 。
15. 设x b x a x f -+=sin )(，它在[0,a +b ]上连续，且0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f ，若0)(=+b a f ，则a+b 就是方程0)(=x f 的根。若0)(<+b a f ，由介质定理推论知：至少存在一点??(0, a+b ), 使得0)(=ξf ,即?是0)(=x f 的根。综上所述，方程b x a x +=sin 至少且个正根，并且它不超过a+b 。 16. (1)312630126)0(0=+=
e w (g )；(2)2630126lim 32max =+=-+∞→t t e
w (g )；(3)t e 3230126226-+=?530ln 23
≈=t (周)。 17. 设)()()(x g x f x F -=，则F (x )在[a,b ]上连续，0)()()(>-=a g a f a F ，0)()()(<-=b g b f b F ，由介质定理推论知：至少存在一点??(a, b ), 使得0)(=ξF 。即)()(0)()(ξξξξg f g f =?=-。所以)(x f y =与)(x g y =在(a,b )内至少有一个交点。
第二章 一元函数微分学习题题解(P66)
一、判断题题解
1. 正确。设y =f (x ), 则00)lim (lim lim lim 0
000
=?'=???? ??
??=???
??????=?→?
→?→?→?y x x y x x y y x x x x 。 2. 正确。反证法。假设)()()(x g x f x F +=在x 0点可导，则盾。故命题成立。
3. 错。极值点也可能发生一阶导数不存在的点上。
4. 错。如图。
5. 错。拐点也可能发生二阶导数不存在的点上。
6. 错。不满足拉格朗日中值的结论。
7. 错。设x x f =)(, x
x g 1
)(=
，则：1)()()(=?=x g x f x F ， 显然)(x f 在0=x 点的导数为1，)(x g 在0=x 点的导数不存在，而)(x F 在0=x 点的导数为0。是可导的。
8. 错。设3x y =和3x y =，显然它们在(??,+?)上是单调增函数，但在0=x 点3
x y =的导数为0，3x y =的导
数不存在。
二、选择题题解
1. 设切点坐标为),(00y x ，则切线的斜率020
x y k x x ='==，切线方程为：)(2000x x x y y -=-过)1,0(-得
2
0021x
y =+，又有
2
00x
y =，解方程组
???==+2
02
0021x y x y 得：10=y ，10±=x ，切线方程为：12-±=x y 。(A ) 2. 可导一定连续。(C ) 3. 连续但不可导。(C ) 4. 因为),(),(12b a x x ?∈ξ。(B )
5. 321, x y x y ==，在x=0处导数不存在，但y 1在x=0处切线不存在，y 2在x=0处切线存在。(D )。
6. ,1sin lim 0)0sin(lim
)0(00=??=?-?+='→?→?-x x x
x f x x 10)0(lim )0(0=?-?+='→?+x x f x 可导。(C )
7. x x e e f 5)(=，x
x e e f 55)(='。(B )
8. 01sin lim 0
01
sin
)0(lim
020
=??=?-?+?+→?→?x
x x x x x x 。(B )
三、填空题题解
1. 1
1)(2
-=
'x x x f ,3
211
)2(21)2(2
=
---=
-'f 。
2. x x x cot csc )(csc ?-='
3. y y x y xy y x xy x x '+='+??'+='1)()cos()(])[sin(, )
cos(11
)cos(xy x xy y y --='。
4. xdx x e e d x x 2cos )(2sin sin 2
2
??=。
5. )3)(2(63666)(2
-+=--='x x x x x f ，当32<<-x 时，0)(<'x f ，单调调减小。 6. )](ln )([ln 2
1ln x g x f y -=?
???? ??'-'='?)()()()(211x g x g x f x f y y ????
? ??'-'?=')()()()()(2)(x g x g x f x f x g x f y 。 7. 3
235
)(x x x f -=，()25313235)(3313
2-=-=
'-x x
x x x f ，当52=x 时，)(x f 由减变增，取得极小值。 8.
x e dx dy
+=1，x
e dx
dy dy dx +=
=111。 四、解答题题解
1. g t g g t g t g t S t t -=??
? ???--=????
??--??? ???+-?+='→?→?102110lim 2110)1(21)1(10lim
)1(020 2. (1)x
x x x x x ?=?-?+?+→?→?1sin
lim 0
01
sin
)0(lim
00
不存在，)(x f 在0=x 不可导。 (2) 01sin lim 0
01
sin
)0(lim
020
=??? ?
????=?-?+?+→?→?x x x x x x x ，)(x f 在0=x 可导，且0)0(='f 。
3. ∞=?=?-?+-→?→?αα1001
lim 0)0(lim
x x
x x x 不可导。
4. 过)1,1(与)4,2(两点的割线斜率为31
21
4=--=
k ，抛物线2x y =过x 点的切线斜率为x y 2='，故32=x ，得49,23==y x ，??
?
??49,23即为所求点。
5. 过),(00y x 点作抛物线2
x y =的切线，设切点为),(2
x x ，应满足x x x y x 20
2=--方程，若方程有两个不等的
实根x ，则说明过),(00y x 点可作抛物线的两条切线。整理方程得：02002
=+-y x x x ，当04402
0>-=?y x 时，
方程有两个不等的实根。也就是要满足2
00x y <即可。
6. 求下列函数的导数。 (1) a a nx
a x y x n x
n
ln )(1
+='+='-
(2) x
x x y 11)5ln (+
='++=' (3) 1sin cos sin )cos sin (1
+-+='++='-x x x x nx x x x x y n n n
(4) 2
3222422211
tan 2cos 111tan 2sec )arctan tan (x
x x x x x x x x x x x x x y ++-=++-='+=' (5) x
x
x x x x y 22sin ln 2cos )ln 2sin 21(+
?='?=' (6) 2
)1(sec tan sec )1()1ln(1sec x x x x x n x x y +-+='
??
?
??+++=' 7. 求下列函数的导数。 (1) 112111
)1()1()1()
1(-----+=?+='+?+='n n n n n n n n n x x n nx x n x x n y
(2) x x x x x x x x y 3sec 33tan 2)3(tan 3tan )(2
2
2
2
+='+'=' (3) 2
22
12cot 12sin cos ])1ln(sin [ln x x
x x x x x x x y +-=+-=
'+-=' (4) )
12ln()12(2
12)12()12ln(1)12ln(])12[ln(++=+'+?+=+'+==
'x x x x x x x y
(5) x x
x
x x x x x x y sec 2cos cos 2sin 1cos sin 1cos ])sin 1ln()sin 1[ln(2==-++=
'--+='
(6) [
]
x
x x x x x x x x x x x x x x x x y ln )ln(ln 6ln ln 3)ln(ln 2ln ))(ln (ln 3)ln(ln 2ln )(ln )ln(ln 2]))[ln(ln ln(ln 2)(ln ln 3323
3
23333
333
2=='='='='
=' 8. kt
kt
e kn e n t n 00][)(='='，k e
n e kn t n t n kt
kt
=='00)()(。 9. 求下列函数的导数。 (1) x x y ln sin ln =，
x x x x y y sin ln cos 1+='?，??? ?
?+='x x x x x y x sin ln cos sin
(2) []x x x y 2sin ln )3ln()1ln(2ln 21
ln -++++=
，??
? ??-+++='?x x x x y y 2sin 2cos 23111211，
??
?
??-+++++==??? ??-+++++=
'x x x x x x x x x x x x y 2cot 231112sin 2)3)(1(2cot 231112sin )3)(1(221 (3) x
x y =ln ,x x y ln ln ln =，
1ln ln )(ln +='
x y y ，)1(ln ln +='x y y
y ，)1(ln ln +='x y y y ,)1(ln +?='x x e y x x x (4) x x y arctan ln ln =，
211arctan arctan ln x x x x y y +?+=', ???
? ??++='x x x x x y x arctan )1()ln(arctan )(arctan 2 10. 求下列函数的n 阶导数。
(1) x y 5=，5ln 5x
y ='，5ln 52
x y =''，…，5ln 5)(n x n y =
(2) bx a y cos =，???
?
?+
=-='2cos sin πbx ab bx ab y ，??? ?
?++=??? ??+-=''22cos 2sin 2
2πππbx ab bx ab y ，()??? ?
?
+
=+-='''23cos sin 33ππbx ab bx ab y ，…，??? ?
??+=2cos )(πn bx ab y n
n
(3) x y ln =，11
-==
'x x
y ，2--=''x y ，32-='''x y ，…，n n n x n y ---?-=)!1()1(1)( 11. 求下列隐函数的导数。
(1) 0)3(3
3
='-+x axy y x ，0)(3332
2
='+-'+y x y a y y x ，2
2y ax ay
x y --='
(2) 同填空题3。y y x y xy y x xy x x '+='+??'+='1)()cos()(])[sin(, )
cos(11
)cos(xy x xy y y --=
'。
(3) x x xy
y xe y )(cos )('='+?y y y x y xe e y xy
xy
'?-='+++'sin )(?xy
xy
e
x y e xy y 2sin 1)1(+++-='
(4) 1)(1)(])[arctan(2
='++'
+?'='+y xy y x y x y xy x x ?222211y x x y x y y +++-=
' 12. 求下列函数的微分。 (1) xdx e x d e e
d dy x x x
cos )(sin )(sin sin sin ===
(2) x
x x
x x x x
e
dx e e
x d e e e d e d dy 42422
222121)2()
(1)()(arcsin -=
-=
-=
=
(3) dx x x x x x d x x x x d dy ????
??--
+=++=+=211
1)arccos cos()arccos ()arccos cos()]arccos [sin( (4) dx x
e dx x e
x d e
e
d dy x
x
x
x
2
arctan 22arctan 2arctan 2arctan 21212)arctan 2()(+=+=== 13. 求5、ο
31sin 近似值。
(1) 设x x f =)(，则x
x f 21)(=
'，取84.42.22
0==x ，16.0=?x ，则2.284.4)(0==
x f ，
227.084
.421
)(0==
'x f ，故236.216.0227.02.2)()()(5000=?+=?'+≈?+=x x f x f x x f
(2) 设x x f sin )(=，则x x f cos )(='，取6
300π
=
=ο
x ，180
1π
=
=?ο
x ，则2
130sin )(0=
=ο
x f ，2330cos )(0=
='οx f ，故515.0180
2321)()()(31sin 000=?+
=?'+≈?+=πx x f x f x x f ο
14. 证明下列不等式。
(1) 设x x x f tan )(-=，则0tan sec 1)(2
2≤-=-='x x x f ，)(x f 在??? ??-2,2ππ上单调递减。当??
? ??-∈0,2πx 时，
)0()(f x f >，即x x tan >，当??
?
??∈2,0πx 时，)0()(f x f <，即x x tan <，当0=x 时，)0()(f x f =，即x x tan =，
综上所述，当??
? ??-∈2,2ππx 时，x x tan ≤。
(2) 设)1ln(11
1)1ln(1)(x x
x x x x f +++-=+-+=
,当0>x 时,0)1(11)1(1)(2
2<+-=+-+='x x x x x f ,有)0()(f x f <,即
)1ln(1x x x +<+；设)1ln()(x x x f +-=,当0>x 时,01111)(>+=+-='x
x
x x f ,有)0()(f x f >,即)1ln(x x +>；综
上所述，当0>x 时，有
x x x
x
<+<+)1ln(1。 (3) 设x e x f x --=1)(，则1)(-='x e x f ，当0>x 时,0)(>'x f ，有)0()(f x f >，即01>--x e x
；当0
；综上所述)0( 1≠+>x x e x
。
15. 求下列函数的极限。
(1) )2ln(cos )5ln(cos lim 0x x x →=x
x x x
x 2cos 2sin 25cos 5sin 5lim 0--→=x x x x x x x 5cos 2cos 2sin 255sin 25lim 250?
??→=4
25
(2) p q x q
p
x x x
x x -→→++=ln lim ln lim 00=p
q x px x q --→-+10ln lim =p q x x p x q q --→--+220)(ln )1(lim =…=p
n n q x x p x n q q q --→-+--+)(ln )1()1(lim 0Λ=0 (分子和分母分别求n 阶导数，使n >q ) (3) x
x x x x x x x e e x ln sin lim ln sin 0
sin 0
lim lim +
→++==→→=10
=e
x x x x x x sin 1ln lim ln sin lim 00+
+→→==x
x x x 20sin cos 1
lim -+→=x
x x x cos sin lim 20+→=0sin cos cos sin 2lim 0=-+→x x x x x x (4) x
x x
x x x
x x e
e
x
--→-→→==1ln lim
1ln 111
1
1lim lim =)
1(11lim 1-?→x x e
=1
-e
(5) x x x x x x e
x x sin ln
10
10
2
2
lim sin lim →→=??
?
??=2
sin ln
lim
x x x
x e →=x
x x x x x x x e 2sin cos sin lim 2
0-?
→=x x x
x x x e sin 2sin cos lim
20-→=66
11e
e
=
-
x x x x x x sin 2sin cos lim
20
-→Θ=x x x x x x x x x cos 2sin 4cos sin cos lim 20+--→=x x x x x cos 2sin 4sin lim 0+-→=)sin (cos 2cos 4cos lim 0x x x x x x -+-→=6
1
- (6) x x x
x x x
x x e
e
x ln cot ln lim
ln cot ln 0
ln 1
0lim )
(cot lim +→++==→→=1cos sin lim
0--=+→e e
x x x
x
16. 证明下列不等式。
(1) 令x x x f -=sin )(,因为f ?(x )?cos x ?1?0 (x ?0), 所以当x ?0时f (x )↘, f (x )?f (0)?0 ? sin x ?x ；
令g (x )?6/sin 3
x x x +-, 则：g ?(x )?2/1cos 2
x x +-，g ??(x ) ? ? sin x ?x , g ???(x )= ? cos x ?1?0 (x ?0), 有g ??(x )↗
?g ??(x ) ?g ??(0)?0?g ?(x )↘, g ?(x )?g ?(0)?0?g (x )↗?g (x )? g (0)?0 ? sin x ?x ?x 3/6。综上所述： x ?sin x ?x ?x 3/6
(2) 令p
p x x x f )1()(-+=, f (x )在[0,1]连续且f (0)?f (1)?1，f ?(x )? p ?x p ?1?(1?x )p ?1?,令f ?(x )?0得x =1/2为驻点。
f ??(x )?p (p ?1)?x p ?2?(1?x )p ?2??0,有极小值12
1212121-=??? ??+??? ??=??? ??p p
p f ，1)(211≤≤∴-x f p 1)1(211≤-+≤?-p
p p x x
17. 确定下列函数的单调区间。
(1) x x y 63-=，定义域(??,+?)，)2(3632
2-=-='x x y ，令0='y ，解得2±=x ，增减性如下表：
(2) x x y sin +=，定义域(??,+?)，0cos 1≥+='x y ，令0='y ，解得Λ,2,1,0,)12(±±=+=k k x π，均是孤立驻点，故在(??,+?)单调递增。
(3) 7123223+--=x x x y ，定义域(??,+?)，12662
--='x x y
=)1)(2(3+-x x ，令0='y ，解得2,1-=x ，增减性如右表： 18. 求下列函数的极值。
(1) )1ln(x x y +-=，定义域(?1,+?)，x y +-='111=x
x +1，令0='y
极值见右表：
(2) x x y ln =，定义域(0,+?)，x
x x y 12ln +=
'=x x 22
ln +，
令0='y ，解得2
-=e x ，极值见如右表：
(3) x x y 1+
=，定义域(??,0)∪(0,+?)，211x y -='，32
x
y =''，令0='y ，解得1±=x ，02)1(<-=-''y 有极大值2)1(-=-y ，02)1(>=''y 有极小值2)1(=y 。 19. 求下列函数在所给区间内的最大值和最小值。 (1) x x f 45)(-=
是[?1,1]上的连续函数，0452
)(<--=
'x
x f 减函数且无驻点，但有一个不可导点
14
5
>=
x ，它不在[?1,1]上，故3)1(max =-f ，1)1(min =f 。 (2) 23)(2
+-=x x x f 是[?10,10]上的连续函数，此函数可用分段函数表示?
??+-≤≤+--=其它 , 232
1 , )23()(22x x x x x x f ，
???><-<<+-='2
1 , 322
1 , 32)(2x x x x x x f 或，令0)(='x f ，得：
23=x ，0)2()1(==f f ，41)23(=f ，132)10(=-f ，72)10(=f ，比较得：132max =f ，0min =f 。 (3) 2
2
)(-=x x f 是[?5,5]上的连续函数，此函数可用分段函数表示?
??≥<=--2 , 22
, 2)(22x x x f x x ，分段点为2=x ，
1)2(=f ，???><-='--2
, ln222 , ln22)(22x x x f x x ，无驻点。72)5(=-f ，3
2)5(=f ，比较得：128max =f ，1min =f 。
20. 2
3
bx ax y +=，bx ax y 232
+='，b ax y 26+=''，因为(1,3)为曲线的拐点，所以有?
?
?=?+?=+3110
262
3b a b a ，解之得：23-
=a ，2
9
=b 。 21. 11
2+-=x x y ，2
22)1(12+++-='x x x y ，322)1()14)(1(2++-+=''x x x x y ，令0=''y ，解得11-=x ，323,2±=x ，11-=y ，4313
,2±-=y ，可验证???
? ??+-+???? ??-----431,32,431,32),1,1(是曲线的三个拐点。下面论证此三点在一条直线上。只要证明过任意两点的直线的斜率相同即可。
4133433132143112121=--=+-+--=--=x x y y k ，4
13343
31321
43113132=++=++++-=--=x x y y k ，21k k =得证。 22. )1(0b w w be w kt
+=+-，kt
be
b w w -++=
1)1(0两端对t 求导数：0)(='+-+'--w e w ke b w kt
kt ?2
0)
1()1(1kt kt
kt kt be e b bkw be w bke w ----++=+=' 23．设t dR R R 2.002.00+=+=，2
222)2.002.0(r t r R v -+=-=，
2min /)08.0008.0(2.0)2.002.0(2cm t t dt
dv
+=?+=。 24. (1)求出现浓度最大值的时刻：)(122)(18.0t t
e e
t C ---=,)18.0(122)(18.0t t e e t C --+-=',令0)(='t C ，解
得唯一驻点82
.018.0ln -=t 。)18.0(122)(18.02t t e e t C ---=''，
)18.0(122)82.018.0ln (82
.018.0ln 82
.018.0ln 18.02
--
-?--=-''e
e C
=)18.0(12218.0ln 41
50
18.0ln 41
9
2
e e
-=)18.018.018.0(12241
5041
92
-?=0)18.018.0(12241
5041
91<-有极大值。也为最大值。
(2)求出现浓度变化率最小值的时刻：令0)(=''t C ，解得唯一驻点41
.018
.0ln -=
t 。
)18.0(122)(18.03t t
e e
t C --+-=''',)18.0(122)41.018
.0ln (41
.018.0ln
41
.018.0ln 18.03---?-+-=-'''e
e
C =)18.0(12218.0ln 41
18
3
18.0ln 41
100
e
e
-
=)18.018.018.0(12241
183
41
100?-=0)18.018.0(12241
14141
100>-有极小值。也为最小值。
25. 求w '何时达最大值。)66.1()5.341ln(ln -=--t k w w ?)
66.1(15
.341t k e
w -+=
…①， k w w
w w ='?---'?5.34111?)5.341(5.3412w w k w -='…②，
()()w w k w w w k
w '-='?-'=
''25.3415.34125.3415.341，令0=''w ，得：2
5.341,0=='w w 。 由0='w ?0)5.341(=-w w ，而0≠w ?w =，由①得0)
66.1(=-t k e 无解。
由2
5.341=
w ?1)
66.1(=-t k e
，得：66.1=t 是唯一驻点。[]
w w w w k w ''?-'-''='''2)(25.3415.3412， 当66.1=t 时，25.341=w ，k w 4
5
.341='，0=''w ，0<'''w 有极大值。也为最大值。
26. 讨论下列函数的凹凸性和拐点
(1) )0(2
2
2
>+=a x a a y ，定义域(??,+?)，2
222)(2x a x
a y +-='，322222)()3(2x a a x a y +-=''，令0=''y ，得3
a x ±
=，43
=y ，列表讨论。 (2) x x y sin +=,定义域(??,+?),x y cos 1+=',x y sin -='',令0=''y ,得πk x =,),2,1,0(Λ±±=k ,当
()ππk k x 2,)12(-∈时,0>''y ,曲线是凹的。当()ππ)12(,2+∈k k x 时,0<''y ,曲线是凸的。拐点为：
()ππk k ,。
27. 讨论下列函数的单调性、极值、凹凸性、拐点和渐进线，并画出它们的大致图形。 (1) 2
x e y -=，定义域(??,+?)，是偶函数，0lim 2
=-→∞
x x e
，有水平渐进线0=y ，2
2x xe y --='，
)12()]2([222
22-=-+-=''---x e x xe e y x x x
(2) x x y -+=11ln
，定义域(?1,1)，)()(x f x f -=-是奇函数，∞=-+-→x x x 11ln lim 1，∞=-++-→x
x
x 11ln lim 1有垂直渐进线
1±=x ，2
12
x y -=
'无驻点，但当1±=x 时导数不存2
2)1(4x x y -=''，令0=''y ，得0=x 。
(3) x x y 63-=，定义域(??,+?)，是奇函数，无渐进线。632
-='x y ，x y 6=''，令0='y ，得驻点2±=x ，令0=''y ，得0=x ，列表讨论。0)0(=f ,0)6(=±f ,22)2(μ=±f (4) 2x x e e y -+=，定义域(??,+?)，是偶函数，无渐进线。2x x e e y --='，2
x x e e y -+=''，令0='y ，得驻
点0=x ，而0>''y ，列表讨论。
x
(5) x x y arctan +=，定义域(??,+?)，是奇函数，1arctan lim lim =+==∞→∞→x
x x x y a x x ，)(lim ax y b x -=∞→ =[]2)arctan (lim π±
=-+∞
→x x x x ，有两条渐进线011
12
>++='x
y 无驻点，22)1(2x x y +-=''，令0=''y ，得(6) 2
211arccos x x y +-=，定义域(??,+?)，是偶函数，π=-=+-∞→)1arccos(11arccos
lim 22
x x x ，有一条水平渐进线y=?,x x x y )1(22+='=?????>+<+-0 , 120 , 122
2x x x x ，???????>+-<+=''0 , )
1(40 , )1(42222x x x x x x y =0)1(42
<+-x x ，01arccos )0(==f ，0arccos )1(π
=
=±f 。
28. 已知不在同一直线上的三点),(11y x A 、),(22y x B 和),(33y x C ；试用i i y x ,表示?ABC 的面积。 解：由P55例42知：直线b kx y +=到),(00y x 的距离为：2
001k
b kx y d +--=
。那么，直线AB 的方程为：
)(112121x x x x y y y y ---=
-?1
221121212x x y
x y x x x x y y y --+--=，AB 两点间的距离为：212212)()(y y x x -+-，?ABC
的面积=
233
2122121)()(21
k
b kx y y y x x +--?-+- =
2
12121
22
1123121232122121)()(2
1
???
? ??--+---?---
?-+-x x y y x x y x y x x x x y y y y y x x
=
1
22
122
121
22112312123212212)
()()
()()()()(2
1
x x y y x x x x y x y x x y y x x y y y x x --+-------?-+-
=
)()()(212112312123y x y x x y y x x y -----=)()(2
1
133221133221x y x y x y y x y x y x ++-++ 29. 椭圆)(122
22b a b
y a x >=+的切线与x 轴y 轴分别交于A 、B 两点，(1)求AB 之间的最小距离；(2)求三角形
?OAB 的最小面积。
解：椭圆方程：122
22=+b y a x …①如图。设切点坐标为),(00y x ，
则y a x b y 22-='…②，此点切线斜率为：0
20
2y a x b k -=，切线方程为：
)(00
20
20x x y a x b y y --=-。
令0=y ，02022
022********x a x b y a x b x b y a x x =+=+=，坐标)0,(02
x a A 。
令0=x ，0202
202202022020y b y a y a x b y a x b y y =+=+=，坐标),0(0
2
y b B 。 (1) 20
4
2042
2
2
y b x a oB oA AB +=+=。可设2424y b x a l +=，令022343
4='?-+-='x x y y b x a l ，将②代入得：0223434=???
? ??-?+y a x b y b x a ?2332
x a b y =，代入①得驻点：b a a x +±=3，b a b y +±=3。
'???
? ??+-=''--4
26
3422xy a b x a l =()x y xy y a b x a '?-+---542644426=???? ??-?-+---y a x b xy y a b x a 22542644426 =042662224264
4>???
? ??++---y x a b y a b x a 有极小值。2
3434)()()(b a b a b b a a b
a b b b a a a l +=+++=+++=，故AB 之间的最小距离是b a +。
(2) 可设面积12222)(2121-=??=xy b a y b x a S ，)()(21222y x y xy b a S '+-='-=???? ?
?-+--y a x b x y xy b a 22222)(21， 令0='S ，得：2222
x a b y =，代入①得驻点：2a x =，2
b
y =(三角形边长取值应大于零)。
'
??
? ??
-=''---1222322121y x b a y b S =()
y y x y x b a y y b '---'------2213224222123
=???? ?
????? ??----???? ??-------y a x b y x y x b a y a x b y b 22
221322224222123=34322524223xy b y x b a y a x b -+ 3
43225242222222232,2??
?
????? ??-??? ????? ??+??? ??
?
?
?
??
=??? ??''b a b b a b a b a a b b a S =a b a b ab 246-+=026>+a b ab 有极小值。 ab b a b a b a S =??
? ????? ??=
???
??2222,222，故三角形的最小面积为a ?b 。 第三章 一元函数积分学习题题解(P108)
一、判断题题解
1. 错。是原函数的全体，记作
?+C dx x f )(。
2. 错。)(x f 的任意两个原函数之差为常数。
3. 错。是C x F +)(。
4. 正确。
5. 错。被积函数在x =0处无界。
6. 正确。x y sin ='，00='=x y
7. 正确。被积函数是奇函数，积分区间对称。 8. 正确。
二、选择题题解
1. )()(x f x x x f -=--=-被积函数是奇函数，积分区间对称，定积分为零。或
?
-1
1
dx x x =
??
+--1
20
1
2dx x dx x
=1
30 133131x x +--=[]0)01(31)1(031=-+---。(A )
2.
?+∞
∞-+dx x 211=?∞-+0 211dx x +?+∞+0 211dx x =0 arctan ∞-x ++∞0
arctan x =ππ
π=-+??? ??--0220。(A ) 3. 正确的是C 。 4.
dx x f a
a
?
-- )(x
u du
dx -=-=====令du u f a
a
?
-- )(=dx x f a
a
?- )(。(D )
5. 令u ax b =-，du adx =-，du u f a dx ax b f ??
-=-)(1)(=C u F a +-)(1=C ax b F a
+--)(1
。(B ) 6. 令x
e x F -=)(，则x
e x
f --=)(，dx xe dx x xf x ?
?--=)(=()
?-x e xd =?
---dx e xe x x =C x e x
++-)1(。(D )
7.
dt t x
?
+1
4
1u
du
u x
u
t u
du dt 211
2
2?
+========
令=du u u x ?+1 121，???? ??+?dt t dx d x 1 41=x x +121。(D ) 或
??? ??+?dt t dx d x 1 41=)()(14'+x x =x x
x x
+=+1212112
8.
?'''dx x f x f )()(=?'')()(x f d x f =[][]C x f x f d +'='?22)(2
1)(21，2)(x e x f -=，2
2)(x xe x f --=' []C x f +'∴2)(21 =()
C xe x +--22
22
1=C e x x +-2222。(B ) 三、填空题题解 1. ?
+dx x x )1ln(2
=
?++)1()1ln(2
122x d x =??? ??+?+-++?222212)1()1ln()1(21x xdx x x x =[]
?-++xdx x x 2)1ln()1(212
2 =
[]
C x x x +-++222)1ln()1(2
1
。 2. dx kx ?-π
π 2
sin =dx kx ?--π
π 22cos 1=π
π
2sin 2121-??? ??-kx k x = ?。
3.
?xdx arctan =?
+-?dx x x x x 2
1arctan =C x x x ++-?)1ln(2
1
arctan 2。 4. dx lx kx ?-π
π sin sin =[]dx x l k x l k ?---+-π
π )cos()cos(21=π
π
)sin(1)sin(121-???
??---++-x l k l k x l k l k = 0。
5. dx e
e x x ?-+1=dx e e x x ?+12=?+2)(1x x e de =C e x
+arctan 。 6. ?+1
2cos x tdt dx d =)1()1cos(22'+?+x x =)1cos(22+x x 。 7. ?xdx 2sin =C x +-2cos 2
1
。
8. 这是积分上限函数，由定理3知：)()(x f x Φ='，x
xe y ='∴。
四、解答题题解
1. 分别对三个函数求导数，结果皆为x
2
，所以它们是同一函数的原函数。 2. (1) 错。C x F +)(是不定积分。 (2) 错。
?dx x f )(是)(x f 所有原函数。
(3) 正确。设C x F =)(是)(x f 的一个原函数，则)(0)(x f x F =='。 (4) 正确。因为积分变量不同，造成被积函数不同。 (5) 正确。因为1-≠n 时，C x n dx x n n
++=+?
1
1
1。 3. 求下列不定积分 (1)
dx x ?
-)31(2
=C x x +-3 (2) dx x x
?+)2(2
=
C x x ++3
3
12ln 2 (3) dx x x ?+1
=dx x x ?-+)(2
121
=C x x ++-+++-+12
112112
1121=C x x ++21
23232 (4)
dx x x ?
-)3(=dx x x ?-)32
123=C x x ++23
2525
2
(5) dx x x ?+221=dx x x ?+-+22111=dx x ???
? ??+-2111=C x x +-arctan