第4章 刚体和刚体系统的平衡

第4章 刚体和刚体系统的平衡

4-1 质点系和刚体的平衡条件

例1：如图所示的平面刚架，在B 点处受到一水平力P =20kN 的作用，刚架自重不计，试求A 、D 处的约束力。 解：（1）选刚架为研究对象。

（2） 画受力图。根据三力汇交定理，RA 的指向如图所示。 （3） 列平衡方程。

0548

∑=+=A R P X 05440∑=+=A D R R Y kN 4.22-25-==P R A

kN 1051-==A D R

R

例2：梁AB 受一力偶作用，其矩m = -100kN·m 。尺寸如图所示，试求支座A 、B 的反力。 解：（1）取梁AB 为研究对象

2）画受力图 由支座A 、B 的约束性质可知，RB 的作用线为垂直方向，而RA 的作用线方向不定。由于力偶只能与力偶相平衡，因此力RA 与力RB 必定组成一个力偶，其大小满足RA=RB ，指向如图所示。

3）列平衡方程求未知量 由平面力偶系的平衡方程有：

例3：在水平梁AB 上作用一力偶矩为M 的力偶，在梁长的中点C 处作用一集中力P 它与水平的夹角为θ ，如图所示。梁长为l 且自重不计。求支座A 和B 的反力。 解：取水平梁AB 为研究对象，画受力图。

例4：水平外伸梁AB ，若均布载荷q =20kN/m ，P =20kN ，力偶矩m =16kN·m ，a =0.8m 。求支座A 、B 处的约束力。

A

kN

R R kN R m R M A B A A 2020050i ===⇒=-=∑

0cos -F 0A ∑==θP X x θ

cos F A P x =0

F 2sin -M -0)(∑

=+∙=l l P F M B i A θ2

sin M F θ

P l B +=0

F -2sin M

-0)(A B ∑

=∙+=l l P F M y i θ2

sin M -F A θ

P l y +=

解：（1）选梁AB 为研究对象，画受力图。

（2）属于平面平行力系，列方程求解未知量。 4.2空间问题平衡方程的应用

例1：均质长方形薄板，重量P=200N ，角A 由光滑球铰链固定，角B 处嵌入固定的光滑水平滑槽内，滑槽约束了角B 在x ，z 方向的运动，EC 为钢索，将板支持在水平位置上，试求板在A ，B 处的约束力及钢索的拉力。

解：1.以薄板为研究对象画受力图 2.按空间任意力系列平衡方程

0F 2300F 220A B =⨯-⨯-⋅+==⨯+⨯-⋅+=∑

∑a a p a qa m M a a p a

qa m M B A 4kN 2F kN 12F A B ==c c c c F F F F 630

204164cos 1

=++==

αc c

c c F F F F 6

62042

sin 2=

+==α

4-4 刚体系统的平衡问题 一、静定和超静定问题

每种力系的独立平衡方程数是一定的，因而能求解未知量的个数也是一定的。 独立方程数目≥未知数数目时，属于静定问题 独立方程数目 < 未知数数目时，属于超静定问题 超静定次数：未知量的数目- 独立平衡方程的数目 二、刚体系统的平衡

物体系统是指由若干个物体通过适当的约束相互连接而组成的系统。

例1： 组合梁ABC 的支承与受力如图所示。已知P =30kN ，Q =20kN ，θ =45o 。求支座A 和C 的约束力。

解：（1）取BC 杆为研究对象，画受力图；列平衡方程求解C

点处约束。

0F 445sin Q 20C B =+⨯-=∑

M 7.07kN F C =

（2）取整体为研究对象画受力图

例2： 组合梁ABC 所受荷载及支承情况如图所示。已知集中力P =10kN ，均布荷载的集度q =20kN /m ，力偶矩m =150kN·m , l =8m 。试求A 、C 处的约束力。

解:（1）以AB 为研究对象，画受力图如右； 列平衡方程求解A 点处约束。

（2）以整体为研究对象画受力图

08418360sin 200=⋅+⋅+⋅-=∑

l ql l P l Y M A B kN Y A 5.16=

4-5 考虑摩擦时物体的平衡问题

一、非光滑接触面与滑动摩擦力

在前面的讨论中，都假设物体间的接触表面是绝对光滑而没有摩擦的。事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下，物体间的接触面都存在有摩擦，只是对于摩擦不是主要影响因素的问题可以不考虑摩擦。但是，对于摩擦是主要影响因素的问题，摩擦就非考虑不可了。

有利：制动(刹车装置)、传动(皮带传动)

不利：产生阻力、消耗能量、降低效率

摩擦的分类

滚动摩擦：相互接触的两物体有相对滚动或相对滚动趋势时，物体间产生一种相对阻碍作用，这种现象称之。

滑动摩擦：相互接触的两物体有相对滑动或相对滑动趋势时，物体间产生一种相对阻碍作用，这种现象称之。

静滑动摩擦：两接触面间具有相对滑动趋势但未动。

动滑动摩擦：两接触面间具有相对滑动。

湿摩擦：两物体接触面间由于液体粘性而引起的摩擦。

干摩擦：由相互接触的两个固体的表面分子或原子间相互作用而引起的摩擦。

滑动摩擦力：滑动摩擦阻碍物体沿接触面发生相对运动，其约束力称为滑动摩擦力，用Ff 表示。

方向：与相对滑动或相对滑动趋势的方向相反

作用点：两物体的相互接触面上

①当物体处于静止平衡时，0≤Ff≤Ffmax，静摩擦力由平衡方程确定，因此，摩擦力的指向可以假设，由计算结果判断假设的正确性。

②当物体处于临界平衡状态时，Ff=Ffmax=f s N，其指向不能假设，必须与物体的运动趋势相反。

③当物体滑动时，滑动摩擦力Ff =fN，其指向不能假设，必须与物体的运动趋势相反。例1：用绳拉一W=500N的物体，P=100N，物体与地面的摩擦系数fs=0.2, 绳和水平面夹角α＝30º。求：(1)平衡状态时摩擦力Ff 的大小。(2)如使物体产生滑动, 求拉动所需的最小力Pmin。

kN

X

X

P

X

C

C

i

5

,0

60

cos

,00-

=

=

+

⋅

=

∑

kN

Y

Y

l

q

P

Y

Y

C

C

A

i

16

.

72

,0

2

60

sin

,00=

=

+

⋅

-

⋅

-

=

∑

2

2

8

7

60

sin

,00=

+

-

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

-

=

∑C

A

C

M

m

l

l

q

l

P

l

Y

M m

kN

M

C

⋅

-

=64

.

98