平面解析几何-经典题(含答案)

平面解析几何

一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围0

00180α≤<

（2）经过两点的直线的斜率公

式是

（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有

1212//l l k k ⇔=。特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关

系为平行。

（2）两条直线垂直

如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-g 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称

方程的形式

已知条件

局限性

点斜式为直线上一定点，k

为斜率不包括垂直于x轴的直线

斜截式k为斜率，b是直线在y轴

上的截距不包括垂直于x轴的直线

两点式是直线上两

定点不包括垂直于x轴和y轴的直线

截距式a是直线在x轴上的非零截

距，b是直线在y轴上的非

零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线

一般式A，B，C为系数无限制，可表示任

何位置的直线

三、直线的交点坐标与距离公式

三、直线的交点坐标与距离公式

1.两条直线的交点

设两条直线的方程是

，两条直线的交点

坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，

则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两

条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

2.几种距离

（1）两点间的距离平面上的两点间的距离

公式

（2）点到直线的距离 点

到直线

的距离；

（3）两条平行线间的距离 两条平行线

间的距离

注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算 （二）直线的斜率及应用

利用斜率证明三点共线的方法：

已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 直线的参数方程

〖例1〗已知直线的斜率 α (α∈R).求直线的倾斜角β的取值范围。

思路解析：α的范围→斜率k 的范围→β的范围→倾斜角β的取值范围。

〖例2〗设

,,a b c

是互不相等的三个实数，如果

333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++=

思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。

〖例3〗已知点M （2，2），N （5，-2），点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。

（1）∠∠（O 是坐标原点）； （2）∠是直角。

思路解析：∠∠⇒，∠是直角⇒⊥，故而可利用两直线平行和垂直的条件求得。

注：（1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线

1

l 和

2

l ，

。若有一条直线的斜率不存

在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意

〖例4〗求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足3b 的直线方程。

思路解析：对截距是否为0分类讨论→设出直线方程→代入已知条件求解→得直线方程。

（二）用一般式方程判定直线的位置关系 两条直线位置关系的判定

已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则 （1）

12122112211221111222222

//00(0)(0).

l l A B A B AC A C B C B C A B C

A B C A B C ⇔-=-≠-≠=≠且或或记为：、、不为

（2）121212//0.l l A A B B ⇔+=

（3）1l 与2l 重合⇔01221=-B A B A 且01221=-C A C A (或01221=-C B C B )或记为（

1

11C C B B A A ==

（4）

〖例5〗已知直线

1:260

l ax y ++=和直线

22:(1)10

l x a y a +-+-=，（1）

试判断1l 与2l 是否平行；（2）1l ⊥2l 时，求a 的值。

思路解析：可直接根据方程的一般式求解，也可根据斜率求解，所求直线的斜率可能不存在，故应按2l 的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论。

〖例6〗已知点P （2，-1）。

（1）求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；

（2）求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？

（3）是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。

思路解析：设出直线方程→由点到直线距离求参数→判断何时取得最大值并求之。