弹簧、连杆机构的优化设计应用实例

一，确立弹簧优化模型 ⑴确定设计变量 影响弹簧重量的参数有弹簧钢丝直径d，弹簧中径D2， 弹簧总圈数n1。他们都是独立的参数。故取这三个参数为 设计变量。
先按连续变量处理。
⑵建立目标函数 该问题是追求弹簧重量最轻为目标，因此，以弹簧重量 作为目标函数
其中， 为钢丝材料的密度，
将 具体数值代入，并用x1，x2，x3代表设计变量，可写出 目标函数
第三次计算， ，步长虽然很小，但所得结果仍 很差，原因是在给定 及 的条件下 迭代点达到了邻近约束边界的死点。在它四周的迭代点或 是函数值增大，或是落入非可行域，于是终止迭代，输出 了伪最优解。这就是在约束坐标轮换法中曾阐明的退化现 象。克服这一弊病的办法是采取不同的初始点和步长，进 行多次运算后则其最优的方案作为问题的最优解，迭代路 线见下页图。
为剪应力幅
为平均剪应力
其中：
K为曲度系数，按近似式计算有
为应力修正系数，按下式确定
为载荷幅，
为平均载荷
将
， ， ， 带入
，
中，得
经整理得约束条件
②稳定性条件 防止失稳的条件是最大工作载荷F2不大于压缩弹簧稳定性 的临界载荷FC，即 F2≤FC
临界载荷按下式计算
式中，H0为弹簧自由高度，它等于压并高度Hb与压并变 形量 之和，即
弹簧实际刚度表示为
式中，G为材料剪切弹性模量，合金钢 n为弹簧工作圈数，弹簧两端磨平，支撑圈数取1.75， 则n=n1-1.75 得约束条件为
⑥旋绕比条件 设计要求旋绕比C≥6（C=D2/d）,则有约束条件 ⑦其他界限约束
弹簧中径范围20≤D2≤50，则有约束条件
弹簧总圈数限制
二，选择优化方法并进行计算 该问题维数较低，可采用约束随机法。选取初始点
其中 取 为弹簧的最大变形量
K为弹簧要求具有的刚度
为弹簧的最大变形量
为长度折算系数，按一端固定，一段铰支考虑，取 D2位弹簧中径。
于是有约束条件
③无共振条件 弹簧在高频率变载荷的作用之下，为避免发生共振现象， 应进行共振条件的验算，设弹簧工作频率为fr，一阶自振频 率为f，无共振的条件为
已知，
给定初始步长 三，计算结果 最优点
最优值
上面的最优解是连续性的，需进一步离散化处理，从略。
http://mdesign.tyut.edu.cn/kuai_ su/index.asp
⑶确立约束条件 按照弹簧的使用要求，依据对圆柱形压缩螺旋弹簧的设 计与计算公式，可列出如下各项设计约束 ①疲劳强度条件 按题目要求，疲劳强度安全系数S不小于许用的安全系 数Smin，即满足
取
式中， 为弹簧材料的剪切屈服极限，可取 为抗拉强度极限 为弹簧材料的脉动循环疲劳极限，考虑到弹簧的材料，工 作温度，可靠度，热处理等因素，确定为
，两端固定钢制弹簧自振频率为
于是得约束条件为
④弹簧致并圈的条件 为了保证弹簧在最大工作载荷作用下不发生并圈现象，则 要求弹簧在最大载荷F2作用下的高度H2大于压并高度Hb， 即
于是有约束条件
⑤刚度误差要求
设按弹簧的受力与变形要求，弹簧应有的刚度为K，而按 已选参数使计算得的弹簧实际刚度为 。题意规定其相对 误差不超过0.01。即
8.2弹簧的优化设计
本节只介绍普通圆柱压缩螺旋弹簧的优化设计。
实例：
有一气门弹簧。已知：安装高度h1=50.8mm，初载荷 F1=272N，最大工作载荷F2=680N，工作行程h=10.16mm 弹簧工作频率fr=50Hz，弹簧丝材料为50CrVA，油淬回火， 喷丸处理；弹簧工作温度为126oC，弹簧中径范围： 20mm≤D2≤50mm，总圈数：4≤n1≤50，支撑圈数n2=1.75 旋绕比C≥6，安全系数取1.2，弹簧刚度相对误差不超过0.01 试按重量最轻原则选出弹簧的参数方案。
机械优化设计应用实例
连杆机构的优化设计 弹簧的优化设计
8.1连杆机构的优化设计
连杆机构运动学设计的基ຫໍສະໝຸດ Baidu问题，可以归结为实现已知 运动规律和已知运动轨迹两大类。目前，对连杆机构的运 动综合问题采用优化方法已经很普遍。 本节通过一个铰链四杆机构实现主，从动构件给定函数 关系的设计问题，来说明最优化方法在连杆机构运动学综 合方面的应用。
二，选择优化方法及结果分析 该题维数较低，用哪一种优化方法都适宜。这里选用约束 坐标轮换法。 计算时，曾用若干组不同的初始数据进行计算，从中选出 其中三组。见课本表8.1 由其中的计算结果可以看出，第二次计算结果应为最优解。
， 为相对杆长。最后，根据机构的结构设计需要按一定 的比例尺求出机构实际杆长L1，L2，L3，L4。 下面对表中第一，三次结果进行分析。 第一次计算： 初始步长 ，输出结果为 ， 离实际最优点甚远。产生这种情况的原因是 取得太大。当 迭代点到达上述位置时，由于此处目标函数等值线是下凹的， 在该点四周的迭代点均失败，因此就误作为最优输出。此解称 为为最优解。消除此故障的办法是，规定足够小的正数 ，当 步长 时，即使四周迭代点均失败也不终止迭代，而是将 减半，直至达到 为止。
一，建立优化问题的数学模型
1，确定设计变量
铰链四杆机构按主从动连架杆给定的角度对应关系进行 设计时，各杆长度按同一比例缩放并不影响主，从动杆转 角的对应关系。因此可把曲柄长度作为单位长度，即令 L1=1，其余三杆表示为曲柄长度的倍数，用其相对长度l2， L3，l4作为变量。一般考虑，本问题与初始角 ， 也有 关系，所以变量本应为l2，l3，l4， 和 五个。但是两 转角变量并不是独立变量，而是杆长的函数。写出如下式
设 ， 分别为对应于摇杆在右极限位置时曲柄和摇杆 的位置角，见下图。他们是以机杆架AD为基线逆时针度量 的角度。 要求设计以曲柄摇杆机构，当曲柄由 转至 度时， 实现摇杆的输出角 与曲柄转角 之间的如下函数关系
并要求在给定的范围内， 机构最小传动角不得小于 许用值 ，取 求此问题最优解，做法 如下。
其中，式中的角度右下图可得到
由以上几个式子构成了一个目标函数的表达式。对应于每 一个机构设计方案x，即可算出输出角的偏差平方和F(x)。
3，确立约束条件 本题的设计受到两个方面的限制，其一是保证铰链四杆 机构满足曲柄存在的条件，其二是在传递运动过程中的最 小传动角大于45度。 ⑴按传动角要求建立约束条件 由余弦定理a图
对于该机构设计问题，可以取机构输出角的平方偏差 最小为原则建立目标函数。为此，将曲柄转角为 的区间分成n等分，从动摇杆输出角也有相对 应的分点。若各分点标号记作i，以各分点输出角的偏差 平方和作为目标函数，则有
式中的有关参数按如下步骤及公式计算 ①曲柄各等分点的转角
i=0，1，2，……，n
②期望输出角 i=0，1，2，……，n ③实际输出角 按下页图计算
整理得约束条件
同理由上页b图传动角最小位置写出
整理得约束条件
⑵按曲柄存在条件建立约束条件
写成约束条件有
用全部约束条件画成次下图所示的平面曲线，则可见， g3(x)~g7(x)均是消极约束。而可行域D实际上只是由g1(x) 与g2(x)两个约束条件围成的。综合上述分析，本题的优 化数学模型如下
D：
可见， 和 已由机构的相对杆长所决定，独立变量只有 l2，l3，l4三个 为了进一步缩减设计变量，还可以在这三个独立变量中 预先选定一个。根据机构在机器中的许可空间，可以适当 预选机架的长度，本题取l4=5。 最后确定该优化问题的设计变量
2，建立目标函数
机构学理论已经证明，用铰链四杆机构实现两链架杆 对应转角的函数关系，由于机构独立的参数的数目最多 为五个，因此近似的实现预期的运动要求。在本题中， 从动摇杆欲实现输出角的函 数关系，而机构实际上只能 实现下图虚线所示的近似关 系。 输 出 角 函 数 图