大学数学课件一
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随着重量的增加，邮局邮寄包裹的价格；
随着路程的增大，乘坐出租车的费用；
……
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有些事物的变化则是连续的
比如：
随着时间的推移，一辆汽车行走距离、速度 的变化；人的动作； 随着时间的推移，某地气温的变化； 随着半径的增大，圆盘面积的变化； 随着气压的增高，水的沸点的变化； ……
（5）微积分的严密化
19世纪初，法国数学家柯西建立了严格 的极限理论，后来德国数学家魏尔斯特 拉斯等加以完善，从而形成了严密的实 数理论。由此把微积分的无矛盾性问题 归结为实数系统的无矛盾问题。
微积分得以严密化的基础是： 实数系统的完备性（或连续性）
微积分研究的对象、内容及工具
对象：函数 内容：微分、积分，以及连接微分 与积分的桥梁——微积分基 本定理。 工具：极限
有理数 实数 无理数
记号： 有理数集 Q； 实数集 R
数系扩充的科学道理
自然数中减法产生负数， 整数系统； 整数中除法产生分数， 有理数系统；
自然数中开方产生无理数， 实数系统；
负数中开方产生虚数， 复数系统。
有理数集的性质
有理数集是最小的数域（代数性质） 有理数的运算及其法则来源于整数； 有理数集在四则运算下是封闭的，而 且加法、乘法满足结合律与交换律， 并且乘法对加法满足分配律，具有这 种性质的数集叫做数域。
初等数学时期
（公元前6世纪至公元17世纪）
古希腊数学（公元前6世纪至公元6世纪）
第一个时期：从伊奥尼亚学派 到柏拉图学派为止，约为公元 前七世纪中叶到公元前三世纪
• 伊奥尼亚学派（泰勒斯，几何论证之父） 开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物 的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一 个不寻常的飞跃. • 毕达哥拉斯学派 “万物皆数”，勾股定理 • 柏拉图学派 “不懂几何者不得入内．” 重视数学的严谨性，在教学中，坚持准确地定 义数学概念，强调清晰地阐述逻辑证明，系统 地运用分析方法和推理方法.
说 说 有 理 数 的 缺 陷
从代数上看，有理数在 开方运算下不封闭；
从几何上看，有理数在 数轴上还有许多缝隙； 从分析上看，有理数对 极限运算不封闭。
实数数集产生的必要性
由于有理数有许多不完备的地方，如果不对有理 数进行扩充，关于极限的运算就无法进行，从而 也就不会有微积分。 有理数扩充的直接结果是实数集。 关于实数，长期以来，人们只是直觉地去认识： 有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无 限不循环小数，有理数与无理数统称为实数。
数学的萌芽时期 （至公元前六、五世纪）
• 大约在三百万年前，人类还处于茹毛饮血 的原始时代，以采集野果，围猎野兽为生. 在集体劳动和“平均”分配的体制下，他 们学会了在捕获一头猎物后用一块石子、 一根木头来代表……如此等等. 后来，人 类在日常生活和生产实践中渐渐产生了计 数的意识，并摸索出了多种计数方法，开 始了结绳计数，掷石数羊和土地测量. 这 也就是数学的源起. • 巴比伦，古埃及，古印度
Weierstrass (1815 ～1897) 德国数学家 先修财务、管理、法律， 后学数学 1854年，哥尼斯堡大学 名誉博士；1856年，柏 林科学院院士 数论、几何、复分析
一、实数
将所学过的数归纳如下：
有理点在数轴上稠密分布， 不具有连续性
对和、乘法、 减法封闭
正整数( ) 零
进入封建时代后，数学的发 展经历了一个黑暗的时期. 直到欧洲文艺复兴，数学重 新进入了一个伟大的时代！
§1 微积分的基础－集合、 实数和极限
• 1.1 从牛顿的流数法和第二次数学危机谈 起 （1）微积分的建立 a. 进入 17 世纪，科技发展给数学提出了四 类问题： 瞬时速度问题； 曲线的切线； 函数极值问题； 求积问题(曲线长度、图形面积等)。
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微积分研究函数的基本观点是
以静代动；以直代曲。
1.3 实数系的建立及邻域概念
传统的处理方法 视为公理； 利用实数的直观表示：无限小数； 利用戴德金分割理论。
b. 英国数学家牛顿（Newton,1642---1727） 和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646--1716)分别独立地建立了微积分。
牛顿
莱布尼茨
c.牛顿、莱布尼茨对微积分的主要贡献
澄清概念——特别是建立导数（变化率） 的概念； 提炼方法——从解决具体问题的方法中提 炼、创立出普遍适用的微积分方法； 改变形式——把概念与方法的几何形式变 成解析形式，使其应用更广泛； 确定关系——确定微分和积分互为逆运算。
连续性变化的情况涉及到每一个瞬间， 涉及到“无穷小”的时间段内的变化情况， 人类是无法精确捕捉到的。如何研究？ 动画片如何表现连续动作？ 切片！很短时间内的一种静止画面。
“微小的差异”是微分积分的奥秘！
观察某一微小变化 = 微分
连接一系列微小变化 =积分
微分：函数的局部性质
函数表示的是因变量依赖于自变量的变化关 系，函数值反映的是变化结果，但不能反映 变化速度。函数的微分刻画的正是函数的瞬 时变化速度。
有理数是有序的、可数的（ 集合性质 ） 像自然数一样，有理数可以比较大 小，是有序的，因此可以在数轴上 排列出来。可以与自然数一一对应。
-1 0 ½ 1
有理数在数轴上是稠密的、和谐的 （几何性质）。 稠密性： 任意两个有理数之间，必然 存在第三个有理数，而不管这两个有 理数有多么接近。 和谐性： 有理数之间相处得亲密无间， 对任意一个给定的有理数，永远找不 到一个与之最接近的有理数。
第一次数学危机
• 希帕索斯， 2 的发现 • 否定了毕达哥拉斯学派的信条 • 直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才 是可靠的. 从此希腊人开始由“自明的” 公理出发，经过演绎推理，并由此建立几 何学体系，这不能不说是数学思想上一次 巨大革命，这也是第一次数学危机的自然 产物. • 第一次数学危机的产物—古典逻辑与欧氏 几何学
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函数既有具有具体表达式的初等函数
常值函数； 幂函数与根式函数； 三角函数与反三角函数；
指数函数与对数函数
通过它们的有限次四则运算、复合运算所得到的函 数及其反函数。 ……
也有更多的不能具体通过代数式表示、 但却具有实际意义的函数，以及一般的 抽象函数。
微积分：研究连续性变化
函数：物质世界的基本模型
世界是物质的，物质是运动的，运动是 相互联系的。这种相互联系的物质运动大都 可以被数学家抽象为以数量之间的变化关系 为基本特征的数学模型——函数。数学模型 是人类认识与改造世界的一个基本手段。
有些事物的变化是离散的
比如：
随着时间的推移，中国奥运金牌的数量；
随着时间的推移，母鸡下蛋的数量；
1845 年出生于圣彼得 堡，犹太人后裔。 11 岁 时 进 入 德 国 ， 1867 年获柏林大学的 博士学位，1872 年升 为教授。 1874 年开始研究比较 无穷集的元素多少问 题。
戴德金﹐R. (Dedekind, Richard) 1831年10月 6日生于 德国不伦瑞克； 1916 年2月12 日卒于 不伦瑞克。 数学家。
微积分基本定理——牛顿-莱布尼茨公式。
极限：人类认识无限的必要手段
由于生理的原因，人类只能看到有限时 间、有限范围内的事物；只能判断、测量在 一定时间段内事物的变化量与平均变化速度。 要认识无限变化的事物，要确定事物瞬时变 化的情况等，极限是一个有效工具。
平均速度 VS 瞬时速度
时刻 t 之后 s 秒内的平均速度 = s 秒内的行走路程 d/s 时间幅度 s 无限趋近于0 → 时刻 t 的瞬时 速度
Question
如何定义实数？如何表示实数？ 实数是否能够填满整个数轴？ 实数是否是有序的？ 实数运算如何进行？法则如何？
19世纪，德国数学家 康托（G. Cantor, 1845---1918）、 戴德金(J. W. R. Dedekind, 1831—1916) 、 魏尔斯特拉斯（ K. W. T. Weierstrass, 1815— 1897 ） 通过对无理数本质进行深入研究，奠定了 实数构造理论，明确解决了以上问题。
回忆——
什么是“数” ？
数是用来反映量的，是量的抽象.
自然数：0，1，2，3，…. 分数：有限小数或无限循环小数. 分数都是有限小数或无限循环小数，反之亦然.
整数（integer)：0， 1,2, .
有理数（rational number): 0 和正负分数.
无理数（irrational number): 正负无限不循环小数.
第二次数学危机
• 无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾. 牛 顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量； 1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两 个正在消逝的量的最终比”所代替. 但是，他始终无 法解决上述矛盾. 莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比 例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找 到从有限量过渡到无穷小量的桥梁. • 英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数) “是消失了的量的鬼魂”他说，用忽略高阶无穷小而消 除了原有的错误， “是依靠双重的错误得到了虽然 不科学却是正确的结果” . 很显然，贝克莱抓住了 当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问 题，尽管他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而 不是出自对科学的追求和探索，事实上大大地促进了 数学发展. • 罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集.”在那个勇
－1
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1 这里 有有 理数
x
这两位 之间有 有理数
从代数上看， 有理数在四则运算下是封闭的， 看 构成一个数域。 看 从几何上看，有理数在数轴上是稠密的， 有 因此，要去度量任何一件实际事物， 理 不论要求多高的精度， 数 只要有理数就够了。 从集合上看，有理数是有序的、可数的， 优 点 可以在数轴上排列出来， 可以与自然数一一对应。
1．文科生为什么要学习大学数学？
数学是一种语言，一切科学的共同语言 —— 严密性、精确性 数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙 —— 科学素养 数学是一种工具，一种思维的工具 —— 理性思维 数学是一门艺术，一门创造性艺术 —— 美的熏陶
数学发展的五个时期 • • • • • 数学的萌芽时期 初等数学时期 变量数学时期 近代数学时期 现代数学时期
（2）微积分的特点 与以往的数学相比：微积分的突出 特点是可以研究不断变化的事物现 象 ——运动，是变量数学的标志。 （3）微积分的应用 从17世纪末到19世纪初，微积分理 论被广泛而有效地应用于物理、天 文等领域。
（4）微积分存在的问题
理论体系粗糙，极不严密。它的一 些定理和公式在推导过程前后出现 逻辑矛盾，使人们感到难以理解， 这种矛盾集中体现在对“无穷小量” 的理解与处理中。
直边图形面积 VS 曲边图形面积
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平均速度 VS 瞬时速度
积分：函数的整体性质
一个运动器每一时刻都有一个瞬时速度， 从而会行走一段距离；但是在一定时间内， 速度可能在变，如何知道变速运动在一定时 间内的运行路程，这就是积分问题。积分问 题是研究函数的整体变化性质。
对于一个给定函数来说，局部与整体是 一个事物的两个方面，二者是对立的统一。 因此，微分与积分具有密切关系，积分 问题是由函数的局部性质研究整体性质。建 立二者关系的桥梁是
自然数( )
( )有理数 整数( )
负整数( )
对和、乘法 封闭，对减 法不封闭
( )实数
( )复数
具有连续性
分数 正分数
负分数
( c )无理数 正无理数
随着路程的增大，乘坐出租车的费用；
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有些事物的变化则是连续的
比如：
随着时间的推移，一辆汽车行走距离、速度 的变化；人的动作； 随着时间的推移，某地气温的变化； 随着半径的增大，圆盘面积的变化； 随着气压的增高，水的沸点的变化； ……
（5）微积分的严密化
19世纪初，法国数学家柯西建立了严格 的极限理论，后来德国数学家魏尔斯特 拉斯等加以完善，从而形成了严密的实 数理论。由此把微积分的无矛盾性问题 归结为实数系统的无矛盾问题。
微积分得以严密化的基础是： 实数系统的完备性（或连续性）
微积分研究的对象、内容及工具
对象：函数 内容：微分、积分，以及连接微分 与积分的桥梁——微积分基 本定理。 工具：极限
有理数 实数 无理数
记号： 有理数集 Q； 实数集 R
数系扩充的科学道理
自然数中减法产生负数， 整数系统； 整数中除法产生分数， 有理数系统；
自然数中开方产生无理数， 实数系统；
负数中开方产生虚数， 复数系统。
有理数集的性质
有理数集是最小的数域（代数性质） 有理数的运算及其法则来源于整数； 有理数集在四则运算下是封闭的，而 且加法、乘法满足结合律与交换律， 并且乘法对加法满足分配律，具有这 种性质的数集叫做数域。
初等数学时期
（公元前6世纪至公元17世纪）
古希腊数学（公元前6世纪至公元6世纪）
第一个时期：从伊奥尼亚学派 到柏拉图学派为止，约为公元 前七世纪中叶到公元前三世纪
• 伊奥尼亚学派（泰勒斯，几何论证之父） 开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物 的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一 个不寻常的飞跃. • 毕达哥拉斯学派 “万物皆数”，勾股定理 • 柏拉图学派 “不懂几何者不得入内．” 重视数学的严谨性，在教学中，坚持准确地定 义数学概念，强调清晰地阐述逻辑证明，系统 地运用分析方法和推理方法.
说 说 有 理 数 的 缺 陷
从代数上看，有理数在 开方运算下不封闭；
从几何上看，有理数在 数轴上还有许多缝隙； 从分析上看，有理数对 极限运算不封闭。
实数数集产生的必要性
由于有理数有许多不完备的地方，如果不对有理 数进行扩充，关于极限的运算就无法进行，从而 也就不会有微积分。 有理数扩充的直接结果是实数集。 关于实数，长期以来，人们只是直觉地去认识： 有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无 限不循环小数，有理数与无理数统称为实数。
数学的萌芽时期 （至公元前六、五世纪）
• 大约在三百万年前，人类还处于茹毛饮血 的原始时代，以采集野果，围猎野兽为生. 在集体劳动和“平均”分配的体制下，他 们学会了在捕获一头猎物后用一块石子、 一根木头来代表……如此等等. 后来，人 类在日常生活和生产实践中渐渐产生了计 数的意识，并摸索出了多种计数方法，开 始了结绳计数，掷石数羊和土地测量. 这 也就是数学的源起. • 巴比伦，古埃及，古印度
Weierstrass (1815 ～1897) 德国数学家 先修财务、管理、法律， 后学数学 1854年，哥尼斯堡大学 名誉博士；1856年，柏 林科学院院士 数论、几何、复分析
一、实数
将所学过的数归纳如下：
有理点在数轴上稠密分布， 不具有连续性
对和、乘法、 减法封闭
正整数( ) 零
进入封建时代后，数学的发 展经历了一个黑暗的时期. 直到欧洲文艺复兴，数学重 新进入了一个伟大的时代！
§1 微积分的基础－集合、 实数和极限
• 1.1 从牛顿的流数法和第二次数学危机谈 起 （1）微积分的建立 a. 进入 17 世纪，科技发展给数学提出了四 类问题： 瞬时速度问题； 曲线的切线； 函数极值问题； 求积问题(曲线长度、图形面积等)。
0.6
0.7
0.8
0.9
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1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
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0.3
0.4
0.5
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微积分研究函数的基本观点是
以静代动；以直代曲。
1.3 实数系的建立及邻域概念
传统的处理方法 视为公理； 利用实数的直观表示：无限小数； 利用戴德金分割理论。
b. 英国数学家牛顿（Newton,1642---1727） 和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646--1716)分别独立地建立了微积分。
牛顿
莱布尼茨
c.牛顿、莱布尼茨对微积分的主要贡献
澄清概念——特别是建立导数（变化率） 的概念； 提炼方法——从解决具体问题的方法中提 炼、创立出普遍适用的微积分方法； 改变形式——把概念与方法的几何形式变 成解析形式，使其应用更广泛； 确定关系——确定微分和积分互为逆运算。
连续性变化的情况涉及到每一个瞬间， 涉及到“无穷小”的时间段内的变化情况， 人类是无法精确捕捉到的。如何研究？ 动画片如何表现连续动作？ 切片！很短时间内的一种静止画面。
“微小的差异”是微分积分的奥秘！
观察某一微小变化 = 微分
连接一系列微小变化 =积分
微分：函数的局部性质
函数表示的是因变量依赖于自变量的变化关 系，函数值反映的是变化结果，但不能反映 变化速度。函数的微分刻画的正是函数的瞬 时变化速度。
有理数是有序的、可数的（ 集合性质 ） 像自然数一样，有理数可以比较大 小，是有序的，因此可以在数轴上 排列出来。可以与自然数一一对应。
-1 0 ½ 1
有理数在数轴上是稠密的、和谐的 （几何性质）。 稠密性： 任意两个有理数之间，必然 存在第三个有理数，而不管这两个有 理数有多么接近。 和谐性： 有理数之间相处得亲密无间， 对任意一个给定的有理数，永远找不 到一个与之最接近的有理数。
第一次数学危机
• 希帕索斯， 2 的发现 • 否定了毕达哥拉斯学派的信条 • 直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才 是可靠的. 从此希腊人开始由“自明的” 公理出发，经过演绎推理，并由此建立几 何学体系，这不能不说是数学思想上一次 巨大革命，这也是第一次数学危机的自然 产物. • 第一次数学危机的产物—古典逻辑与欧氏 几何学
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函数既有具有具体表达式的初等函数
常值函数； 幂函数与根式函数； 三角函数与反三角函数；
指数函数与对数函数
通过它们的有限次四则运算、复合运算所得到的函 数及其反函数。 ……
也有更多的不能具体通过代数式表示、 但却具有实际意义的函数，以及一般的 抽象函数。
微积分：研究连续性变化
函数：物质世界的基本模型
世界是物质的，物质是运动的，运动是 相互联系的。这种相互联系的物质运动大都 可以被数学家抽象为以数量之间的变化关系 为基本特征的数学模型——函数。数学模型 是人类认识与改造世界的一个基本手段。
有些事物的变化是离散的
比如：
随着时间的推移，中国奥运金牌的数量；
随着时间的推移，母鸡下蛋的数量；
1845 年出生于圣彼得 堡，犹太人后裔。 11 岁 时 进 入 德 国 ， 1867 年获柏林大学的 博士学位，1872 年升 为教授。 1874 年开始研究比较 无穷集的元素多少问 题。
戴德金﹐R. (Dedekind, Richard) 1831年10月 6日生于 德国不伦瑞克； 1916 年2月12 日卒于 不伦瑞克。 数学家。
微积分基本定理——牛顿-莱布尼茨公式。
极限：人类认识无限的必要手段
由于生理的原因，人类只能看到有限时 间、有限范围内的事物；只能判断、测量在 一定时间段内事物的变化量与平均变化速度。 要认识无限变化的事物，要确定事物瞬时变 化的情况等，极限是一个有效工具。
平均速度 VS 瞬时速度
时刻 t 之后 s 秒内的平均速度 = s 秒内的行走路程 d/s 时间幅度 s 无限趋近于0 → 时刻 t 的瞬时 速度
Question
如何定义实数？如何表示实数？ 实数是否能够填满整个数轴？ 实数是否是有序的？ 实数运算如何进行？法则如何？
19世纪，德国数学家 康托（G. Cantor, 1845---1918）、 戴德金(J. W. R. Dedekind, 1831—1916) 、 魏尔斯特拉斯（ K. W. T. Weierstrass, 1815— 1897 ） 通过对无理数本质进行深入研究，奠定了 实数构造理论，明确解决了以上问题。
回忆——
什么是“数” ？
数是用来反映量的，是量的抽象.
自然数：0，1，2，3，…. 分数：有限小数或无限循环小数. 分数都是有限小数或无限循环小数，反之亦然.
整数（integer)：0， 1,2, .
有理数（rational number): 0 和正负分数.
无理数（irrational number): 正负无限不循环小数.
第二次数学危机
• 无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾. 牛 顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量； 1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两 个正在消逝的量的最终比”所代替. 但是，他始终无 法解决上述矛盾. 莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比 例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找 到从有限量过渡到无穷小量的桥梁. • 英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数) “是消失了的量的鬼魂”他说，用忽略高阶无穷小而消 除了原有的错误， “是依靠双重的错误得到了虽然 不科学却是正确的结果” . 很显然，贝克莱抓住了 当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问 题，尽管他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而 不是出自对科学的追求和探索，事实上大大地促进了 数学发展. • 罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集.”在那个勇
－1
0
1 这里 有有 理数
x
这两位 之间有 有理数
从代数上看， 有理数在四则运算下是封闭的， 看 构成一个数域。 看 从几何上看，有理数在数轴上是稠密的， 有 因此，要去度量任何一件实际事物， 理 不论要求多高的精度， 数 只要有理数就够了。 从集合上看，有理数是有序的、可数的， 优 点 可以在数轴上排列出来， 可以与自然数一一对应。
1．文科生为什么要学习大学数学？
数学是一种语言，一切科学的共同语言 —— 严密性、精确性 数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙 —— 科学素养 数学是一种工具，一种思维的工具 —— 理性思维 数学是一门艺术，一门创造性艺术 —— 美的熏陶
数学发展的五个时期 • • • • • 数学的萌芽时期 初等数学时期 变量数学时期 近代数学时期 现代数学时期
（2）微积分的特点 与以往的数学相比：微积分的突出 特点是可以研究不断变化的事物现 象 ——运动，是变量数学的标志。 （3）微积分的应用 从17世纪末到19世纪初，微积分理 论被广泛而有效地应用于物理、天 文等领域。
（4）微积分存在的问题
理论体系粗糙，极不严密。它的一 些定理和公式在推导过程前后出现 逻辑矛盾，使人们感到难以理解， 这种矛盾集中体现在对“无穷小量” 的理解与处理中。
直边图形面积 VS 曲边图形面积
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平均速度 VS 瞬时速度
积分：函数的整体性质
一个运动器每一时刻都有一个瞬时速度， 从而会行走一段距离；但是在一定时间内， 速度可能在变，如何知道变速运动在一定时 间内的运行路程，这就是积分问题。积分问 题是研究函数的整体变化性质。
对于一个给定函数来说，局部与整体是 一个事物的两个方面，二者是对立的统一。 因此，微分与积分具有密切关系，积分 问题是由函数的局部性质研究整体性质。建 立二者关系的桥梁是
自然数( )
( )有理数 整数( )
负整数( )
对和、乘法 封闭，对减 法不封闭
( )实数
( )复数
具有连续性
分数 正分数
负分数
( c )无理数 正无理数