高一数学 对数及其运算

在科学技术中，以e 2.71828…为底的对数叫做自然 对数.logeN通常记作 lnN
ln N lg N 2.3026 lg N lg e
在科学计算器中，可以直接求自然对数
小结：
(1）对数的概念，计算
（2)利用对数的运算性质，可以将两正数 的积、商、幂的对数进行转化，大大的方 便了对数式的化简和求值.
因为24 =16，所以log2 16 4；
因为2-1 =
1 2
，所以
log
2
1 2
1；
（二）常用对数
以10为底的对数叫做常用对数.
log10 N记作 lg N
如果以后没有指出对数的底，都是指 常用对数.如“100的对数是2”就是“100 的常用对数是2”
例2 求lg10，lg100，lg 0.01
定义：一般地，如果ab＝N（a>0，且
a≠1），那么数b叫做以a为底N的对数
记作 b＝log Na （a>0，且a≠1），
其中，数a叫做对数的底数，N叫做真 数，读作“b等于以a为底N的对数
知识探究：对数与指数的关系
思考1:当a>0，且a≠1时，若ax＝N，则x ＝logaN，反之成立吗？
思考2:在指数式ax＝N和对数式x＝logaN 中，a，x，N各自的地位有什么不同？
（四）换底公式与自然对数
在求底数不是10 的对数时，可以根据对数的性质，
利用常用对数进行计算
换底公式：
证明:设log b
Nlo=gbxN， = lloo则 ggaaNb
bx =N
两边取以a为的对数，得
xloga b=loga N
所以
x= loga N loga b
即
logb N=
loga N loga b
推广:loga(N1N2…Nk）＝…… 语言叙述：
（2） loga
M N
log a M
-
loga N
语言叙述：
（3） logaM logaM
语言叙述：
例题 讲解
例3 将下列指数式写成对数式:
(1)54=625
(2)26 1 64
解: log5625=4.
解:
1 log 2 64 6.
4.求下列各式的值:
(1)log39=2; 是32 9.
(2)log5125=3; 是53 125.
1 (3)log 2 4 2;
(4)log 3
1 81
4.
是22 1 . 4
是34
1 .
(1)log1515 =1 (2)log0.41 =0 (3)log981 =2 (4)log2.56.25=2 (5)log7343=3 (6)log3243 =5
(D).logaN=2
解.根据对数的定义, N=a2中的指数2叫做以
a为底N的对数,记作 logaN=2. ∴应选 D.
4. 若 logx 7 y z ,则( )
(A).y7=xz (B).y=x7z (C).y=7•xz (D).y=z7x
课堂练习
1.将下列指数式写成对数式: 3.求下列各式的值:
例5. (1)求 log279的值
解:设log279=b, 由对数式的定义则有27b=9,
再化为
33b=32,∴3b=2.
b
2 3
.
log
27
9
2. 3
(2)已知 2logx8=4,求x 的值. 解:由2logx8=4, 先化简得 logx8=2, 由对数式的定义则有 x2=8.
x 8 2 2.
对数logaN(a>0,且a 1)具有以下性质： （1）0和负数没有对数，即N>0
(2)1的对数为0，即loga1=0; (3)底的对数等于1，即logaa=1
例1求 log 2
2，log2
1，log2
16，log2
1 2
.
分析：考虑对数的定义
解：因为21=2，所以log2 2 1；
因为20 =1，所以log2 1 0；
(3)3a=27
解:
(4) 1 m 5.73 解:
3
log327=a.
log 1 5.73 m.
3
例4 将下列对数式写成指数式:
(1) log 1 16 4
2
(2)log2128=7
解:
1 4
16.
2
解: 27=128.
(3)lg0.01=-2
解: 10-2=0.01.
补充 例题
练习：P97， p99, p101
作业： P106 习题3-2 A组：1,２，3.
解：因为101=10, 所以lg10=1 因为102 =100, 所以lg100=2 因为10-2 =0.01, 所以lg0.01=-2
（三）积、商、幂的对数
思考:求下列三个对数的值：log232， log24 ， log28．你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？
结论: （1） loga（M·N）＝logaM十logaN
随堂 检测
1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
(A).100=1与lg1=0
(B). log55=1与51=5.
1
(C).log 3 9 2与92
3
1
(D).27 3
1 3
与
log 27
1 3
1 3
解:∵只有C中两式的底数不同(一为3,另一为9)∴C不正确,选C.
2.以7为底, 343 的对数等于( )
a
Nx
指数式ax＝N 指数的底数 幂 幂指数
对数式x＝ 对数的底数 真数 对数 logaN
思考4:若ab＝N，则b＝logaN ，二者组 合可得什么等式？
对数恒等式： ａloga N N
思考3:当a>0，且a≠1时，loga（-2），loga0存在 吗？为什么？由此能得到什么结论？
思考4:根据对数定义，logal和logaa（a>0， a≠1）的值分别是多少？
（一）：对数的概念
思考1:若24＝M，则M＝？ 若2－2＝N，则N＝？
思考2:若2x＝16，则x＝？ 若2x＝ 1 ,则x＝？ 4 若4x＝8， 则x＝？ 若2x＝3， 则x＝？
思表考示，3:即满x足＝2lx＝og32的3，x的并叫值做，“我以们1 4 2用为lo底g323 的对数”.那么满足2x＝16，2x＝ ，4x ＝8的x的值可分别怎样表示？
(A).
2
1 .
3 49
(B). 4 1 .
3
2
(C). 2.
(D).
3
2 3
.
解 : 343 3 49
73 2
73
3 2
ห้องสมุดไป่ตู้7 3
21
73
log7
343 3 49
2 1 应选A. 3
随堂 检测
3.如果N=a2(a>0,且a≠1),则有( )
(A).log2N=a
(B).log2a=N
(C).logNa=2
(1)23=8; 是log28=3
(1)log525
=2
(2)log 2
1 16
=-4
(2)25=32; 是log232=5
(3)21 1 ; 2
1
(4)27 3
1.
3
是 log
2
1 2
1.
是 log
27
1 3
1 3
.
2.将下列对数式写成指数式:
(3)lg100 =2 (4)lg0.01 =-2
(5)lg10000 =4 (6)lg0.0001 =-4