第四章 灰色关联度评价法

第四章灰色关联度评价法

1982年,华中理工大学邓聚龙教授首先提出了灰色系统得概念,并建立了灰色系统理论.之后,灰色系统理论得到了较深入的研究,并在许多方面获得了成功得应用.灰色系统理论认为,人们对客观事物得认识具有广泛得灰色性,即信息的不完全性和不确定性,因而由客观事物所形成得是一种灰色系统,即部分信息已知、部分信息未知得系统.比如社会系统、经济系统、生态系统等都可以看作是灰色系统..人们对综合评价的对象—被评价事物的认识也具有灰色性,因而可以借助于灰色系统的相关理论来研究综合评价问题.下面首先介绍灰色关联分析方法,然后探讨其在综合评价中应用的一些问题.

一、灰色关联分析方法

灰色关联分析（GRA）是一种多因素统计分析方法,它是以各因素的样本数据为依据用灰色关联度来描述因素间关系得强弱、大小和次序的.如果样本数据列反映出两因素变化的态势(方向、大小、速度等)基本一致,则它们之间得关联度较大;反之,关联度较小.与传统的多因素分析方法(相关、回归等)相比,灰色关联分析对数据要求较低且计算量小，便于广泛应用.

GRA分析得核心是计算关联度,下面通过一个例子来说明计算关联度得思路和方法.表5-3是某地区1990～1995年国内生产总值得统计资料.现在提出这样得问题:该地区三次产业中,哪一产业产值得变化与该地区国内生产总值(GDP)的变化态势更一致呢?也就是哪一产业与GDP的关联度最大呢?这样得问题显然是很有实际意义的.一个很自然的想法就是分别将三次产业产值的时间序列与GDP 的时间序列进行比较,为了能够比较,先对各序列进行无量纲化,这里采用均值化法.各序列得均值分别为:2716,461.5,1228.83,1025.67,表5-3中每列数据除以其均值可

表5-3 某地区国内生产总值统计资料(百万元)

得均值化序列(如表5-4所示).粗略地想一下,两序列变化的态势是表现在其对应点的间距上.如果各对应点间距均较小,则两序列变化态势的一致性强,否则,一致性弱.分别计算各产业产值与GDP在对应期的间距(绝对差值),结果见表5-5.接下来

表5-4

表5-5

似乎应该是对三个绝对差值序列分别求平均再进行比较,就可以解决问题了.但如果仔细观察表5-5中数据就会发现绝对差值数据序列的数据间存在着较大的数量级差异(最大为0.1857,最小的为0.0006,相差300多倍),不能直接进行综合,还需要对其进行一次规范化.设(max)

∆分别表示表5-5中绝对差

∆和(min)

值)(0t i ∆的最大数和最小数,则

(m ax ))((m in)00∆≤∆≤∆≤t i

因而

1(max ))((max )(min)

00≤∆∆≤∆∆≤

t i

显然

(max )

)

(0∆∆t i 越大,说明两序列i x 和0x 变化态势一致性弱,反之,一致性强,

因此可考虑将

(max )

)

(0∆∆t i 取倒反向.为了规范化后数据在[0,1]内,可考虑

(max )

)((max )

(min)0∆∆∆∆t i

由于在一般情况下(min)∆可能为零(即某个)(0t i ∆为零),故将上式改进为

)((max ))((max )(min)00t t i i ερ

ρ∆

=+∆∆+∆∆

ρ在0和1之间取值.上式可变形为

1995

,,1990,3,2,1(max)

)((max)(min))(00 ==∆+∆∆+∆=

t i t t i i ρρε (5-6)

)(0t i ε称为序列i x 和序列0x 在第t 期的灰色关联系数(常简称为关联系数).由(5-6)式可以看出,ρ取值的大小可以控制(max)∆对数据转化的影响, ρ取较小的值,可以提高关联系数间差异的显著性,因而称ρ为分辨系数.利用(5-6)式对表5-5中绝对差值)(0t i ∆进行规范化,取ρ=0.4,结果见表5-6.以)1990(01ε计算为例:

4191

.01857.04.01044.01857

.04.00006.0)1990(1857

.0(max),0006.0(min)01=⨯+⨯+=

=∆=∆ε 同样可计算出表5-6中其余关联系数.

表5-6

最后分别对各产业与GDP 的关联系数序列求算术平均可得

7209

.0)4758.000.17338.05213.07257.08687.0(61

5760.0)3510.06141.08761.04903.05178.06067.0(61

4571.0)2881.03696.07055.05808.03796.04191.0(61

010101=+++++==+++++==+++++=

r r r

i r 0称为序列0x 和)3,2,1(=i x i 的灰色关联度.由于010203r r r >>,因而第三产

业产值与GDP 的关联度最大,其次是第二产业、第一产业.

从上例可以看出,灰色关联分析需要经过以下几个步骤:

1.

确定分析序列

在对所研究问题定性分析的基础上,确定一个因变量因素和多个自变量因素.

设因变量数据构成参考序列0

X ',各自变量数据构成比较序列1),,,2,1(+='n n i X i 个数据序列形成如下矩阵:

(5-7)

其中

n i N x x x X T i i i i ,,2,1,))(,,2(),1(( ='''=' N 为变量序列的长度.

)1(1

101

10

)()()()2()2()

2()1()1()1(),,,(+⨯⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡'''''''''='''n N n

n

n

n N x N x N x x x x x x x X X X