近世代数课件(全)-3-3循环环、剩余类环
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,故 [a]可逆.
பைடு நூலகம்剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.
2020/2/17
例 2 Z12
解 (1) 全部零因子:
[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]
(2) 全部可逆元: [1],[5],[7],[11]
直接计算可知,相应的逆元为
[1]1 [1],[5]1 [5],[7]1 [7],[11]1 [11]
2020/2/17
定理2
Zm 为无零因子环 m 为素数.
证：设 m 为素数，若 [a][b] [ab] [0]
，则 m | ab ，m | a 或者 m | b ，即
[a] [0], 或者[b] [0], Zm 为无零因子环.
若 m 不是素数，则 m ab,
m | a, m | b, 即[a] [0],[b] [0],
(2)若 [a] 为 Zm 的可逆元,则 [b] Zm ,
[a][b] [ab] [1]. 于是, m | ab 1,即 c Z
,使得 ab 1 cm ,也就是 ab (c)m 1 ，所以 (a, m) 1.
反之, 如果 (a, m) 1 ,则 x, y Z st. ax my 1 ,因此, [a][x] [ax] [1]
但[a][b] [ab] [0], Zm 为有零因子环.
2020/2/17
定理3
Zm 为域 m 为素数.
（有限无零因子环是除环）
2020/2/17
练习： 求Z18的全部零因子、全部可逆元、全部
子环及子环特征、单位群.
2020/2/17
设 m 为大于1 的正整数, 则有 Zm {[0],[1],L ,[m 1]}
[a],[b] Zm,规定
[a] [b] [a b] [a][b] [ab]
,则 Zm 关于剩余类的加法与乘法构成 一个有单位元的交换环.
Zm ([1])
2020/2/17
2. 剩余类环的性质
近世代数
第三章 环与域 §3 循环环、剩余类环
2020/2/17
一、循环环
定义1 若环 R 关于加法是循环群，称 R
为循环环. 例1 整数环是循环环. 定理1 若 (R, ) (a) ，则
（1）当| a | 时， R {L , 2a, a, 0, a, 2a,L } a2 ka, k Z
定理1 设 [a] Zm ,[a] [0] ,则
(1) [a] 为 Zm 的零因子 (a, m) 1 (2) [a] 为Zm 的可逆元 (a, m) 1
证：(1)若 [a] 为 Zm 的零因子,则存在
[b]( [0]) Zm ,使得 [a][b] [ab] [0]
,故 m | ab .若 (a, m) 1 ,则 m | b ,所以
（2）当 | a | n 时， R {0, a, 2a,L , (n 1)a} a2 ka, 0 k n 1
2020/2/17
定理2 (1) 循环环是交换环， (2) 循环环的子环是循环环， (3) 无限阶循环环的特征是无限，
n阶循环环的特征是n.
2020/2/17
二、模m的剩余类环 1. 剩余类环的构造:
[b] [0] ,矛盾.于是 (a, m) 1 .
反之,如果 (a, m) d 1 , 设 a a1d , m m1d ,则 m | ma1 m1da1 m1a
,所以 [m1][a] [m1a] [0] ,但 [m1] [0] ,于是 [a] 是零因子.
2020/2/17
(3) 全部子环:
([0]), ([1]), ([2]), ([3]), ([4]), ([6])
(4) 各子环特征:
char(([0])) 1, char(([1])) 12, char(([2])) 6,
char(([3])) 4, char(([4])) 3, char(([6])) 2.
பைடு நூலகம்剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.
2020/2/17
例 2 Z12
解 (1) 全部零因子:
[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]
(2) 全部可逆元: [1],[5],[7],[11]
直接计算可知,相应的逆元为
[1]1 [1],[5]1 [5],[7]1 [7],[11]1 [11]
2020/2/17
定理2
Zm 为无零因子环 m 为素数.
证：设 m 为素数，若 [a][b] [ab] [0]
，则 m | ab ，m | a 或者 m | b ，即
[a] [0], 或者[b] [0], Zm 为无零因子环.
若 m 不是素数，则 m ab,
m | a, m | b, 即[a] [0],[b] [0],
(2)若 [a] 为 Zm 的可逆元,则 [b] Zm ,
[a][b] [ab] [1]. 于是, m | ab 1,即 c Z
,使得 ab 1 cm ,也就是 ab (c)m 1 ，所以 (a, m) 1.
反之, 如果 (a, m) 1 ,则 x, y Z st. ax my 1 ,因此, [a][x] [ax] [1]
但[a][b] [ab] [0], Zm 为有零因子环.
2020/2/17
定理3
Zm 为域 m 为素数.
（有限无零因子环是除环）
2020/2/17
练习： 求Z18的全部零因子、全部可逆元、全部
子环及子环特征、单位群.
2020/2/17
设 m 为大于1 的正整数, 则有 Zm {[0],[1],L ,[m 1]}
[a],[b] Zm,规定
[a] [b] [a b] [a][b] [ab]
,则 Zm 关于剩余类的加法与乘法构成 一个有单位元的交换环.
Zm ([1])
2020/2/17
2. 剩余类环的性质
近世代数
第三章 环与域 §3 循环环、剩余类环
2020/2/17
一、循环环
定义1 若环 R 关于加法是循环群，称 R
为循环环. 例1 整数环是循环环. 定理1 若 (R, ) (a) ，则
（1）当| a | 时， R {L , 2a, a, 0, a, 2a,L } a2 ka, k Z
定理1 设 [a] Zm ,[a] [0] ,则
(1) [a] 为 Zm 的零因子 (a, m) 1 (2) [a] 为Zm 的可逆元 (a, m) 1
证：(1)若 [a] 为 Zm 的零因子,则存在
[b]( [0]) Zm ,使得 [a][b] [ab] [0]
,故 m | ab .若 (a, m) 1 ,则 m | b ,所以
（2）当 | a | n 时， R {0, a, 2a,L , (n 1)a} a2 ka, 0 k n 1
2020/2/17
定理2 (1) 循环环是交换环， (2) 循环环的子环是循环环， (3) 无限阶循环环的特征是无限，
n阶循环环的特征是n.
2020/2/17
二、模m的剩余类环 1. 剩余类环的构造:
[b] [0] ,矛盾.于是 (a, m) 1 .
反之,如果 (a, m) d 1 , 设 a a1d , m m1d ,则 m | ma1 m1da1 m1a
,所以 [m1][a] [m1a] [0] ,但 [m1] [0] ,于是 [a] 是零因子.
2020/2/17
(3) 全部子环:
([0]), ([1]), ([2]), ([3]), ([4]), ([6])
(4) 各子环特征:
char(([0])) 1, char(([1])) 12, char(([2])) 6,
char(([3])) 4, char(([4])) 3, char(([6])) 2.